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人数教案必修一2.1.1指数与指数幂的运算(二)

2.1.1 指数与指数幂的运算(二) (一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解分数指数幂的概念; (2)掌握分数指数幂和根式之间的互化; (3)掌握分数指数幂的运算性质; (4)培养学生观察分析、抽象等的能力. 2.过程与方法 通过与初中所学的知识进行类比,得出分数指数幂的概念,和指数幂的性质. 3.情感、态度与价值观 (1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想; (2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (3)让学生体验数学的简洁美和统一美. (二)教学重点、难点 1.教学重点: (1)分数指数幂的理解; (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; 2.教学难点:分数指数幂概念的理解 (三)教学方法 发现教学法 1.经历由利用根式的运算性质对根式的化简,注意发现并归纳其变形特点,进而由特 殊情形归纳出一般规律. 2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后, 进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发 现规律,并由特殊推广到一般的研究方法. (四)教学过程 教学 教学内容 师生互动 设计意图 环节 提出 回顾初中时的整数指数幂及运算性质. 老师提问, 学生回答. 学习 新知前的 a ? a ? a ? a ??? a, a ? 1 (a ? 0) n 0 , 问题 00 无意义 a ?n 简 单 复 习,不仅 1 ? n a (a ? 0) 能唤起学 生 的 记 忆,而且 am ? an ? am?n ; (am )n ? amn (a ) ? a , (ab) ? a b n m mn n n n 为学习新 课作好了 知识上的 准备. 什么叫实数? 有理数,无理数统称实数. 复习 观察以下式子,并总结出规律: a >0 ① 5 老师引导学生“当根式的被开 方数的指数能被根指数整除时,根 数学 中引进一 a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 a ? (a ) ? a ? a 8 4 2 4 8 2 10 引入 ② ③ 4 式可以写成分数作为指数的形式, 个新的概 (分数指数幂形式) ”联想“根式的 念或法则 时,总希 望它与已 有的概念 或法则是 相容的. a12 ? 4 (a3 )4 ? a3 ? a 5 12 4 被开方数不能被根指数整除时,根 式是否也可以写成分数指数幂的形 式.” .从而推广到正数的分数指数幂 的意义. ④ 5 a10 ? (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 10 小结: 当根式的被开方数的指数能被根 指数整除时, 根式可以写成分数作为指数的 形式, (分数指数幂形式). 根式的被开方数不能被根指数整除时, 根式是否也可以写成分数指数幂的形式 . 如: 3 a 2 ? a 3 ? (a ? 0) b ? b 2 ? (b ? 0) 1 2 4 c ? c ? (c ? 0) 5 n m m n * 5 4 即: a ? a (a ? 0, n ? N , n ? 1) 形成 为此, 我们规定正数的分数指数幂的意 义为: 学生计算、构造、猜想,允许交流 讨论,汇报结论.教师巡视指导. 让 学 生经历从 概念 a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * ) 正数的定负分数指数幂的意义与负整 数幂的意义相同. 即: a ? m n m n “特殊一 一般”, “归纳一 ? 1 a m n 猜想”, (a ? 0, m, n ? N ) * 是培养学 生“合情 推理”能 力的有效 方式,同 时学生也 经历了指 数幂的再 发 现 过 程,有利 于培养学 生的创造 能力. 规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的 负分数指数幂无意义. 说明:规定好分数指数幂后,根式与分 数指数幂是可以互换的, 分数指数幂只是根 式的一种新的写法,而不是 a ? a ? a ??? a (a ? 0) n m 1 m 1 m 1 m 深化 概念 由于整数指数幂,分数指数幂都有意 义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数 指数幂的运算性质, 可以推广到有理数指数 幂,即: (1) a ? a ? a r s r S r ?s 让学生讨论、研究,教师引导. 通过本环 节 的 教 学,进一 步体会上 (a ? 0, r, s ? Q) 一环节的 设 计 意 图. ) (2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q) rs ( 3 (a ? b)r ? ar br (Q ? 0, b ? 0, r ? Q) 若 a >0,P 是一个无理数,则 P 该如 何理解?为了解决这个问题, 引导学生先阅 读课本 P57——P58. 即: 2 的不足近似值, 从由小于 2 的 方向逼近 2 , 2 的过剩近似值从大于 2 的方向逼近 2 . 所以,当 2 不足近似值从小于 2 的 方向逼近时, 5 向逼近 5 2 . 当 2 的过剩似值从大于 2 的方向逼 近 2 时, 5 2 2 的近似值从小于 5 2 的方 的近似值从大于 5 2 的方向 逼近 5 2 ,(如课本图所示) 所以, 5 2 是一个确定的实数. 一般来说,无理数指数幂 a p (a ? 0, p是一个无理数) 是一个确定的 实数, 有理数指数幂的性质同样适用于无理 数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指 数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼 近以确定大小. 思考: 2 的含义是什么? 由以上分析,可知道,有理数指数幂, 无理数指数幂有意义,且它们运算性质相 同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性 质,即: 3 ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r ? R, s ? R) (ar )s ? ars (a ? 0, r ? R, s ? R) (a ? b)r ? ar br (a ? 0, r ? R) 应用 举例 例题 例 1(

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