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简单多面体(一)棱柱与棱锥


简单多面体(一)棱柱与棱锥
一. 教学内容: 简单多面体(一)棱柱与棱锥 二. 知识结构:

【典型例题】
[例 1] 斜三棱柱的底面是等腰三角形 ABC,AB=10,AC=10,BC=12。棱柱顶点 A1 到 A、B、C 三点等距离,侧棱长是 13,求该三棱柱的侧面积。 解:解法 1:如图 1,取 BC 的中点 D,连结 AD,则 BC⊥AD 作 A1O⊥底面 ABC 于 O,则由已知,点 O 在 AD 上,故

BC ? 面AA1 D ? ? ? BC ? AA1 ? AA1 ? 面AA1 D ? ? ? BC ? BB1 AA1 // BB1 ?
则侧面 BCC1B1 为矩形, S矩形 BCC1 B1 ? BC ? BB1 ? 13?12 ? 156

取 AB 中点 E,连结 OE、A1E 由 A1A=A1B,则 A1E⊥AB 由已知可求得 A1 E ? 则S
ABB 1A 1

A1 A 2 ? AE 2 ? 12

?S

ACC1 A1

? AB ? A1 E ? 10?12 ? 120

故 S侧 ? S

ABB 1A 1

?S

ACC1 A1

? S矩形BCC1B1 ? 2 ?120? 156 ? 396

即侧面积为 396
A1 B1 C1

A E

O B

C D

图1 解法 2:如图 2,取 BC 中点 D,连结 AD、A1D、A1B、A1C

由AB ? AC ? AD ? BC ? ? ? BC ? 平面ADA1 ? 由A1 B ? A1C ? A1 D ? BC? ? ? BC ? AA1 AA1 ? 平面ADA1 ?
作 DE⊥AA1 于 E,连结 BE、CE。则 AA1⊥平面 BCE。故 AA1⊥BE,AA1⊥CE 即 ?BEC 为棱柱的直截面 故 S侧 ? (?BEC的周长) ? 侧棱长

在等腰三角形 A1AB 中,

cos ?EAB ?

5 13 ,则 120 13



sin ?EAB ? 120 13

12 13

EB ? AB ? sin ?EAB ?

同理

EC ?

所以

S 侧 ? (2 ?

120 ? 12 ) ? 13 ? 396 13

A1

B1

C1

E A B D

C

图2 小结:斜棱柱的侧面积的计算可利用求各侧面的面积和,如解法 1;也可利用求直截面的 周长与侧棱之积,如解法 2。 [例 2] 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,底面边长为 a ,点 E 在棱 D1D 上,BD1∥平面 AEC, 且平面 AEC 与底面 ABCD 所成的角为 45 ? ,求:三棱锥 B1 ? EAC 的体积。 解:解法 1:如图 3 所示。连结 BD 交 AC 于 O

由D1 D ? 底面ABCD? ? ? EO ? AC DO ? AC ?
则 ?EOD 为面 AEC 与底面 ABCD 所成的二面角的平面角。即 ?EOD ? 45?

易得 AC=BD= 2a ,

DO ?

2 a 2 , EO ? a , DD1 ? DB ? 2a
连结 B1D 交 BD1 于 P,交 EO 于 Q

故四边形 BDD1B1 为正方形

由 B1 D ? BD1 ,EO∥BD1,则 B1D⊥EO

由AC ? 平面BDD1 B1 ? ? ? AC ? B1 D B1 D ? 平面BDD1 B1 ?
故 B1 D ? 面 AEC,则 B1Q 为三棱锥 B1 ? AEC 的高

由 DO ? PQ ,则

B1Q ?

3 3 B1 D ? a 4 2



S ?AEC ?

1 2 2 AC ? EO ? a 2 2



VB1 ? AEC ?

1 2 3 S ?AEC ? B1Q ? a 3 4

D1 A1 B1 Q P D O A
图3

C1

E

C

B

解法 2: 连结 B1O, 则三棱锥 B1 ? AEC 可以看成由三棱锥 A ? B1OE 和三棱锥 C ? B1OE 合 成的,故

VB1 ? AEC ? V A? B1OE ? VC ? B1OE ?

1 ? S ?B1OE ? AC 3 S ?B1OE ? 3 2 a 4

而由 E、O 分别为正方形 BDD1B1 中 DD1、BD 的中点,则



VB1 ? AEC ?

2 3 a 4

小结:解法 1 直接利用锥体体积公式求解,而解法 2 利用切割的方法,将所求三棱锥的体 积分割成两个三棱锥体积之和。合理分割或拼补可以简化体积运算,这需要一定的空间想象能 力和逻辑推理能力,应加强这方面的训练。 [例 3] 已知某三棱锥的侧棱长均为 l ,侧面三角形的顶角中有两个均为 ? ,另一个为 ? ,求该三 棱锥的体积。 解:如图 4,设三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? ?APC ? ? , ?BPC ? ? ,PA=PB=PC= l 作 AO ? 平面 PBC 于 O,由 ?APB ? ?APC 则 O 在 ?BPC 的平分线上,故

?BPO ? ?CPO ?

?
2

作 OE⊥BP 于 E,OF⊥CP 于 F,连结 AE、AF,则 AE⊥BP,AF⊥CP。 且 AE=AF 在 Rt ?APE 中, AE ? l sin ? , PE ? l cos ?

在 Rt ?POE 中,

OE ? PE tan

?
2

? l ? cos ? ? tan

?
2

在 Rt ?AOE 中

AO ? AE 2 ? OE 2 ? l 2 sin 2 ? ? l 2 cos2 ? tan2

?
2

2 2 ?l sin ? ?c o2 s? t a n

?
2



S ?BPC ?

1 1 BP ? CP ? sin ? ? ? l 2 sin ? 2 2

1 1 ? V A? BPC ? S ?BPC ? AO ? l 3 sin ? sin 2 ? ? cos2 ? tan2 3 6 2 则 1 3 ? l sin ? sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? VA? BPC ,故所求三棱锥的体积为 6 2
A

由 VP? ABC

P

F E O B
图4

C

小结:本题若直接计算以 ?ABC 为底面的三棱锥 P ? ABC 的体积,运算非常繁琐,但利用 体积变换转化求等体积的另一个三棱锥,问题就非常简单了。我们在有关体积的计算问题中, 经常运用这种体积变换的思想方法。 [例 4] 如图 5,平行四边形 ABCD 中, ?A ? 60? ,AD= a ,AB= 2 a ,M、N 分别是边 CD、AB 的中点,沿 MN 将面 ADMN 折起 (1)当二面角 A ? MN ? B 为 60 ? 时,求三棱柱 ABN ? DCM 的侧面积和体积; (2)当二面角 A ? MN ? B 为多大时,这个三棱柱体积有最大值,并求出该最大值。

D D O A N
图5 解: (1)折叠前,连结 BD,并设 BD ? MN ? O 在 ?ABD 中, AD ? a , AB ? 2a , ?A ? 60? ,由余弦定理,有

M A B

C

BD2 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a 2 ? 3a 2
2 2 2 由 AB ? AD ? BD ,则 AD ? BD ,又由 MN // AD ,故 BD ? MN 于点 O

折叠后,由 BO⊥MN,DO⊥MN,则 ?BOD 为二面角 A ? MN ? B 的平面角

即 ?BOD ? 60?

由 BD ?

3a ,则

BO ? DO ?

3 a 2

连结 BD,正三角形 BOD 为三棱柱的直截面,故

S 侧 ? C ?BOD ? l ? 3 ?

3 3 3 2 a?a ? a 2 2

V ? S ?BOD ? l ?

1 3 2 3 3 3 ( a) ? sin 60? ? a ? a 2 2 16

1 3 2 S ?BOD ? ( a) ? sin ? 2 2 (2)设 ?BOD ? ? ,由直截面为 ?BOD ,并且
V ? S ?BOD ? l ? 3 3 a sin ? 8

故三棱柱的体积为

当 sin ? ? 1 ,即

??

?

3 3 a 2 时,三棱柱体积有最大值为 8

小结:棱柱的侧面积可用直截面的周长与侧棱长乘积求得,棱柱的体积除用底面积与高乘 积求得外,还可利用直截面面积与侧棱乘积求得。设棱柱高为 h ,侧棱为 l ,则体积公式为:

V ? S ? h ,或 V ? S直截面 ? l 。
[例 5] 如图 6,正三棱锥 A ? BCD 中,底面边长为 a ,侧棱长为 2 a ,过点 B 作与棱 AC、AD 相交的截面,在这样的截面三角形中 (1)求周长的最小值; (2)求周长最小时截得小三棱锥的侧面积; (3)求用此周长最小的截面所截的小三棱锥与原棱锥体积之比。

解: (1)如图 7,将正三棱锥的侧面沿侧棱 AB 展开。当 B、E、F 共线时,BE、EF、FB 长度 之和即 BB ? 的长,为截面周长的最小值。 在 ?ACB 中,AB=AC= 2 a ,由余弦定理

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 4a 2 ? 4a 2 ? a 2 7 ? cos?BAC ? ? 8 2 AB ? AC 8a 2
3 由 ?BAB ? ? 3?BAC ,则 cos?BAB? ? 4 cos ?BAC ? 3 cos?BAC

7 7 7 ? 4( ) 3 ? 3( ) ? 8 8 128
在 ?AB B ? 中, AB ? AB ? ? 2a 。由余弦定理,有

BB? ? AB2 ? AB? 2 ? 2 AB ? AB? ? cos?BAB?
? (2a) 2 ? (2a) 2 ? 2(2a) 2
11 a 故截面 ?BEF 的最小值为 4

7 11 ? 128 4 a

A

B

E C

P Q

F D

B'

图7 (2)小三棱锥 A ? BEF 的侧面积即 ?AB B ? 的面积,由

cos ?BA B ? ?

7 128

7 2 33 15 sin ?BAB? ? 1 ? cos2 ?BAB? ? 1 ? ( ) ? 128 128 则
S ?ABB? ? 1 1 33 15 33 AB ? AB? ? sin ?BAB? ? ? 4a 2 ? ? 15a 2 2 2 128 64



33 15 a 2 故截面 ?BEF 周长最小时,截得小三棱锥 A ? BEF 和侧面积为 64
(3)当棱锥截面 ?BEF 周长最小时,有 EF∥CD,过 A 作 AQ⊥CD 交 CD 于 Q,交 BB ? 于 P 在 Rt ?APB 中,

1 ? cos?BAB ? AP ? AB ? cos?BAP ? 2a ? 2a 2

1?

7 128 ? 3 15 a 2 8

在 Rt?AQC 中,

AQ ? AC 2 ? (

CD 2 a 15 ) ? (2a) 2 ? ( ) 2 ? a 2 2 2 S ?AEF AP 2 9 ?( ) ? S ?ACD AQ 16

由 EF∥CD,则 ?AEF ∽ ?ACD

由 V A? BEF ? VB ? AEF , VA? BCD

V A? BEF VB ? AEF S ?AEF 9 ? ? ? ? VB? ACD 则 V A? BCD VB ? ACD S ?ACD 16

9 即截面周长最小时,小三棱锥与原棱锥体积之比为 16
小结:在空间图形中,若求某几何体两个面内两点的最短距离时,常把几何体沿棱或母线 展开成平面图形,从而把空间折线或曲线转化成平面图形的直线来处理。

【模拟试题】
一. 选择题: 1. 棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是( ) A. 棱柱有一条侧棱与底面垂直 B. 棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直 C. 棱柱有一个侧面是矩形且它与底面垂直 D. 棱柱有两个相邻的侧面互相垂直 2. 下述棱柱中为长方体的是( ) A. 直平行六面体 B. 对角面是全等矩形的四棱柱 C. 侧面都是矩形的直四棱柱 D. 底面是矩形的直棱柱 3. 下面说法中正确的是( ) (1)若棱锥的侧棱都相等,则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心 (2)侧面与底面所成的二面角都相等,侧棱与底面所成的角也相等的棱锥是正棱锥 (3)若棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的垂心,则棱锥的对棱必互相垂直 (4)侧面都是等腰三角形的棱锥一定是正棱锥 A.(1) (2) (3) (4) B.(1) (2) (4) C.(1) (3) (4) D.(1) (2) (3) 4. 两个对角面都是矩形的平行六面体( ) A. 正方体 B. 长方体 C. 直平行六面体 D. 正四棱柱 5. 三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形,侧棱长为 8,一条侧棱与底面相邻两边均成 45 ? 角, 则这三棱柱的侧面积为( A. 32 2 二. 填空题: 1. 长方体的一条对角线长为 29 ,且有两个侧面的对角线长分别为 5 和 2 5 ,则该长方体 的全面积等于 。 2. 若正三棱锥的全面积是底面积的 4 倍,则此正三棱锥侧面与底面所成的二面角等于 。 三. 解答题: ) C. 16( 2 ? 1) D. 32( 2 ? 1)

B. 4( 2 ? 1)

1. 在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AB ? AD ? 2a , AA1 ? a , ?A1 AD ?

?DAB ? ?A1 AB ? 60?
(1)求证: AA1 ? 平面 B1 D1C ; (2)求平行六面体的体积。

【试题答案】
一. 1. B 二. 2. D 3. D 4. C 5. D

1. 52 三.

2.

arccos

1 3

证: (1)略

1 1 1 2 3 VC1 ? B1D1C ? S ?B1D1C ? CC1 ? ? ? 2 ? 2a 2 ? a ? a 3 3 2 3 (2)
VC1 ? B1D1C ? V 6
故 V ? 2 2a



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