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上海冠龙高级中学2018年第二学期高二数学期末试卷

上海冠龙高级中学 2018 年第二学期高二数学期末试卷 本试卷满分 120 分考试时间 90 分钟 一、填空题(满分 48 分,每小题 4 分) 1.直线 3x+4y+1=0 的一个方向向量 d =( ), 一个法向量 n =( ) 2.直线 ax+by+c=0,ab<0,则直线的斜率 k=,倾斜角α = 3.若直线 3x-2y+a=0 与直线 6x-4y+3=0 平行,则 a 的取值范围是 4.已知直线 3 x+y=0 与直线 y=kx+1 的夹角为 60°,则 k= 5.圆心为(3,-2),且经过点(1,-3)的圆的标准方程是 6.抛物线 y2=4x 上任一点 M 与点 A(0,-1)的连线的中点轨迹方程是 7.方程 x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实数 k 的取值范围是 k ? 2 k ?1 8.若(x-2i)y=y+i,x、y∈R,i 为虚数单位,到 1 3 11 9.计算: (? ? i) = 2 2 x = y 10.求 (1 ? i ) 5 ( ?2 ? 4i ) = (1 ? i ) 3 11.已知 z ? 2 ? z ? i ,写出复数 z 在复平面上所对应的点 Z 的集合是 . 12.若 3i-1 是关于 x 的方程 2x2+px+q=0 的一个根(p、q∈R)则 p=,q= 二、选择题(满分 32 分,每小题 4 分) a ? 2i 13. 若 复 数 (a ∈ R, i 为 虚 数 单 位 ) 为 纯 虚 数 , 则 1? i ( ) A 2 B -2 C 4 D 3 14. 若 复 数 z=a+bi(a 、 b ∈ R), 则 下 列 正 确 的 ( ) A z2 > z 2 a= 是 B z2 = z 2 C z2 < z 2 D z =z2 2 15. 已 知 z ∈ C, 且 z ? 2 ? 2i ? 1 , i 为 虚 数 单 位 , 则 z ? 2 ? 2i 的 最 小 值 是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 16.已知关于 x 的实系数一元二次方程在复数集中两个根α 、β ,有下列结论: b c ①α 、β 互为共轭复数;②α +β =- ,α ?β = ;③b2-4ac≥0; a a ④ ? ? ? ? (? ? ? ) 2 ? 4?? . 正 1 确 结 论 的 个 数 是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2 2 17. . 若 方 程 x +y - x - 2y+c=0(c ∈ R) 是 一 个 圆 的 一 般 方 程 , 则 c ( ) 5 5 5 A c≥ B c∈R C c= D c< 4 4 4 18. 若 椭 圆 ( x2 y2 x2 y2 ? 2 ?1 与双曲线 2 ? ?1有相同的焦点, 则实数 m 为 4 m 2 m ) A 1 B -1 C ±1 D 不确定 19. 双 曲 线 mx2 - y2=m 的 虚 轴 长 是 实 轴 长 的 2 倍 , 则 实 数 m= ( ) A -4 B 2 C 4 D ±4 20.顶点为原点,焦点在 y 轴上的抛物线上一点 P(m,-2)到焦点距离为 4,则实数 m=( ) A ±2 B ±4 C 2 D 4 三、解答题(满分 40 分) 21.(满分 6 分) 已知直线 ax+4y-2=0 与直线 2x-5y+c=0 相互垂直,且垂足为(1,b), 求实数 a、b、c 的值. 解: 22.(满分 8 分)已知复数 z=log2(x2-3x-2)+ilog2(x-3) (1)x 为何实数时,z 为实数? (2)x 为何实数时,z 为纯虚数? (3)x 为何实数时,z 在复平面上所对应的点第三象限? 解: 2 23.(满分 8 分)已知椭圆 x2 y2 ? ? 1 ,点 M(2,3)过 M 点引直线交椭圆于 A、 4 1 B 两点,求弦 AB 的中点 P 的轨迹方程。 解: 24.(满分 8 分)设复数 z 满足 z ? 1 1 ? ,求 z。 z 2 3 25.(满分 10 分)平面直角坐标系中 C(p,0)作直线与抛物线 y2=2px(p>0)相 交于 A、B 两点,如图设 A(x1,y1)、B(x2,y2) (1)求证 y1,y2 为定值; (2)若点 D 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点, 求 ?ADB 面积的最小值. (1)证明: (2)解: 4 冠龙高级中学 2018 年第二学期高二数学期末试卷答案 b b 3 3 1.(-3,4);(4,3) 2.- ;arctan(- ) 3.(-∞, )∪( ,+∞) a a 2 2 1 4.0 或 3 5.(x-3)2+(y+2)2=5 6. (y+ )2=2x 7. (-∞,-2) 8. -2 2 9.- 1 3 - i 2 2 10.4 5 11.线段的垂直平分线,线段端点分别为(2,0),(0,1). 18. C 19. C 20. 12.4;20 13. A 14. B 15. B 16. A 17. D B 21.解得 a=20;b=-2;c=-12 答对一个得 2 分 22.解:定义域 x> 3 ? 17 2 2分 2分 (1) z 为实数的充要条件:x2-3x-2>0 且 log2(x-3)=0,得 x=4 (2) z 为纯虚数的充要条件:log2(x2-3x-2)=0 且 log2(x-3)≠0, 得 x= 3 ? 21 2 2分 (3) z 在复平面上所对应的点第三象限的充要条件:log2(x2-3x-2)<0 且 log2(x-3)<0, 得 3 ? 17 3 ? 21 <x< 2 2 2 2 ①, x2 ? 4 y2 ?4 2分 23.解:设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x,y),直线 AB:y-3=k(x-3) 则 x12 ? 4 y12 ? 4 ② 2分 ①-②得:(x1+x