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山东省淄博市临淄一中2013届高三上学期第三次月考数学理科


山东省淄博市临淄一中 2013 届高三上学期第三次月考 数学(理科)试题
说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)共两卷.其中第 l 卷共 60 分,第 II 卷共 90 分,两卷合计 I50 分.答题 时间为 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的,把正确选项的代号涂在答题卡上.) 1 设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0},N ={x|1≤x≤3},则 M∩N =( ) (A)[1,2) (B)[1, 2] (C)( 2,3] (D)[2,3] 2. 复数 A. -1

5i 5 的虚部是( 1 ? 2i
B. 1

) C. i D. –i

3. 已知 向量 a=(2,1) ,b=(-1,k) (2a-b)=0,则 k=( ) ,a· A. -12 B. -6 C. 6 D. 12

4. 设 ?、? 为两个不同的平面, m 、 n 为两条不同的直线,且 m ? ? , n ? ? ,有两个命题:

p :若 m // n ,则 ? // ? ; q :若 m ? ? ,则 ? ? ? ;那么(
A.“ p 或 q ”是假命题 C.“非 p 或 q ” 是假命题 B.“ p 且 q ”是真命题 D.“非 p 且 q ”是真命题

)

5、设 f(x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且 y=f(x)的图像关 于直线 x =3 对称,则下面正确的结论是( ) (A) f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) (C) f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) (B) f(3.5)<f(1.5)<f(6.5) (D) f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)

6.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A, B (如图) ,要测算 A, B 两点的距离, 测量人员在岸边定出基线 BC , 测得 BC ? 50m , ABC ? 105? , ?BCA ? 45? , ? A 就可以计算出 A, B 两点的距离为( A. 50 2 m C. 25 2 m B. 50 3 m D. )

25 2 m 2

C

B

7. 调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因之一,交通法规规定:驾驶员在驾驶机 动车时血液中酒精含量不得超过 0.2mg/ml .如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅速
1

上升到 0.8mg/ml ,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时 50%的速度减少,则他至少要 经过( A.1 )小时后才可以驾驶机动车. B.2 C.3 D.4 )

8.设等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? 8,S6 ? 7 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.

1 8

B. ?

1 8

C.

57 8

D.

55 8

9. 设 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 实 数 集 R , 对 于 给 定 的 正 数 k , 定 义 函 数

? f ( x) f k ( x) ? ? ?k

( f ( x) ? k ) , 给 出 函 数 f ( x) ? ? x2 ? 2 , 若 对 于 任 意 的 ( f ( x) ? k )

x ? (??, ??) ,恒有 fk ( x) ? f ( x) ,则
( ) A.k 的最大值为 2 B.k 的最小值为 2 C.k 的最大值为 1 D.k 的最小值为 1 10. 若一个螺栓的底面是正六边形,它的主视图和俯视图如图所 示,则它的体积是( ) A. 27 3 +12π C. 27 3 +3π B. 9 3 +12 π D. 54 3 +3π

?log2 x, x ? 0 ? 11 若函数 f ( x ) ? ?log ( ? x ), x ? 0 ,若 af (?a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是( 1 ? 2 ?
A. (? 1,0)(0,1 ? ) D. ? ?, 1 ? 0,1 ( ? )( )

)

? )( ? B. ( ? ?, 1 ? 1, ?)

C. (? 1,0)( , ?) ?1?

n 12.已知 an ? ( ) ,把数列 ?an ? 的各项排列成如下的三角形状, 记 A(m, n) 表示第 m 行

1 3

10 ) 的第 n 个数,则 A( ,12 =(
A.

)

1 92 ( ) 3

B.

1 93 ( ) 3

( 94 C. )

1 3

( 112 D. )

1 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本题共 4 个小题,每题 4 分,共 16 分.把正确答案填在答 题卡的相应位置.

?x ? y ?1 ? 0, ? 13.若实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 2 , 则 z= 2x ? y 的最大值为___ _. ? x ? 1, ?

2

14.已知奇函数 f (x ) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f ( ) 的值 ___ 15.已知向 量 a ? ?x,?2?, b ? ? y,1? ,其中 x,y 都是正实数,若 a ? b ,则 t ? x ? 2 y 的最小 值是_______. 16.下列命题: ①函数 y ? sin ? x ?

7 2

? ?

??

? 在 ?0, ? ?上是减函数; 2?

②点 A(1,1) 、B(2,7)在直线 3x ? y ? 0 两侧; ③数列 ?a n ?为递减的等差数列, a1 ? a5 ? 0 ,设数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,则当 n ? 4 时,

Sn 取得最大值;
a1 ④ 定 义 运 算 b1

a2 b2

? a1b2 ? a2b1,则 函 数 f ?x ? ?

x 2 ?3 x 1 1x x 3

的图象在点

? 1? ?1, ? 处的切线方程是 6x ? 3 y ? 5 ? 0. ? 3?
其中正确命题的序号是_________(把所有正确命题的序号都写上). 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17,已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 1 ? 2sin 2 x, x ? R . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 得到的图像再向左平移

? 单位,得到的函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在 6

1 ,把所 2

区间 ? 0,

? ?? 上的最小值. ? 8? ?

2 2 2 18,在三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a、b、c 且 b ? c ? bc ? a

(1)求∠A;
2 2 (2)若 a ? 3 ,求 b ? c 的取值范围。

19. 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4

3

的正方形, O 是 AC 与 BD 的交点, SO ? 平面 ABCD , E 是侧棱 SC 的中点,异面直线 SA 和 BC 所成角的大小是 60 ? . (Ⅰ)求证:直线 SA∥平面 BDE ; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 SBC 所成角的正弦值.

20. 已知等差数列 ?an ? 满足:an?1 ? an (n ? N* ) ,a1 ? 1 ,该数列的前三项分别加上 1,1, 3 后顺次成为等比数列 ?bn ? 的前三项. (Ⅰ)分别求数列 ?an ? , ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)设 Tn ? 小值.

2n ? 3 1 a a1 a2 ? ? c(c ? Z ) 恒成立,求 c 的最 ? ? ? ? n (n ? N* ), 若 Tn ? n 2n b1 b2 bn

21 张林在李明的农场附近建了一个小型工厂,由于工厂生产须占用农场的部分资源,因此 李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入. 工厂在不赔付农场的情况下, 工厂 的年利润 x (元)与年产量 t (吨)满足函数关系 x ? 2000 t .若工厂每生产一吨产品必 须赔付农场 s 元(以下称 s 为赔付价格) . (Ⅰ)将工厂的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出工厂获得最大利润的 年产量; (Ⅱ)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额 y ? 0.002 2 (元) ,在工厂按照获得最 t 大利润的产量进行生产的前提下, 农场要在索赔中获得最大净收入, 应向张林的工厂要求赔 付价格 s 是多少?

22 设函数 f ( x) ? (1 ? x)2 ? 2ln(1 ? x) . (I)求 f ( x ) 的单调区间;

3] (II)当 0<a<2 时,求函数 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? ax ?1 在区间 [0, 上的最小值.

高三 12 月数学(理科)月考试题参考答案

4

17 解: (1)因为 f ( x) = 2 3sin x cos x + 1- 2sin 2 x = = 2 sin( 2 x ?

3sin 2 x + cos 2 x
???? 4 分

?
6

),

函数 f(x)的最小正周期为 T = ? . ???5 分 由 2k? ?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2 k? ?

?

2

,k ? Z ,

???7 分

] , k?Z . ???? 9 分 3 6 5? 5? 5 4 ? ) ,当 x ? [0, ] 时, 4 x ? (2)根据条件得 g (x) = 2 sin( 4 x ? ?[ ?, ?], 8 6 6 6 3 ? 所以当 x = 时, g ( x)min = - 3 . ???? 12 分 8
18 解:①由余弦定理知:cosA=

得 f(x)的单调递增区间为 [k? ?

?

, k? ?

?

b2 ? c2 ? a2 1 = 2bc 2
??????5 分

∴∠A=

? 3
a b c ? ? ?2 sin A sin B sin C

②由正弦定理得:

∴b=2sinB,c= 2sinC ∴b +c =4(sin B+sin C)=2(1-cos2B+ 1-cos2C)
2 2 2 2

??????7 分

2? -B) 3 4? =4-2cos2B-2cos( -2B) 3
=4-2cos2B-2cos2( =4-2cos2B-2(-

3 1 cos2B- sin2B) 2 2

=4-cos2B+ 3 sin2B =4+2sin(2B- 又∵ 0 < ∠B<

2? 3

? ) 6
∴?

??????10 分

?
6

<2B-

∴ ?1<2 sin(2B- ∴3<b2+c2≤6

? )≤2 6

? 7? < 6 6

????12 分

19.解: (Ⅰ)连结 OE ,?????? ??1 分

5

? 四边形 ABCD 是正方形,
? O 是 AC 的中点,??????????????2 分

又 ? E 是侧棱 SC 的中点,? OE // SA . ????? ?4 分 又 OE ? 平面 BDE , SA ? 平面 BDE ,
? 直线 SA //平面 BDE .?????????????5 分

(Ⅱ)建立如图空间坐标系,则 D(0, ?2 2,0),

B(0,2 2,0), S (0,0,2 2), C( ?2 2,0,0). ??? ? ??? ? ?BD ? (0, ?4 2,0), BC ? (?2 2, ?2 2,0), ??? SB ? (0,2 2, ?2 2). ???????? ??7 分 ? 设平面 SBC 的法向量 n ? ( x, y,1) ,则有
???? ?2 2 y ? 2 2 ? 0 ?nSB ? 0 ? ? 即? ? ? ???? ?nBC ? 0 ??2 2 x ? 2 2 y ? 0 ? ?
?y ?1 解得 ? ? x ? ?1

? ?n ? (?1,1,1). ????????? ??9 分
直 线 BD 与平面 SBC 所成角记为 ? , ???? ? nBD 4 2 3 则 sin ? ? ? ??? ? ? . ??????? ??12 分 ? 3 3?4 2 n BD 20. (本小题满分 12 分) 由 a1 ? 1, a2 ? 1 ? d , a3 ? 1 ? 2d , 分别加上 1,1,3 有 b1 ? 2, b2 ? 2 ? d , b3 ? 4 ? 2d ?2 分 解: (Ⅰ)设 d、q 分别为等差数列 ?an ? 、等比数列 ?bn ?的公差与公比,且 d ? 0

(2 ? d )2 ? 2(4 ? 2d ), d 2 ? 4,? d ? 0,? d ? 2, q ?

b2 4 ? ?2 b1 2

????4 分 ????6 分

?an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1, bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n
(II) Tn ?

a a1 a2 1 3 5 2n ? 1 ? ??? n ? ? 2 ? 3 ??? n , ① b1 b2 bn 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 . ②???7 分 2 2 2 2 2
????8 分

①—②,得

2n ? 1 1 1 1 1 1 Tn ? ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2

6

2 n?1 ? 2n ? 1 ? 3 ? 1 ? 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 3 . ………………9 分 1 2n 2 n?2 2n 2n 1? 2 1 1 2n ? 3 1 1 ? Tn ? ? ? 3 ? ? 3. ? (3 ? ) 在 N*是单调递增的,? (3 ? ) ? [2,3). n n n n n 2 2n ? 3 1 ? ? c(c ? Z ) 恒成立的最小整数值为 c ? 3. ………………12 分 ∴满足条件 Tn ? n 2n 21解:(Ⅰ)工厂的实际年利润为: w ? 2000 t ? st ( t ? 0 ).?????3分 1000 2 10002 w ? 2000 t ? st ? ? s( t ? ) ? ,????5分 s s 2 ? 1000? t ?? ? 时, w 取得最大值. 当 ? s ? ? Tn ? 1 ?

1?

1

? 1000? 所以工厂取得最大年利润的年产量 t ? ? s ? (吨) . ??? ??6分 ? ?
(Ⅱ)设农场净收入为 v 元 ,则 v ? st ? 0.002t 2 .

2

? 1000? 10002 2 ? 10003 ? 将 t ? ? s ? 代入上式,得: v ? .?? ?9分 ? ? s s4


2

v? ? ?

10002 8 ?10003 10002 (8000? s 3 ) ? ? s2 s5 s5

令 v ? ? 0 ,得 s ? 20 .????11分 当 s ? 20 时, v ? ? 0 ;当 s ? 20 时, v ? ? 0 , 所以 s ? 20 时, v 取得最大值. 因此李明向张林要求赔付价格 s ? 20 (元/吨)时,获最大净收入.………12 分 22 解: (I)定义域为 (?1, ??) .

1 2 x( x ? 2) ? . ………2 分 x ?1 x ?1 2 x( x ? 2) ? 0 ,所以 x ? ?2 或 x ? 0 . 令 f ?( x) ? 0 ,则 x ?1 f ?( x) ? 2(1 ? x) ?
因为定义域为 (?1, ??) ,所以 x ? 0 . 令 f ?( x) ? 0 ,则

………4 分

2 x( x ? 2) ? 0 ,所以 ?2 ? x ? 0 .………6 分 x ?1

因为定义域为 (?1, ??) ,所以 ?1 ? x ? 0 . 所以函数的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (?1, 0) . 分 (II) g ( x) ? (2 ? a) x ? 2ln(1 ? x) ( x ? ?1 ) . ???? ???7

7

2 (2 ? a) x ? a ? . ???????8 分 1? x 1? x a ? 0. 因为 0<a<2,所以 2 ? a ? 0 , 2?a a 令 g ?( x) ? 0 可得 x ? . 2?a a a ) 上为减函数,在 ( , ??) 上为增函数.??10 分 所以函数 g ( x) 在 (0, 2?a 2?a a 3 ? 3 ,即 0 ? a ? 时, ①当 0 ? 2?a 2 a ) 上为减函数, 在区间 [0, 上, g ( x) 在 (0, 3] 2?a a ,3) 上为增函数.???????11 分 在( 2?a a 2 ) ? a ? 2 ln 所以 g ( x) min ? g ( . ???????12 分 2?a 2?a a 3 ? 3 ,即 ? a ? 2 时, g ( x) 在区间 (0, 上为减函数. ②当 3) 2?a 2 g ?( x) ? (2 ? a) x ?
所以 g ( x)min ? g (3) ? 6 ? 3a ? 2ln 4 .???????13 分

综上所述,当 0 ? a ? 当

3 2 时, g ( x) min ? a ? 2 ln ; 2 2?a

3 ? a ? 2 时, g ( x)min ? 6 ? 3a ? 2ln 4 . ???????14 分 2

8


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