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高中数学苏教版必修5同步课件:3.4.2基本不等式的应用


不等式 3.4 基本不等式 3.4.2 a+b ab≤ 2 (a≥0,b≥0) 基本不等式的应用 在实际工作和生活中,有一类求最值的问题需要我们 解决.如,某集团投资兴办甲、乙两个企业,1998年甲企业 获得利润320万元,乙企业获得利润720万元,以后每年企业 的利润:甲企业以上年利润的1.5倍的速率递增,而乙企业 是上年利润的,预期目标为两企业年利润之和是1 600万元, 从1998年年初起,问:哪一年两企业获利之和最小? 事实上:从1998年起,第n年获利为yn. 3?n-1 2?n-1 * ? ? 则:yn=320· + 720· ( n ∈ N ). ?2? ?3? 这个函数的最小值问题将如何解决呢?学习了本节内 容后,此问题就能比较简单地解决了. 1.如果用x,y来分别表示矩形的长和宽,用l来表示 矩形的周长,S来表示矩形的面积,则l=________,S= ________. 2.在上题中,若面积S为定值,则由x+y≥2 可知周长有最________值,为________. x+y xy, ≤ 2 , 可知面积S有最________值,为________. x+y 3.在第1题中,若周长l为定值,则由 xy≤ 2 , 1.2(x+y),xy 2.小,4 S l2 3.大,16. 4.基本不等式 a+b≥2 ab(a,b∈R )的变 形有________和________. 5.常用的几个不等式有: a b 2 + ______2, _____ ab______ b a 1 1 + a b a+b ________ 2 2 2 + a2+b2 + (a,b∈R ). 2 a+b?2 ? 4.a +b ≥2ab ab≤ ? 2 ? 5.≥,≤,≤,≤ 基本不等式及其注意问题 a+b (1) 是两个正数 a 与 b 的算术平均数, 2 a+b ab是两个正数的几何平均数, ab≤ 表明两个正数 2 a 与 b 的几何平均数不大于算术平均数.此性质可推广 到三个及三个以上的情况.注意熟悉和掌握下列结论: a3+b3+c3≥3abc a+b+c 3 ≥ abc 3 (a、b、c∈R ); (a、b、c∈R ). + + (2)对于基本不等式a2+b2≥2ab和 a+b≥ ab, 要明 2 确它们成立的条件是不同的.前者成立的条件是a与b都 为实数;而后者成立的条件是a与b都为正实数,如a=0, a+b b=0仍然能使 成立. 2 ≥ ab, 两个不等式中等号成立的条件都是a=b. (3)运用两个重要不等式解题时,要学会应 用它们的变式灵活地解题,例如 a2+b2≥2ab a2+b2 2 2 可变形为 ab≤ ,b ≥2ab-a ;当 b>0 时, 2 a+b a2 1 2 2 +b≥2a,λa + b ≥2ab(λ>0)等.又如 ≥ ab b λ 2 a+b ?a+b?2 可变形为 ab≤ , ≥ab,(a+b)2≥4ab 等. 2 ? 2 ? 应用基本不等式求最值 a+b (1)当a>0,b>0且ab为定值时,有a+b≥2 ab≤ 2 (定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时a+b有最小值; 当a>0,b>0且a+b为定值时,有 ?a+b?2 ? ? (定值),当且仅当a=b时,等号成立.此时 abab ≤有最大值. ? 2 ? 说明:基本不等式具有将“和式”转化为“积式”, 或将“积式”转化为“和式”的放缩功能.在使用基本不 等式求最值时,必须具有三个条件:①在所求最值的代

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