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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第3章 2.2(二)-精选教育

2.2 最大值、最小值问题(二)

一、基础过关

1. 炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时,原油温度(单

位:℃)为 f(x)=13x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是

A.8

20 B. 3

C.-1

D.-8

2. 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时底面边长为 ( )

A.3 V

B.3 2V

C.3 4V

D.23 V

3. 从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒

子,则盒子容积的最大值为

()

A.24 cm3

B.72 cm3

C.144 cm3

D.288 cm3

4. 用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后

把四边翻转 90°角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为

()

A.120 000 cm3

B.128 000 cm3

C.150 000 cm3

D.158 000 cm3

5. 要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则其高为 ( )

20 3 A. 3 cm

B.100 cm

C.20 cm

20 D. 3 cm

6. 如图所示,某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一 边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁.当砌壁所用的

材料最省时,堆料场的长和宽分别为______. 二、能力提升

7. 某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的 运费 y2 与到车站的距离成正比.如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________ 千米处.

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8. 为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱 如图,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长为 a 米, 高为 b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与 a,b 的乘积 ab 成反 比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a=________,b=________时,经沉淀后流出的水 中该杂质的质量分数最小(A,B 孔的面积忽略不计).
9. 如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为 18 000 cm2,四周空白 的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告 的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?
10.某商场预计 2019 年从 1 月份起前 x 个月,顾客对某种商品的需求总量 p(x)件与月份 x 的 近似关系是 p(x)=12x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且 x≤12). 该商品的进价 q(x)元与月份 x 的近似关系是 q(x)=150+2x(x∈N*,且 x≤12), (1)写出今年第 x 月的需求量 f(x)件与月份 x 的函数关系式; (2)该商品每件的售价为 185 元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则此商场今 年销售该商品的月利润预计最大是多少元?
11.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为 20 km/h 时, 每小时消耗的煤价值 40 元,其他费用每小时需 200 元,火车的最高速度为 100 km/h, 火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?
三、探究与拓展 12.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,
左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为803π立方米,且 l≥2r.假设该容器的建 造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每 平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.
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答案

1.C 2.C 3.C 4.B 5.A 6.32 米,16 米 7.5 8.6 3 y-25
9. 解 设广告的高和宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, 2 ,其中 x>20, y>25. y-25 两栏面积之和为 2(x-20)· 2 =18 000, 由此得 y=18 000+25. x-20

广告的面积 S=xy=x(18 000+25)=18 000x+25x.

x-20

x-20

18 000[?x-20?-x]

-360 000

∴S′=

?x-20?2

+25= ?x-20?2 +25.

令 S′>0 得 x>140,

令 S′<0 得 20<x<140.

∴函数在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减,

∴S(x)的最小值为 S(140).

当 x=140 时,y=175.

即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值为 24 500,

故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 10.解 (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37;
当 2≤x≤12 时,

f(x)=p(x)-p(x-1) =12x(x+1)(39-2x)-12(x-1)x·(41-2x) =-3x2+40x(x∈N*,且 2≤x≤12). 验证 x=1 符合 f(x)=-3x2+40x, ∴f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且 1≤x≤12).

(2)该商场预计销售该商品的月利润为

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g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x) =6x3-185x2+1 400x(x∈N*,1≤x≤12), g′(x)=18x2-370x+1 400, 令 g′(x)=0,解得 x=5,x=1940(舍去). 当 1≤x<5 时,g′(x)>0; 当 5<x≤12 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时, g(x)max=g(5)=3 125(元). 综上 5 月份的月利润最大是 3 125 元. 11.解 设速度为 x km/h,甲、乙两城距离为 a km. 则总费用 f(x)=(kx3+200)·ax =a(kx2+20x0). 由已知条件,得 40=k·203,∴k=2100, ∴f(x)=a(2100x2+20x0).
a?x3-20 000? 令 f′(x)= 100x2 =0, 得 x=103 20. 当 0<x<103 20时,f′(x)<0; 当 103 20<x<100 时,f′(x)>0. ∴当 x=103 20时,f(x)有最小值, 即速度为 103 20 km/h 时,总费用最少. 12.解 (1)设容器的容积为 V, 由题意知 V=πr2l+43πr3,又 V=803π,
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V-43πr3 80 4 4 20 故 l= πr2 =3r2-3r=3( r2 -r). 由于 l≥2r,因此 0<r≤2. 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr2c=2πr×43(2r02 -r)×3+4πr2c, 因此 y=4π(c-2)r2+16r0π,0<r≤2. (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r-16r02 π =8π?cr-2 2?(r3-c-202),0<r≤2.

由于 c>3,所以 c-2>0.

当 r3- 20 =0 时,r= 3

20 .

c-2

c-2

3 令

20 =m,则 m>0,

c-2

8π?c-2? 所以 y′= r2 (r-m)(r2+rm+m2). ①当 0<m<2,即 c>92时,令 y′=0,得 r=m. 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2]时,y′>0,

所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. ②当 m≥2,即 3<c≤92时, 当 r∈(0,2]时,y′≤0,函数单调递减,

所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 综上所述,当 3<c≤92时,建造费用最小时 r=2;

当 c>92时,建造费用最小时 r= 3

20 .
c-2

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