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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程导学案 北师大版选修1-1


2.3.1 学习目标 双曲线及其标准方程 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方 程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 知识点一 双曲线的定义 思考 1 如图,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点 F1,F2 上,把笔尖放在点 M 处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲线 上的点应满足怎样的几何条件? 答案 曲线上的点满足条件:|MF1|-|MF2|=常数;如果改变一下笔尖位置,使|MF2|-|MF1| =常数,可得到另一条曲线. 思考 2 已知点 P(x, y)的坐标满足下列条件, 试判断下列各条件下点 P 的轨迹是什么图形? (1)| (2) x+ x+ 2 2 +y - 2 2 x- x- 2 2 2 +y |=6; 2 2 +y - +y =6. 答案 (1)∵| x+ +y - 2 x- 2 +y |表示点 P(x,y)到两定点 F1(-5,0)、F2(5, 2 0)的距离之差的绝对值,|F1F2|=10,∴||PF1|-|PF2||=6<|F1F2|, 故点 P 的轨迹是双曲线. (2)∵ x+ 2 +y - 2 x- 2 +y 表示点 P(x,y)到两定点 F1(-4,0)、F2(4,0)的距 2 离之差,|F1F2|=8, ∴|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|, 故点 P 的轨迹是双曲线的右支. 梳理 把平面内到两定点 F1, F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集 合叫作双曲线.定点 F1,F2 叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距. 知识点二 双曲线的标准方程 思考 1 双曲线的标准形式有两种,如何区别焦点所在的坐标轴? 答案 双曲线标准方程中 x 与 y 的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴.当 x 的系数为正时, 焦点在 x 轴上;当 y 的系数为正时,焦点在 y 轴上,而与分母的大小无关. 思考 2 如图,类比椭圆中 a,b,c 的意义,你能在 y 轴上找一点 B,使|OB|=b 吗? 2 2 2 2 答案 以双曲线与 x 轴的交点 A 为圆心,以线段 OF2 为半径画圆交 y 轴于点 B. 类型一 双曲线的定义及应用 命题角度 1 双曲线中的焦点三角形问题 例 1 (1)如图,已知双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),点 A,B 均在双曲线的右支上, 线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2, |AB|=m, F1 为双曲线的左焦点, 则△ABF1 的周长为________. x2 y2 a b (2)已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别是 F1、F2,若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2=60°, 9 16 则△F1PF2 的面积为________. 答案 (1)4a+2m (2)16 3 x2 y2 解析 (1)由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a, |BF1|-|BF2|=2a. 又|AF2|+|BF2|=|AB|, 所以△ABF1 的周长为|AF1|+|BF1|+|AB| =4a+2|AB|=4a+2m. (2)由 - =1,得 a=3,b=4,c=5. 9 16 由定义和余弦定理,得|PF1|-|PF2|=±6, |F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1|·|PF2|cos 60°, 所以 10 =(|PF1|-|PF2|) +|PF1|·|

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