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高中数学苏教版必修5同步课件:3.4.2基本不等式的应用_图文

不等式 3.4 基本不等式 3.4.2 a+b ab≤ 2 (a≥0,b≥0) 基本不等式的应用 在实际工作和生活中,有一类求最值的问题需要我们 解决.如,某集团投资兴办甲、乙两个企业,1998年甲企业 获得利润320万元,乙企业获得利润720万元,以后每年企业 的利润:甲企业以上年利润的1.5倍的速率递增,而乙企业 是上年利润的,预期目标为两企业年利润之和是1 600万元, 从1998年年初起,问:哪一年两企业获利之和最小? 事实上:从1998年起,第n年获利为yn. 3?n-1 2?n-1 * ? ? 则:yn=320· + 720· ( n ∈ N ). ?2? ?3? 这个函数的最小值问题将如何解决呢?学习了本节内 容后,此问题就能比较简单地解决了. 1.如果用x,y来分别表示矩形的长和宽,用l来表示 矩形的周长,S来表示矩形的面积,则l=________,S= ________. 2.在上题中,若面积S为定值,则由x+y≥2 可知周长有最________值,为________. x+y xy, ≤ 2 , 可知面积S有最________值,为________. x+y 3.在第1题中,若周长l为定值,则由 xy≤ 2 , 1.2(x+y),xy 2.小,4 S l2 3.大,16. 4.基本不等式 a+b≥2 ab(a,b∈R )的变 形有________和________. 5.常用的几个不等式有: a b 2 + ______2, _____ ab______ b a 1 1 + a b a+b ________ 2 2 2 + a2+b2 + (a,b∈R ). 2 a+b?2 ? 4.a +b ≥2ab ab≤ ? 2 ? 5.≥,≤,≤,≤ 基本不等式及其注意问题 a+b (1) 是两个正数 a 与 b 的算术平均数, 2 a+b ab是两个正数的几何平均数, ab≤ 表明两个正数 2 a 与 b 的几何平均数不大于算术平均数.此性质可推广 到三个及三个以上的情况.注意熟悉和掌握下列结论: a3+b3+c3≥3abc a+b+c 3 ≥ abc 3 (a、b、c∈R ); (a、b、c∈R ). + + (2)对于基本不等式a2+b2≥2ab和 a+b≥ ab, 要明 2 确它们成立的条件是不同的.前者成立的条件是a与b都 为实数;而后者成立的条件是a与b都为正实数,如a=0, a+b b=0仍然能使 成立. 2 ≥ ab, 两个不等式中等号成立的条件都是a=b. (3)运用两个重要不等式解题时,要学会应 用它们的变式灵活地解题,例如 a2+b2≥2ab a2+b2 2 2 可变形为 ab≤ ,b ≥2ab-a ;当 b>0 时, 2 a+b a2 1 2 2 +b≥2a,λa + b ≥2ab(λ>0)等.又如 ≥ ab b λ 2 a+b ?a+b?2 可变形为 ab≤ , ≥ab,(a+b)2≥4ab 等. 2 ? 2 ? 应用基本不等式求最值 a+b (1)当a>0,b>0且ab为定值时,有a+b≥2 ab≤ 2 (定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时a+b有最小值; 当a>0,b>0且a+b为定值时,有 ?a+b?2 ? ? (定值),当且仅当a=b时,等号成立.此时 abab ≤有最大值. ? 2 ? 说明:基本不等式具有将“和式”转化为“积式”, 或将“积式”转化为“和式”的放缩功能.在使用基本不 等式求最值时,必须具有三个条件:①在所求最值的代数 式中,各变量均应是正数;②各变量的和或积必须为常数, 以确保不等式一边为定值;③等号能取到.以上三个条件 简称为“一正、 二定、三相等”,它在解题中具有双重功 能,既有条件的制约作用,又有解题的导向作用.另外, 使用基本不等式证明问题时,有时要反复使用它们,然后 再相加或相乘,这时字母应满足多次使用基本不等式中的 等式一致成立的条件.若不一致,则不等式中的等号不能 成立. a+b (2)利用基本不等式 ≥ ab(a,b 均大于 0) 2 求最值(值域)时,必须具备“一正、二定、三相等” 的条件.如果“相等”条件不具备就可能造成错解. a 为了解决这个问题,我们引进一个函数 f(x)=x+ (a>0), x 利用它的单调性来完善上述解法的不足,作为使基本不 等式“完美”的补充. a 命题:函数 f(x)=x+ (a>0)在区间(-∞,- a], x [ a,+∞)上为增函数,在区间[- a,0)和(0, a]上 为减函数. 证明:设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2) 1 1? ? =x1-x2+a x -x ? 1 2? 1 = (x -x )(x x -a), x1x2 1 2 1 2 当 x1,x2 在区间(-∞,- a](或[ a,+∞))上时, 有 x1x2>a,且 x1-x2<0, 故 f(x1)<f(x2),所以 f(x)在上述区间上为增函数; 当 x1,x2 在区间[- a,0)或(0, a]上时, 有 0<x1x2<a,且 x1-x2<0, 故 f(x1)>f(x2),即 f(x)在上述区间上为减函数. a 函数 f(x)=x+ (a>0)的大致图象如上图. x 用基本不等式证明 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + . 若a,b,c>0,求证: 2a 2b 2c a+b b+c c+a 1 1 分析:由于式子是关于a、b、c对称的,若将 与 2a b+c 比较就破坏了对称性,得不出要证明的结论,因此去证明 ? 1 + 1 ?+? 1 + 1 ?+? 1 + 1 ?≥ 1 + 1 + 1 . ?4a 4b? ?4b 4c? ?4c 4a? a+b b+c c+a 1 1? ? 解析:因为(a+b) a+b ≥2 ab· 2 ? ? 1 1 1 所以 + ≥ . 4a 4b a+b 1 =4. ab 1 1

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