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人教A版高二数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4 平面与平面垂直的性质【教案】

2.3.4 平面与平面垂直的性质

学法指导 空间中平面与平面之间的位置关系中,垂直是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较
多,而且是空间问题平面化的典范.

知识链接 空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点:(1)它是立体几何中最难、最“高
级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端,即先由面面垂直转化为线面垂直,否则无

法解决问题.因此,面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理. 三维目标 1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想象能力.

2.面面垂直的性质定理的应用,培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 重点难点

教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 课时安排

1 课时
复习 (1)面面垂直的定义.

教学过程

如果两个相交平面所成的二面角为直二面角,那么这两个平面互相垂直. (2)面面垂直的判定定理.

两个平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

两个平面垂直的判定定理符号表述为:

AB AB

? ?

? ?

? ? ?

?

α

⊥β

.

两个平面垂直的判定定理图形表述为:

图1 导入新课 思路 1.(情境导入) 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直? 思路 2.(事例导入) 如图 2,长方体 ABCD—A′B′C′D′中,平面 A′ADD′与平面 ABCD 垂直,直线 A′A 垂直于 其交线 AD.平面 A′ADD′内的直线 A′A 与平面 ABCD 垂直吗?
图2 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图 3,若 α ⊥β ,α ∩β =CD,AB ? α ,AB⊥CD,AB∩CD=B. 请同学们讨论直线 AB 与平面 β 的位置关系.
图3 ②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理,并给出证明. ③设平面 α ⊥平面 β ,点 P∈α ,P∈a,a⊥β ,请同学们讨论直线 a 与平面 α 的关系. ④分析平面与平面垂直的性质定理的特点,讨论应用定理的难点. ⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀. 活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线 AB 与平面 β 的关系. 问题②引导学生进行语言转换. 问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线 a 与平面 α 的关系. 问题④引导学生回忆立体几何的核心,以及平面与平面垂直的性质定理的特点.

问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀. 讨论结果:①通过学生作图或借助模型探究得出直线 AB 与平面 β 垂直,如图 3. ②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直 于它们交线的直线垂直于另一平面. 两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为:如图 4.

图4

? ??

?

AB ? ? 两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为:? ? ? ? CD

?

?? ?

? AB⊥β

.

AB ? CD

? ?

AB ? CD ? B??

两个平面垂直的性质定理证明过程如下:

图5 如图 5,已知 α ⊥β ,α ∩β =a,AB ? α ,AB⊥a 于 B. 求证:AB⊥β . 证明:在平面 β 内作 BE⊥CD 垂足为 B,则∠ABE 就是二面角 α CDβ 的平面角. 由 α ⊥β ,可知 AB⊥BE.又 AB⊥CD,BE 与 CD 是 β 内两条相交直线,∴AB⊥β . ③问题③也是阐述面面垂直的性质,变为文字叙述为: 求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在 第一个平面内.下面给出证明. 如图 6,已知 α ⊥β ,P∈α ,P∈a,a⊥β .求证:a ? α .
图6

证明:设 α ∩β =c,过点 P 在平面 α 内作直线 b⊥c, ∵α ⊥β ,∴b⊥β .而 a⊥β ,P∈a, ∵经过一点只能有一条直线与平面 β 垂直,∴直线 a 应与直线 b 重合.那么 a ? α .
利用“同一法”证明问题,主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数 学方法,这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线 b,不易想到,二是证明直线 b 和直 线 a 重合,相对容易些.点 P 的位置由投影所给的图及证明过程可知,可以在交线上,也可 以不在交线上.
④我认为立体几何的核心是:直线与平面垂直,因为立体几何的几乎所有问题都是围绕 它展开的,例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁,而且由它还可以转化为线线 平行,即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮 我们找平面的垂线,因此它是立体几何中最重要的定理.
⑤应用面面垂直的性质定理口诀是:“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂 线”. 应用示例
思路 1
例 1 如图 7,已知 α ⊥β ,a⊥β ,a ? α ,试判断直线 a 与平面 α 的位置关系.
图7 解:在 α 内作垂直于 α 与 β 交线的垂线 b, ∵α ⊥β , ∴b⊥β . ∵a⊥β , ∴a∥b.
∵a ? α ,
∴a∥α . 变式训练
如图 8,已知平面 α 交平面 β 于直线 a.α 、β 同垂直于平面 γ ,又同平行于直线 b. 求证:(1)a⊥γ ;(2)b⊥γ .

图8

图9

证明:如图 9,

(1)设 α ∩γ =AB,β ∩γ =AC.在 γ 内任取一点 P 并在 γ 内作直线 PM⊥AB,PN⊥AC.

∵γ ⊥α ,∴PM⊥α .而 a ? α ,∴PM⊥a.

同理,PN⊥a.又 PM ? γ ,PN ? γ ,∴a⊥γ .

(2)在 a 上任取点 Q,过 b 与 Q 作一平面交 α 于直线 a1,交 β 于直线 a2.∵b∥α ,∴b∥a1.

同理,b∥a2.

∵a1、a2 同过 Q 且平行于 b,∴a1、a2 重合.

又 a1 ? α ,a2 ? β ,∴a1、a2 都是 α 、β 的交线,即都重合于 a.

∵b∥a1,∴b∥a.而 a⊥γ ,∴b⊥γ .

点评:面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直,见到面面垂直首先考虑利用

性质定理,其口诀是:“见到面面垂直,立即在一个平面内作交线的垂线”.

例 2 如图 10,四棱锥 P—ABCD 的底面是 AB=2,BC= 2 的矩形,侧面 PAB 是等边三角形,
且侧面 PAB⊥底面 ABCD.

图 10

图 11

(1)证明侧面 PAB⊥侧面 PBC;

(2)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角;

(3)求直线 AB 与平面 PCD 的距离.

(1)证明:在矩形 ABCD 中,BC⊥AB,

又∵面 PAB⊥底面 ABCD,侧面 PAB∩底面 ABCD=AB,∴BC⊥侧面 PAB.

又∵BC ? 侧面 PBC,∴侧面 PAB⊥侧面 PBC.

(2)解:如图 11,取 AB 中点 E,连接 PE、CE,又∵△PAB 是等边三角形,∴PE⊥AB.

又∵侧面 PAB⊥底面 ABCD,∴PE⊥面 ABCD. ∴∠PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角.

PE= 3 BA= 3 ,CE= BE2 ? BC2 = 3 , 2
在 Rt△PEC 中,∠PCE=45°为所求. (3)解:在矩形 ABCD 中,AB∥CD,
∵CD ? 侧面 PCD,AB ? 侧面 PCD,∴AB∥侧面 PCD.
取 CD 中点 F,连接 EF、PF,则 EF⊥AB. 又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面 PEF.又∵AB∥CD, ∴CD⊥平面 PEF.∴平面 PCD⊥平面 PEF. 作 EG⊥PF,垂足为 G,则 EG⊥平面 PCD.

在 Rt△PEF 中,EG= PE ? EC ? 30 为所求.

PF

5

变式训练

如图 12,斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的棱长都是 a,侧棱与底面成 60°角,侧面 BCC1B1⊥面 ABC.

求平面 AB1C1 与底面 ABC 所成二面角的大小.

图 12 活动:请同学考虑面 BB1C1C⊥面 ABC 及棱长相等两个条件,师生共同完成表述过程,并作出 相应辅助线. 解:∵面 ABC∥面 A1B1C1,则面 BB1C1C∩面 ABC=BC, 面 BB1C1C∩面 A1B1C1=B1C1,∴BC∥B1C1,则 B1C1∥面 ABC. 设所求两面交线为 AE,即二面角的棱为 AE, 则 B1C1∥AE,即 BC∥AE. 过 C1 作 C1D⊥BC 于 D,∵面 BB1C1C⊥面 ABC, ∴C1D⊥面 ABC,C1D⊥BC.
又∠C1CD=60°,CC1=a,故 CD= a ,即 D 为 BC 的中点. 2

又△ABC 是等边三角形,∴BC⊥AD. 那么有 BC⊥面 DAC1,即 AE⊥面 DAC1. 故 AE⊥AD,AE⊥AC1, ∠C1AD 就是所求二面角的平面角.

∵C1D= 3 a,AD= 3 a,C1D⊥AD,故∠C1AD=45°.

2

2

点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.

思路 2

例 1 如图 13,把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 AB 旋转至△ABD 的位置,使 CD=AC,

图 13 (1)求证:平面 ABD⊥平面 ABC; (2)求二面角 CBDA 的余弦值. (1)证明:(证法一):由题设,知 AD=CD=BD,作 DO⊥平面 ABC,O 为垂足,则 OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心,即 AB 的中点. ∴O∈AB,即 O∈平面 ABD. ∴OD ? 平面 ABD.∴平面 ABD⊥平面 ABC. (证法二):取 AB 中点 O,连接 OD、OC, 则有 OD⊥AB,OC⊥AB,即∠COD 是二面角 CABD 的平面角.
设 AC=a,则 OC=OD= 2 a , 2
又 CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD 是直角三角形,即∠COD=90°. ∴二面角是直二面角,即平面 ABD⊥平面 ABC. (2)解:取 BD 的中点 E,连接 CE、OE、OC,∵△BCD 为正三角形,∴CE⊥BD. 又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC 为二面角 CBDA 的平面角. 同(1)可证 OC⊥平面 ABD,∴OC⊥OE.∴△COE 为直角三角形.

设 BC=a,则 CE= 3 a,OE= 1 a,∴cos∠OEC= OE ? 3 即为所求.

2

2

CE 3

变式训练

如图 14,在矩形 ABCD 中,AB=33,BC=3,沿对角线 BD 把△BCD 折起,使 C 移到 C′,且

C′在面 ABC 内的射影 O 恰好落在 AB 上.

图 14 (1)求证:AC′⊥BC′; (2)求 AB 与平面 BC′D 所成的角的正弦值; (3)求二面角 C′BDA 的正切值. (1)证明:由题意,知 C′O⊥面 ABD,∵C′O ? ABC′, ∴面 ABC′⊥面 ABD. 又∵AD⊥AB,面 ABC′∩面 ABD=AB,∴AD⊥面 ABC′.∴AD⊥BC′. ∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面 AC′D.∴BC′⊥AC′. (2)解:∵BC′⊥面 AC′D,BC′ ? 面 BC′D,∴面 AC′D⊥面 BC′D. 作 AH⊥C′D 于 H,则 AH⊥面 BC′D,连接 BH,则 BH 为 AB 在面 BC′D 上的射影, ∴∠ABH 为 AB 与面 BC′D 所成的角.
又在 Rt△AC′D 中,C′D=33,AD=3,∴AC′=3 2 .∴AH= 6 .

∴sin∠ABH= AH ? 2 ,即 AB 与平面 BC′D 所成角的正弦值为 2 .

AB 3

3

(3)解:过 O 作 OG⊥BD 于 G,连接 C′G,则 C′G⊥BD,则∠C′GO 为二面角 C′BDA 的平面角.
在 Rt△AC′B 中,C′O= AC'?BC' ? 6 , AB

在 Rt△BC′D 中,C′G= BC'?C' D ? 3 3 .

BD

2

∴OG= C?G2 ? C?2 = 3 .∴tan∠C′GO= C'O ? 2 2 ,

2

OG

即二面角 C′BDA 的正切值为 2 2 .
点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平 面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了. 例 2 如图 15,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=BB1=1,直线 B1C 与平面 ABC 成 30° 角,求二面角 BB1CA 的正弦值.
图 15 活动:可以知道,平面 ABC 与平面 BCC1B1 垂直,故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面 到另一个半平面的垂线. 解:由直三棱柱性质得平面 ABC⊥平面 BCC1B1,过 A 作 AN⊥平面 BCC1B1,垂足为 N,则 AN⊥ 平面 BCC1B1(AN 即为我们要找的垂线),在平面 BCB1 内过 N 作 NQ⊥棱 B1C,垂足为 Q,连接 QA,则∠NQA 即为二面角的平面角. ∵AB1 在平面 ABC 内的射影为 AB,CA⊥AB,
∴CA⊥B1A.AB=BB1=1,得 AB1= 2 .
∵直线 B1C 与平面 ABC 成 30°角,∴∠B1CB=30°,B1C=2.
在 Rt△B1AC 中,由勾股定理,得 AC= 2 .∴AQ=1. 在 Rt△BAC 中,AB=1,AC= 2 ,得 AN= 6 .
3 sin∠AQN= AN = 6 ,
AQ 3 即二面角 BB1CA 的正弦值为 6 .
3
变式训练
如图 16,边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2 2 ,M
为 BC 的中点.

(1)证明:AM⊥PM; (2)求二面角 PAMD 的大小.

图 16

图 17

(1)证明:如图 17,取 CD 的中点 E,连接 PE、EM、EA,

∵△PCD 为正三角形,

∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°= 3 .
∵平面 PCD⊥平面 ABCD,∴PE⊥平面 ABCD. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴△ADE、△ECM、△ABM 均为直角三角形.

由勾股定理可求得 EM= 3 ,AM= 6 ,AE=3,
∴EM2+AM2=AE2.∴AM⊥EM. 又 EM 是 PM 在平面 ABCD 上的射影,∴∠AME=90°.∴AM⊥PM. (2)解:由(1)可知 EM⊥AM,PM⊥AM, ∴∠PME 是二面角 PAMD 的平面角.

∴tan∠PME= PE ? 3 =1.∴∠PME=45°. EM 3
∴二面角 PAMD 为 45°. 知能训练 课本本节练习. 课堂小结 知识总结:利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线,然后解决证明垂直问题、平行问题、 求角问题、求距离问题等. 思想方法总结:转化思想,即把面面关系转化为线面关系,把空间问题转化为平面问题. 作业 课本习题 2.3 B 组 3、4.


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