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2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习:第七章 第二节 一元二次不等式及其解法 Word版含解析

一、填空题 1.已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A,不等式 x2+x-6<0 的解集是 B,不等 式 x2+ax+b<0 的解集是 A∩B,那么 a+b 等于________. 解析:由题意:A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},A∩B={x|-1<x<2}, 由根与系数的关系可知: a=-1,b=-2, ∴a+b=-3. 答案:-3 2.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x- 0.1x2(0<x<240), 若每台产品的售价为 25 万元, 则生产者不亏本(销售收入不小于 总成本)时的最低产量是________. 解析:依题意得 25x≥3 000+20x-0.1x2, 整理得 x2+50x-30 000≥0,解得 x≥150 或 x≤-200, 因为 0<x<240,所以 150≤x<240,即最低产量是 150 台. 答案:150 台 2-x 3.不等式 ≥0 的解集是________. x-1 ? 2-x ??x-1??x-2?≤0 解析: ≥0 等价于? , x-1 ? ?x≠1 2-x 所以不等式 ≥0 的解集为(1,2]. x-1 答案:(1,2] 4.在 R 上定义运算?:x?y=(1-x)(1+y).若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意的实 数 x 都成立,则实数 a 的范围是________. 解析:由题知,(x-a)?(x+a)=(1-x+a)(1+x+a)=(1+a)2-x2<1 恒成立,即 x2>(1+a)2-1 恒成立,故只要(1+a)2-1<0 恒成立,即 a2+2a<0,解得-2<a<0. 答案:-2<a<0 ?x>0? ?-2 5.设函数 f(x)=? 2 ,若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于 x 的 ?x +bx+c ?x≤0? 不等式 f(x)≤1 的解集为________. b 解析:当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c 且 f(-4)=f(0),故其对称轴为 x=-2=-2, ∴b=4.又 f(-2)=4-8+c=0,∴c=4,令 x2+4x+4≤1 有-3≤x≤-1;当 x>0 时,f(x)=-2≤1 显然成立,故不等式的解集为[-3,-1]∪(0,+∞). 答案:[-3,-1]∪(0,+∞) 6.若关于 x 的不等式(2ax-1)· ln x≥0 对任意 x∈(0,+∞)恒成立,则实数 a 的 值为________. 解析: 若 x=1, 则原不等式恒成立, 此时 a∈R; 若 x>1, 则 ln x>0, 于是 2ax-1≥0, 1 1 1 即 a≥(2x)max,所以 a≥2;若 0<x<1,则 ln x<0,于是 2ax-1≤0,即 a≤(2x)min, 1 1 所以 a≤2.综上所述,a=2. 1 答案:2 7.命题 p:方程 x2-x+a2-6a=0 有一正根和一负根.命题 q:函数 y=x2+(a -3)x+1 的图象与 x 轴有公共点.若命题“p 或 q”为真命题,而命题“p 且 q” 为假命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由命题 p,得 x1x2=a2-6a<0,即 0<a<6;由命题 q,得 Δ=(a-3)2-4≥0, 即 a≥5 或 a≤1;根据题意,可知命题 p 与命题 q 一真一假,当命题 p 真且命题 q 假时,a∈(1,5);当命题 q 真且命题 p 假时,a∈(-∞,0]∪[6,+∞),综上,a∈(- ∞,0]∪(1,5)∪[6,+∞). 答案:(-∞,0]∪(1,5)∪[6,+∞) 8.若存在实数 x,使得 x2-4bx+3b<0 成立,则 b 的取值范围是________. 3 解析:本题是存在性命题,只要满足 Δ=16b2-12b>0 即可,解得 b<0 或 b>4. 3 答案:(-∞,0)∪(4,+∞) 1 1 9.若关于 x 的不等式 x2+2x-(2)n≥0 对任意 n∈N*在(-∞,λ]上恒成立,则实 常数 λ 的取值范围是________. 1 1 解析:由已知得 x2+2x≥(2)n 对任意 n∈N*在(-∞,λ]上恒成立. 1 1 ∵( )n≤ ,n∈N*; 2 2 1 1 ∴x2+2x≥2在(-∞,λ]上恒成立. 1 1 1 解不等式 x2+2x≥2得 x≤-1 或 x≥2, 1 1 ∴当 λ≤-1 时,x2+2x≥2在(-∞,λ]上恒成立. 答案:(-∞,-1] 二、解答题 10.已知 f(x)=ax2+x-a,a∈R, 17 (1)若函数 f(x)有最大值 8 ,求实数 a 的值; (2)解不等式 f(x)>1(a∈R). 1+4a 1 解析:(1)f(x)=a(x+2a)2- 4a a≥0 时不合题意. 1 当 a<0 时,x=-2a, 1+4a2 17 f(x)有最大值且- 4a = 8 . 1 解得:a=-2 或 a=-8. (2)f(x)>1,即 ax2+x-a>1, 2 (x-1)(ax+a+1)>0. ①当 a=0 时,x>1; 1 ②a>0 时,x>1 或 x<-1-a; 1 ③当 a=-2时,(x-1)2<0,无解; 1 1 ④当-2<a<0 时,1<x<-1-a; 1 1 ⑤当 a<-2时,-1-a<x<1. 11. 若不等式 2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2 的所有 m 都成立, 求 x 的取值范 围. 解析:原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0, 记 f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2). 2 ? ?f?-2?=-2?x -1?-?2x-1?<0, 根据题意得? 2 ? ?f?2?=2?x -1?-?2x-1?<0, 2 ? ?2x +2x-3>0, 即? 2 ? ?2x -2x-1<0, 解得 x 的取值范围为 -1+ 7 1+ 3 < x < 2 2 . 12.某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄

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