当前位置:首页 >> >>

北师大版 必修1 数学1:3.4 第2课时 对数的运算性质和换底公式(导学式)_图文

第三章 指数函数和对数函数 §4 对数 第2课时 对数的运算性质和换底公式 高中数学必修1· 精品课件 学习目标 1.加深对数的概念. 2.理解对数运算性质的推导过程,掌握对数的运算性质、换底公式. 3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值. 引入课题 在前面,我们已经知道对数式logaN=x是由指数式ax=N变化 得来的,二者的关系如图: 指数 对数 (a>0且a≠1) 幂 底数 真数 底数 引入课题 另一方面,我们又学习过指数运算有如下的运算性质: ) ) ) 那么对数运算又有哪些运算性质呢?这就是本节课的学习内容. 探究点1 对数的运算性质 问题1: 试根据指数运算性质结合对数与指数关系,证明 :loga(M· N)=logaM+logaN. 证明: ∵, 设M=, 则M, 由对数定义得到:logaM=m,logaN=n,loga(M· N)=m+n. ∴loga(M· N)=logaM+logaN 探究点1 对数的运算性质 问题2: 仿照问题1方法,试根据指数运算性质, 证明:logalogaMlogaN. 证明: ∵, 设M=, 则, 由对数定义得到:logaM=m,logaN=n,logam-n. ∴ logalogaMlogaN. 探究点1 问题3: 对数的运算性质 试证明:logalogaM. 提示:利用公式. 证明: ∵, 设M=, 则, 由对数定义得到:logaM=m,logamn, ∴ logalogaM. 探究点1 对数的运算性质 对数的运算性质: 则: 积的对数=对数的和 商的对数=对数的差 正数的n次方的对数 =正数的对数的n倍 探究点2 换底公式 问题1: 结合对数的定义,你能推导出对数的换底公式吗? (a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; b>0) 证明:设, 由对数的定义可得: 两边取以c为底的对数得: ∴ 即证得 ∴ 探究点2 换底公式: 换底公式 (a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; b>0) 即:一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示. 推论 (1)bnlogab; (2)logab= (或logab· logba=1). 探究点2 换底公式 换底公式用途和本质: (1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对 数,然后查表求值,以此来解决对数求值的问题. (2)换底公式的本质是化为同底,这是解决对数问题的基本方法. 典例精讲:题型一:对数的运算性质 【例 1】 用 logax , logay , logaz 表示下列各式 : (1)loga; (2)loga. loga + logaloga [解析] (1) loga logaloga (2)loga logalogaloga + logaloga 2 loga + loga loga 题后反思 方法总结:对数运算时公式记忆要准确,特别是要注意: loga(MN)≠logaM· logaN, loga(M±N)≠logaM±logaN. 典例精讲:题型二:运用对数的运算性质求值 【例2】计算 : (1); (3) (4) (2); [思路分析]运用对数运算性质求值时,当底数相同,则直接利用对数运 算性质求解,若底数不同,则借助对数运算性质和换底公式,化式子 为同底的形式,同时尽可能使真数只有一种或少数几种(通常为2,3,5等 ). 典例精讲:题型二:运用对数的运算性质求值 【例2】计算 : (1); (3) (4) (2); [解析] (1)lg10=1. (2) 典例精讲:题型二:运用对数的运算性质求值 【例2】计算 : (1); (3) (4) (2); [解析] (3) (4) 题后反思 方法总结:1.在对数运算中常有以下技巧: ①lg2+lg5=1; ④ b= ②bnlogab; ⑤logab·logba ③logab= ⑥logab·logbc·logca=1 灵活运用对数运算法则进行运算,计算时将底数化为相同,真数尽 量化小,从而便于选择快捷、有效的运算方案进行对数运算. 典例精讲:题型三:运用对数知识解决实际问题 【例3】20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能 量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大 ,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M. 其计算公式为. 其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用 标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差). 典例精讲:题型三:运用对数知识解决实际问题 (1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地 震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震 级(精确到0.1); (2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅 是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1). 典例精讲:题型三:运用对数知识解决实际问题 [解析] (1)M=lg20lg0.001=lg2+1(3)=lg2+4≈4.3 因此,这是一次约为里氏4.3级的地震. (2)设5级地震和7.6级地震最大振幅分别为A5,A7. 则,两式相减得, 即,从而 102.6 ≈398 答:7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍. 题后反思 可以看到,虽然7.6 级地震和5级地震仅相差2.6级,但7.6级地震 的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以,7.6 级地震的破坏性 远远大于5级地震的破坏性. 课堂练习 1. 下列各式的值: (1)lg+lg (2)log345-log35 =lg=lg [解析] (1) lg+lg=lg(×) (2) log345-log35 log39=2. lg10. 课堂练习 2.已知a=log32,那么lo