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江苏省姜堰二中2018_2019学年高二数学上学期期中试题文2019010201106_图文

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江苏省姜堰二中 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题 文
(考试时间:120 分钟 满分:160 分)

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答.题.卡.相.应.位.置..
1. 设复数 z ? (2 ? i)2 ( i 为虚数单位),则 z 的共轭复数为 ▲ .

2.在某频率分布直方图中,从左往右有 10 个小矩形,若第一个小矩形的面积等于其余 9 个

小矩形的面积和的 1 ,且第一组数据的频数为 25,则样本容量为 ▲ . 5
3.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150,150,400,300 名学生.为了解学生的就业 倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取 60 名学生进行调查,则应从丁专业抽

取的学生人数为 ▲ . 4. 某地区连续 5 天的最低气温(单位:°C)依次为 8,-4,-1,0,2,则该组数据的方差

为 ▲.

5.已知物体运动的方程为 S ? 1 t3 ? t ,则 t=2 时的瞬时速度为 2

▲.

6.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随机

摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为________.

7.某圆锥的侧面展开图是面积为 3? 且圆心角为 2? 的扇形,此圆锥的体积为
3

▲.

8.在??4, 4? 上随机地取一个数 m ,则事件“直线 x ? 2 y ? m ? 0 与 x2 ? y2 ? 2x ? 2 ? 0 有

公共点”发生的概率为

▲.

-1-

9. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 x2 ? y2 ? 1的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近 4

线的距离为





10. 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各条棱长均为 2,D 为棱 B1C1 上任意一点,则三棱锥 D-A1BC 的体积是 ▲ .

11.已知 F 是抛物线 C : y2 ? 8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N .若

M 是 FN 的中点,则 FN 的长度为





12.若函数 f (x) ? 1 ax2 ? (a ?1)x ? ln x 在 x=1 处取得极小值,则实数 a 的取值范围是 2
▲.

13.圆 O : x2 ? y2 ? 1,直线 l : ax ? y ? 3 ,若直线上存在点 P ,过点 P 作圆 O 的两条切线,

切点是 A, B ,使得 ?APB ? 600 ,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

14.已知 F1、F2 分别是椭圆 x2 ? y2 ? 1的左、右焦点,点 P 是椭圆上的任意一点,则 84

|| PF1 | ? | PF2 || 的取值范围是 | PF1 |

▲.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内.作.答.,解答时应写出文字 说明、证明过程或计算步骤.

15.(本小题满分 14 分)

如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中. 求证:(1)A1C⊥BD;
(2)平面 AB1D1∥平面 BC1D.

-2-

16.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? x2 ? a(a ? R). (1)当 a=1 时,求曲线 y ? f (x) 在点(1, f(1))处的切线方程; (2)若函数 f (x) 只有一个零点,求 a 的取值范围.
17.(本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : x2 ? y2 ? 4x ? 0 及点 A(?1,0) , B(1,2) . (1)若直线 l 平行于 AB ,与圆 C 相交于 M , N 两点, MN ? AB ,求直线 l 的方程; (2)在圆 C 上是否存在点 P ,使得 PA2 ? PB2 ?12 ?若存在,求点 P 的个数;若不存在, 说明理由.
-3-

18.(本小题满分 16 分)
已知函数 f ? x? ? ex , g ? x? ? x ? m , m? R . (1)若曲线 y ? f ? x? 与直线 y ? g ? x? 相切且相切于点 P? x0, y0 ? ,求切点 P 坐标及实
数 m 的值;
(2)记 h?x? ? f ?x?? g ?x? ,求 h?x? 在?0,1? 上的最大值;

19.(本小题满分 16 分)

在平面直角坐标系

xOy

中,已知椭圆 C

: x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0)的离心率为

3 ,且过 2



???1,

3 2

? ??

.设

P

为椭圆

C

在第一象限上的点,

A



B

分别为椭圆

C

的左顶点和下顶点,

且 PA 交 y 轴于点 E , PB 交 x 轴于点 F .

-4-

(1)求 a ,b 的值; (2)若 F 为椭圆 C 的右焦点,求点 E 的坐标; (3)求证:四边形 ABFE 的面积为定值.

20.(本小题满分 16 分)

设椭圆 C: x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的离心率 e

?

3 ,直线 y ? x ? 2

2 与以原点为圆心、

椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)设直线 x ? 1 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 D,若圆 D 与 y 2
轴相交于不同的两点 A,B,求△ABD 的面积;

(3)如图,A1,A2,B1,B2 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 B2P 交 x 轴于点 F,直线 A1B2 交 A2P 于点 E,设 A2P 的斜率为 k,EF 的斜率为 m,求证:2m﹣k 为定 值.

-5-

-6-

高二数学期中考试参考答案

1. 3 ? 4i 【解析】由于 z ? (2 ? i)2 ? 3 ? 4i ,所以 z 的共轭复数为 3 ? 4i .

2.150【解析】设第一个小矩形面积为

x

,由

6x

? 1,得

x

?

1 6

,从而样本容量为

25?

6

?150 .

3. 解析:由题意可得:甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为 3:3:8: 6 ,所以 100 名学生中

丁专业抽取人数为 60? 6 ?18 人. 20
4.16 5.

6. 5 . 6

7. 2 2? 3
8. 3 4

9.

4 5

【解析】一条渐近线

y

?

2x

与右准线

x

?

5 的交点为 ( 5 , 2 5) ,其到另一条渐近线

5

55

y ? ?2x 的距离为 4 . 5

10.

11.如图,过点

M

作准线的垂线,垂足为 T

,交

y

轴于点

P

,所以

MP

?

1 2

OF

?

1 ,MF

?

MT

?

3,

所以 FN ? 2MF ? 6 .

12.a>1

13. a ? ? 5 或 a ? 5

2

2

14.

15.(1)证明:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,则有 DB⊥AC,DB⊥AA1, 且 AA1∩AC=A,∴DB⊥面 AA1C1C,
∵A1C ? 面 AA1C1C,
∴A1C⊥BD;…………………7 分

-7-

(2)∵

∴四边形 ABC1D1 是平行四边形,∴AD1∥BC1,

又∵DB∥B1D1,AD1 ? 面 AD1B1,B1D1 ? 面 AD1B1, BD ? 面 DBC1,BC1 ? 面 DBC1,且 AD1 ∩D1B1=D1.
∴平面 AB1D1∥平面 BC1D.…………………7 分

-8-

17.(1)圆 C 的标准方程为 (x ? 2)2 ? y2 ? 4 ,所以圆心 C(2,0) ,半径为 2 .

因为 l∥AB , A(?1,0) , B(1,2) ,所以直线 l 的斜率为 2 ? 0 ? 1 , 1 ? (?1)
设直线 l 的方程为 x ? y ? m ? 0 , ……………………………………………2 分

则圆心 C 到直线 l 的距离为 d ? 2 ? 0 ? m ? 2 ? m .…………………………4 分

2

2

因为 MN ? AB ? 22 ? 22 ? 2 2 ,

而 CM 2 ? d 2 ? ( MN )2 ,所以 4 ? (2 ? m)2 ? 2 , ……………………………6 分

2

2

解得 m ? 0 或 m ? ?4 ,

故直线 l 的方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0 .…………………………………8 分

(2)假设圆 C 上存在点 P ,设 P(x, y) ,则 (x ? 2)2 ? y2 ? 4 , PA2 ? PB2 ? (x ?1)2 ? ( y ? 0)2 ? (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 12 , 即 x2 ? y2 ? 2y ? 3 ? 0 ,即 x2 ? ( y ?1)2 ? 4 , ………………………………10 分 因为 | 2 ? 2 |? (2 ? 0)2 ? (0 ?1)2 ? 2 ? 2 ,……………………………………12 分 所以圆 (x ? 2)2 ? y2 ? 4 与圆 x2 ? ( y ?1)2 ? 4 相交, 所以点 P 的个数为 2 .…………………………………………………………14 分
18.解:(1)由 f ?? x? ? ex ,知 ex0 =1, 解得 x0 ? 0 , 又可求得点 P 为 ?0,1? ,………3 分 所以代入 g ? x? ? x ? m ,得 m ? ?1.……………6 分
(2)因为 h? x? ? ? x ? m?ex ,所以 h?? x? ? ex ? ? x ? m?ex ? ?x ? (m ?1)?ex, x?[0,1]. ①当 m ?1? 0,即 m ? 1时, h?? x? ? 0 ,此时 h? x? 在?0,1? 上单调递增, 所以 h? x? ? h?1? ? ?1? m?e ; ……………8 分
max
②当 0 ? m ?1?1即1? m ? 2 时,当 x??0,m ?1? 时, h?? x? ? 0 , h? x? 单调递减, 当 x??m ?1,1? 时, h?? x? ? 0 , h?x? 单调递增, h?0? ? ?m, h?1? ? ?1? m?e.
-9-

(i)当 ?m ? ?1? m?e ,即 e ? m ? 2 时, h? x? ? h?0? ? ?m ;………10 分

e ?1

max

(ii) 当 ?m ? ?1? m?e ,即1 ? m ? e 时, h? x? ? h?1? ? ?1? m?e ……12 分

e ?1

max

③当 m ?1?1,即 m ? 2时, h?? x? ? 0 ,此时 h? x? 在?0,1? 上单调递减,

所以 h? x? ? h?0? ? ?m . ……………14 分 min

综上,当 m ? e 时, h? x? ? ?1? m?e ;

e ?1

max

当 m ? e 时, h? x? ? ?m. ……………16 分

e ?1

max

19.(本小题满分 16 分)

解:(1)依题意,

1 a2

?

3 4b2

?1,

c a

?

3 ,其中 c2 ? a2 ? b2 (c ? 0) , 2

解得 a2 ? 4 ,b2 ? 1.

因为 a ? b ? 0 ,所以 a ? 2,b ?1.

……………4 分

? ? (2)由(1)知,椭圆 C 的右焦点为 F 3 ,0 ,椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 ,① 4

所以 A??2,0? ,B ?0 ,?1? .从而直线 BF 的方程为: x ? y ? 1 .



3

? ? 由①②得, P

8 3 ,1 77

.从而直线

AP

的方程为:

y

?

7

?

4 2

3 (x ? 2) .

? ? 令 x ? 0 ,得 y ? 7 ? 4 3 ,所以点 E 的坐标为 0,7 ? 4 3 .

……………9



(3)设

P ? x0

,y0 ?



x0

?

0 ,y0

?

0 ),且

x02 4

?

y02

?1

,即

x02

?

4 y02

?

4.

则直线

AP

的方程为:

y

?

y0 x0 ?

2

(x

?

2)

,令

x

?

0

,得

y

?

2 y0 x0 ? 2

.……………11



直线

BP 的方程为:

y ?1?

y0 ?1 x ,令 x0

y

?0

,得

x

?

x0 y0 ? 1



……………13



? ?? ? 所以四边形

ABFE

的面积 S

?

1 2

x0 ? 2 y0 ?1

2y0 ?1 ? 1 ? x0 ? 2y0 ? 2 ? x0 ? 2y0 ? 2

x0 ? 2

2 y0 ?1

x0 ? 2

? 1 ? x02 ? 4 y02 ? 2?2x0 y0 ? 2x0 ? 4 y0 ? ? 4 ? 2x0 y0 ? 2x0 ? 4y0 ? 4

2

x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

x0 y0 ? x0 ? 2y0 ? 2

?2.

……………16 分

- 10 -

20.【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由于直线 y=x+ 与以原点为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切,可得
=b,解得 b.又离心率 e= = ,b2=a2﹣c2,联立解得即可得出.

(2)把 x= 代入椭圆方程可得:

,可得⊙D 的方程为:



令 x=0,解得 y,可得|AB|,利用 S△ABD=

即可得出.

(3)由(1)知:A1(﹣2,0),A2(2,0),B2(0,1),可得直线 A1B2AD 的方程,设直线

A2P 的方程为 y=k(x﹣2),k≠0,且 k≠ ,联立解得 E.设 P(x1,y1),与椭圆

方程联立可得(4k2+1)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0.解得 P.设 F(x2,0),则由 P,B2,F

三点共线得,

.可得 F.即可证明 2m﹣k 为定值.

【解答】 (1)解:∵直线 y=x+ 与以原点为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切,



=b,化为 b=1.

∵离心率 e= = ,b2=a2﹣c2=1,联立解得 a=2,c= .

∴椭圆 C 的方程为

=1;……………………4 分

(2)解:把 x= 代入椭圆方程可得: ∴⊙D 的方程为: 令 x=0,解得 y=± , ∴|AB|= ,

,解得 y=± . .

∴S△ABD=

=

= .……………………9 分

(3)证明:由(1)知:A1(﹣2,0),A2(2,0),B2(0,1),

- 11 -

∴直线 A1B2 的方程为

,……………………11 分

由题意,直线 A2P 的方程为 y=k(x﹣2),k≠0,且 k≠ ,



,解得



设 P(x1,y1),则由

,得(4k2+1)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0.

∴2x1=

,∴x1=

,y1=k(x1﹣2)=





.……………………13 分

设 F(x2,0),则由 P,B2,F 三点共线得,





=

,∴x2=

,∴F



∴EF 的斜率 m=

= .……………………15 分

∴2m﹣k=

﹣k= 为定值.……………………16 分

- 12 -