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山东省沂水县高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案 新人教A版必修4_图文

在研究三角函数时,我们还常常遇到这样 的问题:已知任意角α、β的三角函数值, 如何求α+β、 α–β或 2α的三角函数值? 下面我们先引出平面内两点间的距离公式, 并从两角和的余弦公式谈起.

在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), P1Q=M1M2=┃x1–x2┃,QP2=N1N2=┃y1–y2┃,

由勾股定理,可得

y

P1P22=P1Q2+QP22

N2(0, y2)



.

P2(x2, y2)

=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2

=(x1–x2)2+(y1–y2)2, 由此得到平面内

M1(x1, 0)

.∟

O

∟∟ ∟

M2(x2, 0)
x
Q

P1(x1, y1), P2(x2, y2)

P1(x1, y1) N1(0, y1)

两点间距离公式: P1P2= (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 .

接下来,我们继续考虑如何运用两点间

的距离公式,把两角和的余弦cos(α+β)用

α、β的三角函数来表示的问题.

如图,在直角坐标 平面xOy内作单位圆O, P3 并作出角α、β和–β, 各点坐标: P1(1, 0), P2(cosα, sinα),
P3(cos(α+β), sin(α+β)),
P4(cos(–β), sin(–β)),

y
P2 β α+β
α O –β P1 x
P4

各点坐标:P1(1, 0), P2(cosα, sinα), P3(cos(α+β), sin(α+β)),

P4(cos(–β), sin(–β)),

由P1P3=P2P4及两点间距离公式,得

[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)

y

=[cos(–β)–cosα]2

P3

P2

+[sin(–β)–sinα]2,

β α+β α

O –β P1 x

P4

[cos(α+β)–1]2+sin2(α+β)
=[cos(–β)–cosα]2 +[sin(–β)–sinα]2,
cos2(α+β)–2cos(α+β)+1+sin2(α+β) =cos2β–2cosα cosβ+ cos2α
+ sin2α+2sinα sinβ+ sin2β, 2–2cos(α+β) =2–2cosα cosβ +2sinα sinβ,
∴ cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ, (C(α+β))

cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ
(C(α+β)) 这个公式对于任意角α、β都成立.
例如 cos(62°+59°) =cos62°cos59°– sin62°sin59°;
cos(113°+27°) =cos113°cos27°– sin113°sin27°;
cos[α +(–β)] =cosα cos(–β) – sinα sin(–β),

cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ.

cos[α +(–β)]

(C(α+β))

=cosα cos(–β) – sinα sin(–β),

cos(α –β) =cosα cosβ + sinα sinβ.

例如 cos(113°–27°) (C(α–β)) =cos113°cos27°+ sin113°sin27°; cos(113°+27°) =cos113°cos27°+ sin113°sin27°;

cos(α –β) =cosα cosβ + sinα sinβ.

cos(

π 2

–α)

(C(α–β))

=cos

π 2

cosα

+

sin

π 2

sinα =sinα,



cos(

π 2

–α)

=sinα,

这里,等号两边的角的和为π2 ,

∴ cosα =sin(π2 –α),



cos(

π 2

–α)

=sinα,

这∴里,c等os号α 两=s边in的(π2角–的α)和,为π2 ,

这就是说,诱导公式

cos(

π 2

–α)

=sinα,

sin(π2 –α)= cosα,

当α为任意角时仍然成立.

cos(

π 2

–α)

=sinα, sin(π2 –α)=

cosα,

cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ.

运用上述公式,得

sin(α+β)= cos[π2 –(α+β)]

=cos[(

π 2

–α)–β]

=cos(

π 2

–α)cosβ

+sin(π2 –α)sinβ

=sinαcosβ +cosαsinβ,

即 sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,

sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, 在上式中用–β代替β,得 (S(α+β))

sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ,

当 cos(α+β)≠0 时,有 (S(α–β))

tan (α+β)=

sinα(αco+sββ)+cos αsinβ cos (ααc+oβs)β–sin αsinβ

,

若 cos αcosβ≠0,得 tan (α+β)=

tan α+tanβ 1–tan αtanβ

.

tan α+tanβ

tan (α+β)= 1–tan αtanβ .

∵ tan (–β)=

s–isni(n–ββ) ccooss(β–β)

=

(T(α+β)) –tanβ,

∴ tan (α–β)=

tan α–tanβ 1+tan αtanβ

.

(T(α–β))

公式S(α+β)、 C(α+β)、 T(α+β)给出

了任意角α、β的三角函数值(这里指正弦、

余弦或正切)与其和角α+β的三角函数值之

间的关系. 为方便起见,我们把这三个公式

都叫作和角公式.

tan α+tanβ

tan (α+β)= 1–tan αtanβ .

∵ tan (–β)=

sin(–β) cos(–β)

(T(α+β)) = –tanβ,

∴ tan (α–β)=

tan α–tanβ 1+tan αtanβ

.

(T(α–β))

类似地,公式S(α–β)、 C(α–β)、

T(α–β)都叫作差角公式.

sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, (S(α+β))
sin(α–β)=sinαcosβ –cosαsinβ, (S(α–β))
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ, (C(α+β))
cos(α–β)= cosα cosβ +sinα sinβ, 等号右边“±”的记忆方式:(C(α–β)) 在锐角范围内,正弦函数是增函数,
余弦函数是减函数,


sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,

(S(α+β))

cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ,

记忆方式:

(C(α+β))

sin(α+β) =QM =NE+QF

yQ

=ONsinα+QNcosα

α

= sinαcosβ + cosαsinβ; cos(α+β)
=OM =OE–FN

P



F

β

N

α





=ONcosα– QNsinα O M E 1 x

= cosαcosβ – sinαsinβ.

例1、利用和(差)公式求75°,15°的正弦、

余弦和正切的值.

解: sin75°=sin( 45°+30°)

=sin45°cos30°+cos45°sin30°

? 2? 3? 2?1 ? 6? 2;

2 2 22

4

cos75°=cos(45°+30°)

=cos45°cos30°–sin45°sin30°

? 2? 3? 2 ?1 ? 6? 2;

2 2 22

4

例1、利用和(差)公式求75°,15°的正弦、 余弦和正切的值.

tan75°= scions7755°°?

6? 6?

2 ?2? 2

3;

或 tan75°=tan(45°+30°)

? tan 45? ? tan 30? 1? tan 45? tan 30?

1? 3 ?3

? 3?

3
? 2?

3;

1?1? 3 3? 3

3

例1、利用和(差)公式求75°,15°的正弦、

余弦和正切的值.

sin15°=cos75°?

6? 4

2;

或 sin15°=sin( 45°–30°) =sin45°cos30°–cos45°sin30°

? 2? 3? 2?1 ? 6? 2;

2 2 22

4

例1、利用和(差)公式求75°,15°的正弦、 余弦和正切的值. cos15°=sin75°? 6 ? 2 ;
4

或 cos75°=cos(45°–30°)

=cos45°cos30°+sin45°sin30°

? 2? 3? 2 ?1 ? 6? 2;

2 2 22

4

例1、利用和(差)公式求75°,15°的正弦、 余弦和正切的值.

tan15°= scions1155°°?

6? 6?

2 ?2? 2

3;

或 tan15°=tan(45°–30°)

? tan 45? ? tan 30? 1? tan 45? tan 30?

1? 3 ?3

? 3?

3
? 2?

3;

1?1? 3 3? 3

3

例2、已知 sinα=

2 3

,α∈(

π,2π),

cosβ= –

3 4

,

β∈(π,

3),2π

求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).

解:∵ sinα=

2 3

,α∈(

π, π), 2

∴ cosα= ? 1? sin2α ? ? 1? ( 2)2 ? ? 5 ;

3

3

∵ cosβ= –

3 4

,

β∈(π,

3),2π

∴ sinβ= ? 1? sin2β ? ? 1? (? 3)2 ? ? 7 ;

4

4

例2、已知 sinα=

2 3

,α∈(

π,2π),

cosβ= –

3 4

,

β∈(π,

3),2π

求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).

∴ sin(α–β)

=sinαcosβ +cosαsinβ

? 2 (? 3) ? (? 5 )(? 7 )? ? 6 ? 35 ;

34

34

12

例2、已知 sinα=

2 3

,α∈(

π,2π),

cosβ= –

3 4

,

β∈(π,

3),2π

求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).

cos(α+β)

=cosαcosβ –sinαsinβ

? (? 5 )(? 3) ? 2 (? 7 ) ? 3 5 ? 2 7 ;

3 43 4

12

例2、已知 sinα=

2 3

,α∈(

π,2π),

cosβ= –

3 4

,

β∈(π,

3),2π

求sin(α–β)、cos(α+β)、tan(α+β).

sin(α+β)

=sinαcosβ +cosαsinβ

? 2 (? 3) ? (? 5 )(? 7 )? ? 6 ? 35 ,

34

34

12

∴ tan (α+β)=

?

s?in6(?α+β3)5 3cos5(?α+2β)7

?

?

32

5 ? 27 17

7.

例3、利用和角公式求 1? tan15? 的值. 1? tan15?
解:1? tan15? ? tan 45? ? tan15? 1? tan15? 1? tan 45? tan15?
=tan(45°+15°) =tan60°? 3.

例3′、△ABC中, 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明:∵tanA、tanB、tanC 都有意义, ∴△ABC中没有直角,∴tanAtanB≠1.
∵ tan(A+B)= tan A ? tan B , 1? tan A tan B
∴ tanA+tanB= tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B)
=tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C) = –tanC+tanAtanBtanC, ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

本课小结: 在这节课中,我们研究了两个角的
和与差的正弦、余弦和正切公式, 这些公式在今后有大量的应用, 应熟练地、灵活地掌握 (例3就是反过来用公式的例子).