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河南省三门峡市陕州中学2015-2016学年高二数学下学期第一次精英对抗赛试题 理

2015—2016 学年下期高二第一次精英对抗赛 (理科)学试卷
考试时间:120 分钟 试卷总分: 150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( A.10 种 B.20 种 C.25 种 D.32 种 )

2.设离散型随机变量 X 的分布列为:

X P
则 p 的值为( A. 1 2 ) 1 B. 4 1 C. 3

1 1 6

2 1 3

3 1 6

4

p

1 D. 6

3.甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙各选修 3 门,则不同的选修方案 共有( A.36 种 ) B.48 种
5

C.96 种
2

D.192 种 )

4.已知(1+ax)(1+x) 的展开式中 x 的系数为 5,则 a=( A.-4 B.-3 C.-2 D.-1

5.用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( A.243 B.252 C.261

)

D.279

6.张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排 两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这 6 人的入园顺序排法种数共有( A.12 种
x

)

B.24 种
x-1

C.36 种 )

D.48 种

7.已知 3A8=4A9 ,则 x 等于( A.6 B.13 C.6 或 13

D.12

8.如图,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为( )

A.320

B.160

C.96
2m

D.60
2m+1

9.设 m 为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y)

展开式的二项式系数的最大值为

b.若 13a=7b,则 m 等于(
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)

A.5

B.6

C.7

D.8

10. 2014 年世界杯参赛球队共 32 支, 现分成 8 个小组进行单循环赛, 决出 16 强(各组的前 2 名小组出线), 这 16 个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出 8 强,再决出 4 强,直到决出冠、亚军和第三名、第四名, 则比赛进行的总场数为( A.64 B.72 ) C.60 D.56

?1 3?n * 11.对于二项式? +x ? (n∈N ),4 位同学做出了 4 种判断: ?x ?
①存在 n∈N ,展开式中没有常数项; ②对任意 n∈N ,展开式中没有常数项; ③对任意 n∈N ,展开式中没有 x 的一次项; ④存在 n∈N ,使展开式中有 x 的一次项. 上述判断中正确的是( A.①与③ B.②与③ ) C.②与④ D.①与④ )
* * * *

2 ?n ? 12.? x+ 2? 展开式中只有第六项 二项式系数最大,则展开式中的常数项是(

?

x?

A.180

B.90

C.45

D.360

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.绍兴臭豆腐闻名全国,一外地学者来绍兴旅游,买了两串臭豆腐,每串 3 颗(如图).规定:每串臭豆 腐只能自左 向右一颗一颗地吃,且两串可以自由交替吃.请问:该学者将这两串 臭豆腐吃完,有________种不同的吃法.(用数字作答) 14.某乒乓球队有 9 名队员,其中 2 名是种子选手,现在挑选 5 名队员参加比赛, 种子选手都必须在内,那么不同的选法共有________. 15.在(x- 2)
2 008

的二项展开式中,含 x 的奇次幂的项之和为 S,当 x= 2时 S=________.

16.一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球,给出下列结论: 3 ①从中任取 3 球,恰有一个白球的概率是 ; 5 4 ②从中有放回的取球 6 次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为 ; 3 2 ③从中不放回的取球 2 次,每次任取 1 球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为 ; 5 26 ④从中有放回的取球 3 次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为 . 27 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (一)(本小题满分 5 分)某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O 型血的共有 28 人,A 型血的共有 7 人,B 型血的共有 9 人,AB 型血的有 3 人. (1)从中任选 1 人去献血,有多少种不同的选法?
2
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(2)从四种血型的人中各选 1 人去献血,有多少种不同的选法? (二)(本小题满 分 5 分)有 6 个球,其中 3 个一样的黑球,红、白、蓝球各 1 个,现从中取出 4 个球排成 一列,共有多少种不同的排法?

18.(本小题满分 12 分)解方程:(1)C13 =C13 ; 1 3 x-2 x-3 (2)Cx+1+Cx+2= Ax+3. 10

x+1

2x-3

19.(本小题满分 12 分)已知?

? 3 3 ?n ? 3 1 ?5 ? 展开式中的常数项, - a? 的展开式的各项系数之和等于?4 b- 5b? ? a ? ?

求?

? 3 3 ?n -1 - a? 展开式中含 a 的项的二项式系数 ? a ?

20.(本小题满分 12 分)三个女生和五个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排 法? (5)甲必须在乙的右边,可有多少种不同的排法?

21.(本小题满分 12 分)杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要 研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个 11 阶杨 辉三角:

(1)求第 20 行中从左到右的第 4 个数; 2 (2)若第 n 行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 ,求 n 的值; 3 (3)求 n 阶(包括 0 阶)杨辉三角的所有数的和.
3
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22.(本小题满分 12 分)(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利, 1 2 比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果 2 3 相互独立. (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3∶2,则胜利方得 2 分, 对方得 1 分.求乙队得分 X 的分布列.

4
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参考答案 DCCDB,BAABA,DA 13, 20 14, 35 种
3 011

15, -2

16, ①②④ 17,(一) 解析: 从 O 型血的人中选 1 人有 28 种不同的选法,从 A 型血的人中选 1 人有 7 种不同的选法, 从 B 型血的人中选 1 人有 9 种不同 的选法,从 AB 型血的人中选 1 人有 3 种不同的选法. (1)任选 1 人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,这件“任选 1 人去献血”的事情都能完成,所以由 分类加法计数原理知,共有 28+7+9+3=47 种不同的选法. (2)要从四种血型的人中各选 1 人,即要在每种血型的人中依次选出 1 人后,这件“各选 1 人去献血”的 事情才完成,所以由分步乘法计数原理知,共有 28×7×9×3=5 292 种不同的选法. (二)解析: 分三类: (1)若取 1 个黑球,和另三个球,排 4 个位置,有 A4=24 种; (2)若取 2 个黑球,从另三个球中选 2 个排 4 个位置,2 个黑球是相同的,自动进入,不需要排列,即有 C3A4=36 种; (3)若取 3 个黑球,从另三个球中选 1 个排 4 个位置,3 个黑球是相同的,自动进入,不需要排列,即有 C3A4=12 种; 综上,共有 24+36+12=72 种不同的排法. 18,解析: (1)由原方程得 x+1=2x-3 或 x+1+2x-3=13, ∴x=4 或 x=5, 0≤x+1≤13 ? ? 又由?0≤2x-3≤13 ? ?x∈N*
1 1 2 2 4

得 2≤x≤8 且 x∈N ,

*

∴原方程的解为 x=4 或 x=5. (注:上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把 x=4 或 x=5 代入检验,这样运算量小得多) 1 3 x-2 (2)原方程可化为 Cx+3= Ax+3, 10 1 3 5 即 Cx+3= Ax+3, 10 ∴ ∴
2

5!

x+ ! x+ ! = , x- ! 10·x!
1 x- = ! 10·x x- 1

x-



.

∴x -x-12=0, 解得 x=4 或 x=-3(舍去), 经检验,x=4 是原方程的解.
5
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? 3 1 ?5 19, .解析: 设?4 b- ? 的展开式的通项为 5b? ?
Tr+1=Cr b)5-r?- 5(4
=? - 3

? ?

1 ?r ? 5b?

? ?

1 ?r 5-r r 10-5r ? ·4 C5·b 6 (r=0,1,2,3,4,5). 5?

若它为常数项, 则 10-5r =0, 6

∴r=2, 代入上式,∴T3=2 .即常数项是 2 , 从而可得?
7 7

? 3 3 ?n - a? 中 n=7, ? a ?

由?

? 3 3 ?7 -1 - a? 二项展开式的通项公式 知,含 a 的项是第 4 项,其二项式系数是 35. ? a ?
(1)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体, 这样同五个男生合在一
6 3

20,解析:

起共有六个元素,排成一排有 A6种不同排法.对于其中的每一种排法,三个女生之间又都有 A3种不同的排 法,因此共有 A6A3=4 320 种不同的排法. (2)要保证女生全分开,可先把五个男生 排好,每两个相邻的男生之间留出一个空位,这样共有四个空位, 加上两端两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置 至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有 A5种不同的排法,对于其 中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有 A6种方法,因此共有 A5A6=14 400 种 不同的排法. (3)方法一:因为两端不能排女生,所以两端只能挑选五个男生中的两个,有 A5种排法,对于其中的任意 一种排法,其余六位都有 A6种排法,所以共有 A5A6=14 400 种不同的排法. 方法二:三个女生和五个男生排成一排共有 A8种不同的排法,从中去掉女生排在首位的 A3A7种排法和女生 排在末位的 A3A7种排法,但这样两端都是女生的排法在去掉女生排在首位的情况时被去掉一次,在去掉女 生在末位的情况时又被去掉一次,所以还需加上一次,由于两端都是女生有 A3A6种不同的排法,所以共有 A8-2A3A7+A3A6=14 400 种不同的排法. (4)方法一:因为只要求两端不能都排女生,所以如果首位排了男生,则末位就不再受条件限制了,这样 可有 A5A7种不同的排法;如果首位排女生,有 A3种排法,这样末位就只能排男生,这样可有 A3A5A6种不同排 法,因此共有 A5A7+A3A5A6=36 000 种不同的排法. 方 法二:三个女生和五个男生排成一排有 A8种排法,从中扣去两端都是女生的排法 A3A6种,就能得到两端 不都是女生的排法种数,因此共有 A8-A3A6=36 000 种不同的排法. 1 A8 (5)甲必须在乙的右边即为所有排列的 2,因此共有 2=20 160 种不同的排法. A2 A2
6
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6 3

5

3

5 3

2

6

2 6

8

1 7

1 7

2 6

8

1 7

2 6

1 7

1

1 1 6

1 7

1 1 6

8

2 6

8

2 6

8

21,解析: (1)C20=1 140. Cn 2 14 2 (2) 14= ? = ,解得 n=34. Cn 3 n-13 3 (3)1+2+2 +…+2 =2
2 13

3

n

n+1

-1.

22, 解析: (1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1, “甲队以 3∶1 胜利”为事件 A2, “甲队以 3∶2 胜利” 为事件 A3, 由题意知,各局比赛结果相互独立,

?2?3 8 故 P(A1)=? ? = , ?3? 27
2 P(A2)=C2 , 3? ? ?1- ?× = 3 3

?2? ? ? ?? ?2? ? ? ??

2? 2?

2

8

? 3 27 ?

2 2 P(A3)=C2 . 4? ? ?1- ? × = 3 3

1 4 2 27

8 4 所以甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为 ,以 3∶2 胜利的概率为 . 27 27 (2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4, 由题意知,各局比赛结果相互独立, 2?2?2?2 ? 1? 4 2? 所以 P(A4)=C4?1- ? ? ? ×?1- ?= . ? 3? ?3? ? 2? 27 由题意知,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3, 根据事件的互斥性得

P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)= .
4 又 P(X=1)=P(A3)= , 27

16 27

P(X=2)=P(A4)= , P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)= ,
故 X 的分布列为 3 27

4 27

X P

0 16 27

1 4 27

2 4 27

3 3 27

7
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