当前位置:首页 >> 理学 >>

第二节 定积分的性质


第二节 定积分的性质

一、定积分的基本性质
⑴交换定积分的上下限,定积分改变符号, 即 a b

? f ( x )dx ? ? ? f ( x )dx
b a

⑵ 上下限相同的定积分等于零,即

? f ( x )dx ? 0
a

a

⑶ 定积分不依赖于积分变量的记号,即

? f ( x)dx ? ? f (t )dt
a a

b

b

⑷ 如果在区间[a, b]上被积函数 f ( x) ? 1 ,则

? dx ? b ? a
a

b

⑸ 线性性质: ① 可积函数代数和的定积分等于它们定积 分的代数和,即

? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a a a

b

b

b

② 被积函数的常数因子可以提到积分号外, 即 b b

? kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx
a a

证① :

? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a

b

? lim ? [ f (?i ) ? g (?i )]?xi
? ?0
i ?1
n

n

? lim ? f (?i )?xi ? lim ? g (?i )?xi
? ?0
b
i ?1

n

? ?0

i ?1

? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a a

b

⑹ 定积分对于积分区间具有可加性,即

? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a a c

b

c

b

证明: 先设 a ? c ? b 由于函数在 [a, b]上可积, n 在 ? ? 0 时,Riemann和 ? f (? i )?xi 的极限总
i ?1

由于此极限与区间 [a, b] 的分割无关, 是存在。
因此可以使 c 为一个分点,将原有区间分成 两个子区间: [a, c] 和 [c, b]

此时区间 [a, b] 上的Riemann和就等于子区 间 [a, c] 和 [c, b] 上 Riemann和的和,即

? f (? )?x ? ? f (? )?x ? ? f (? )?x
i i i i i [ a ,b ] [ a ,c ] [ c ,b ]

i

在 ? ? 0 条件下,上式两端同时取极限 即得

? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a a c

b

c

b

再设 a ? b ? c , 由 ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ,得
a a b c b c

? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a a b a c

b

c

c

c

b

证毕

⑺ 保号性质:如果 ?x ? [a, b]

f ( x) ? 0 ,则

? f ( x)dx ? 0
a

b

( a ? b)

证明: 由 f (?i ) ? 0 , ?xi ? 0 (i ? 1 , 2 ,?, n)



? f ( x )dx ? lim ? f (? )?x ?
a ?0 i ?1 i

b

n

i

?0

⑻ 保序性质:如果 ?x ? [a, b] f ( x) ? g ( x)
则 ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a a b b

( a ? b)

证明:令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ,由⑺得

? F ( x )dx ? ? [ f ( x ) ? g ( x)]dx ? 0
a a

b

b

( a ? b)

⑼ 绝对值性质:

?
a

b

f ( x) dx ?

? f ( x)dx
a

b

( a ? b)

证明:由 ?
b a

f ( x) ? f ( x) ? f ( x)
b b

,根据⑻得
( a ? b)
a

? ? f ( x ) dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x ) dx
a



?
a

b

f ( x ) dx ? 0 ( a ? b )



?
a

b

f ( x ) dx ?

? f ( x )dx
a

b

( a ? b)

附:按绝对值不等式性质 若
x ?a (a ? 0)



?a ? x ? a
x ?a

因此,由 ?a ? x ? a

⑽ 定积分估值定理:

设 m 和 M 分别是函数 上的最小值和最大值,则
b a

f (x ) 在闭区间 [a, b]

m(b ? a ) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a) (a ? b)

证明: 由 ?x ? [a, b] m ? f ( x) ? M 根据定积分的保序性质有
b b b

? mdx ? ? f ( x )dx ? ? Mdx
a a a

(a ? b)



m(b ? a ) ? ? f ( x )dx ? M (b ? a ) (a ? b)
a

b

⑾ 定积分中值定理: 如果函数 f (x ) 在闭区间 [a, b]上连续,在 [a, b] 上至少存在一点 ? ,使得

? f ( x)dx ? f (? )(b ? a)
a

b

( a ? ? ? b)

证明: m 和 M 分别是函数 f (x )在闭区间 [a, b] 设 上的最小值和最大值 . 将估值定理不等式各侧同除以 (b ? a) 得到
1 m? ? f ( x)dx ? M (b ? a ) a
b

( a ? b)

由于数值

闭区间 [a, b] 上的最小值和最大值之间

1 ? f ( x )dx (b ? a ) a

b

介于函数 f (x ) 在

因此,按连续函数的介值定理,在[a, b]上 至少存在一点 ? ,使得
1 f (? ) ? ? f ( x )dx b?a a
b

( a ? ? ? b)

积分中值定理的几何解释

函数曲线下面积 与矩形面积相等。

f (? )

? f ( x)dx ? f (? )(b ? a)
a

b

a

?

b

⑿ 定积分第一中值定理: 如果函数 f (x ) 在闭区间 [a, b] 上连续,函 数 g (x ) 在[a, b]上可积且不变号,则在 [a, b]上 至少存在一点 ? ,使得

? f ( x) g ( x)dx ? f (? ) ? g ( x)dx
a a

b

b

( a ? ? ? b)

证明:设 ?x ? [a, b] , m ? f ( x) ? M ,若 g ( x) ? 0 则
mg ( x) ? f ( x) g ( x) ? Mg( x)

根据定积分保序性质
m ? g ( x )dx ? ? f ( x ) g ( x )dx ? M ? g ( x )dx
a a
b

b

b

b

a

又由于 ? g ( x )dx ? 0
a

b



m?

? f ( x ) g ( x )dx
a

(保号性)

? g ( x )dx
a

b

?M

按连续函数的介值定理

在 [a, b] 上至少存在一点 ? ,使得

f (? ) ?

? f ( x ) g ( x )dx
a

b

? g ( x )dx
a

b

证毕

【例题】根据定积分的性质,比较下列函数 的大小。 (1) ? ln xdx 与
1 2

(ln x ) 2 dx ?
1

2

解:

由于在 [1, 2]上 0 ? ln x ? 1
[1, 2] 上 ln x ? (ln x)2 因此在
ln xdx ? ? (ln x) 2 dx 故 ?
1 1 2 2

f ( x) ?? ln( x)

g ( x) ?? ( ln( x) )

2

1

f ( x) g( x) 0.5

0.5

1

1.5 x

2

2.5

(2) ? ln xdx 与
3

4

(ln x ) 2 dx ?
3

4

解:

由于在[3, 4]上

ln x ? 1

[3, 4]上 ln x ? (ln x)2 因此在
ln xdx ? ? (ln x) 2 dx 故 ?
3 3 4 4

f ( x) ?? ln( x)

g ( x) ?? ( ln( x) )

2

2

1.5 f ( x) g( x) 1

0.5

1

1.5

2

2.5 x

3

3.5

4

(3)

? xd x
0

1

与 ? ln(1 ? x)dx
0

1

解:由于在 [0,1] 上比较 x 和 ln( x ? 1) 的大小。 令
f ( x) ? x ? ln(1 ? x)



f ?( x) ? 1 ?

1 x ? (1 ? x) (1 ? x)

当 x ? [0,1] 时,f ?( x) ? 0 ,f ( x) 为单调增加 且 f (0) ? 0 即 x ? ln(1 ? x) 故
f ( x) ? x ? ln(1 ? x) ? 0
1 1

所以

? xdx ? ? ln(1 ? x)dx
0 0

f ( x) ?? x

g ( x) ?? ln( 1 ? x)

1

f ( x) g( x) 0.5

0

0.2

0.4 x

0.6

0.8

1

(4) ? e dx 与
?x 0

1

?e
0

1

? x2

dx

解: 由于当

x ? (0,1)
?x


? x2

x ? x2

故 e ?e

因此在

(0,1)



?e
0

1

?x

dx ? ? e
0

1

? x2

dx

f ( x) ?? e

?x

g ( x) ?? e

?x

2

1

f ( x) g( x) 0.5

0

0.2

0.4 x

0.6

0.8

1

【例题】估计下列定积分之值
x2 ? 5 ⑴ ? x 2 ? 2dx 0
2

(根据估值定理)
2

x ?5 3 ? 1? 2 解:被积函数化为 f ( x ) ? 2 x ?2 x ?2 在区间 [0,2] 上单调减少,故
M ? f (0) ? 2.5 m ? f (2) ? 1.5
2 2

x ?5 dx ? 5 按定积分的估值定理, 故 3 ? ? 2 x ?2 0


1

?

3

x arctan xdx
3

解: 被积函数

1 f ( x ) ? x arctan x ,在区间 [ , 3] 3

上单调增,所以
1 π m? f( )? 3 6 3
3

M ? f ( 3) ?

π 3



π 2π ? ? x arctan xdx ? 9 1 3 3

sin x dx ⑶ ? x π 4
sin x 解: 被积函数 f ( x ) ? x x cos x ? sin x cos x f ?( x ) ? ? 2 ( x ? tan x ) 2 x x
π π f 在区间 [ , ) 内 f ?( x) ? 0 , ( x )单调减 4 2 π 2 π 2 2 m? f( )? M ? f( )? 2 π 4 π
π 2

π 2

按定积分的估值定理,



1 sin x 2 ? ? dx ? 2 π4 x 2

x cos x ? sin x cos x f ?( x ) ? ? 2 ( x ? tan x ) 2 x x
f ( x) ?? x ? tan ( x)

0.6

0.8

1

1.2

1.4

函数在给 定区间小于零。

f ( x)

5

10 x

二、积分上限的函数和它的导数
按前述定积分的定义可知,若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续,则函数在 [a, b] 上可积分, 即 其几何意义如图:
I ? ? f ( x ) dx
a b

x 设函数 f ? C[a, b] , 为区间 [a, b]上任一点

因此函数 f (x )在部分区间 [a, x ] 上可积。 显然,此时在区间 [a, x ] 上的定积分

? f ( x )dx
a

x

的积分值应为其上限 x 的函数。

?( x) ? ? f ( x)dx
a x

在这个表达式中, x 既是积分上限又是 积分变量,为避免混淆,把被积表达式的积 分变量改写为 t ,因此有
? ( x ) ? ? f (t )dt
a x

( a ? x ? b)

——称为积分上限的函数

显然

? ( a ) ? ? f (t )dt ? 0
a

a

? (b) ? ? f (t )dt
a

b

积分上限函数的几何解释: 积分上 y 限函数为区 间 [a, x] 内曲 线下的面积, 显然,若上 x 限 变化, 则其面积值 也随之变化。 O
y ? f ( x)

? ( x) ? ? f (t )dt
a

x

x

a

x

b

积分上限的函数的重要性质 : 定理:如果函数 f ? C[a, b] ,x 为闭区间 上任一点,积分上限的函数
? ( x ) ? ? f (t )dt
a x

[ a , b]

在闭区间 [a, b] 上可导,其导数为
d ?( x ) ? ? ? f (t )dt ? f ( x ) dx a
x

( a ? x ? b)

证明: 设 x, x ? ?x ? (a, b) ,当积分上限 x 有一 个增量 ?x 时,将引起上限函数增量为
?? ? ?( x ? ?x) ? ?( x)
x ??x

y

y ? f ( x)

?
?

?
a

f (t )dt ? ? f (t )dt
a

x

x ??x

?
a

f (t )dt ? ? f (t )dt
x

a

??
? (x )

x ??x

?

?
x

f (t )dt

O

a

x

x ? ?x b

x

根据定积分的中值定理有
x ??x

?? ??

?
x

f (t )dt ? f (? )?x

( x ? ? ? x ? ?x)

按导数定义有
d? ?? f (? )?x ? lim f (? ) ? f ( x) ?( x) ? ? ? lim ? lim ? ?x ?x ?0 dx ?x?0 ?x ?x

注:由于?x ? 0 时,必有 ? ? x,且

f ? C [ a , b]

因此

d ??( x) ? ? f (t )dt ? f ( x) dx a

x

积分上限函数在闭区间 [a, b]端点 a 处的 右导数
?(a ? ?x) ? ?(a) ?? (a) ? lim? ? ?x ?0 ?x
a ??x

? lim?
?x ?0

?
a

f ( x)dx ?x

f (? )?x ? lim? ?x ?0 ?x

? ? (a, a ? ?x)

?x ? 0? 时,必有 ? ? a , 由于



?? ( a ) ? lim f (? ) ? f ( a ) ?
? ?a

其中

f ? C [ a , b]

积分上限的函数在闭区间 [a, b] 端点 b 处 的左导数
?(b) ? ?(b ? ?x) ?? (b) ? lim? ? ?x ?0 ?x

? lim?
?x ?0

b ??x

?

b

f ( x)dx ?x

f (? )?x ? lim? ?x ? 0 ?x

? ? (b ? ?x, b)

?x ? 0? 时,必有 ? ? b , 由于



?? (b) ? lim f (? ) ? f (b) ?
? ?b

其中

f ? C [ a , b]

结论: 连续函数 f (x ) 取变上限积分后的函数
? ( x) ? ? f (t )dt 的导数就是 f (x ) 本身。
a x

即积分上限函数的导数是被积函数本身。

上述定理也可以表述如下: 定理(原函数存在定理)
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续,则积分上限的函 数 ?( x ) ? ?a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
x

即连续函数的原函数一定存在。

【例题】 ⑴ 设变上限积分的函数为 F ( x ) ? ? f (t )dt ,则
D 由自变量增量 ?x 引起的函数增量 ?F ( x) ? ____
A. C.
x
a x

? [ f (t ? ?t ) ? f (t )]dt
a x ??x

x

B. D.

f ( x)?x
x ??x

?
a

f (t )dt

?
x

f (t )dt

ln x ⑵ 设 ? f (t )dt ? x ln x ? x ,则 f ( x) ? ________
1

【例题】求下列变限积分所确定函数的导数


解: ⑵ 解:

y ? ? cos2 tdt
a

x

y? ?

d cos2 tdt ? cos2 x dx ? a
b

x

dt f ( x) ? ? 2 2 a ?t x d dt d dt 1 f ?( x ) ? ? a 2 ? t 2 ? ? dx ? a 2 ? t 2 ? ? a 2 ? x 2 dx x b
b x



y?

?x

?e

x

t2

dt

x 0 2 d 2 d t t t2 ?? 解: y dx ? e dt ? ( ? e dt ? ? e dt ) dx 0 ?x ?x

x

d ?e ? dx
x2

?x

d ? e dt ? e ? dx 0
t2

?x

x

2

?e
0
x2

t2

dt

d ?e ? d( ? x)
x
2

(? x)

?
0

e dt ? e ? e ? 2e
x2

t2

x2

u( x)

⑷ y? 解:

?
0

f (t )dt ,式中 u(x )为可导函数。
u( x)

d y? ? dx

?
0

d f (t )dt ? du
tan tdt

u ( x)

?
0

du du ? f [u ( x)] f (t )dt ? dx dx

arctan x

⑸ y?

?
0

复合函数的导数

解:令 u ? arctan x
d y? ? dx
arctan x

?
0

1 d du ? tan u ? tan tdt ? ? tan tdt ? du 0 dx 1 ? x2

u

tan(arctan x) x ? ? 2 2 1? x 1? x
e2 x

⑹ y?

?
a

ln t dt 解: t
x

ln e2 x d 2 x y? ? 2 x (e ) ? 4 x e dx

⑺ F ( x ) ? ? xf (t )dt
a

函数乘积的导数
x x

解: F ?( x) ? [ ? xf (t )dt ]? ? [ x ? f (t )dt ]? ? ? f (t )dt ? xf ( x)
a a a

x

⑻ F ( x ) ? ? tf (t )dt
a

x2

解:

d F ?( x) ? tf (t )dt ? x 2 f ( x 2 ) ? 2 x ? 2 x3 f ( x 2 ) dx ? a
et dt ? ? cos tdt ? 0 ?
0 0 y xy

x2



解:方程两侧同时对 x 求导:
d dy d du t ? e dt dx ? du ? cos tdt dx ? 0 dy 0 0
y u

u ? xy

得 e y? ? cos xy( y ? xy?) ? 0
y



? y cos xy y? ? y e ? x cos xy



t ? ? x ? ? (1 ? cos u )du ? 0 ? t ? y ? sin udu ? ? ? 0

参数方程的导数

解:

? x ? 1 ? cos t

? y ? sin t

? dy y sin t t ? ? ? cot ? dx x 1 ? cos t 2

x2

?t
0

3 2

dt

【例题】 求极限

x ?0

lim ?

? t (t ? sin t )dt
0

x

解: 此极限为“ ”未定型,可以应用 LˊHospital法则求解
x2

0 0

? t dt
0

3 2

x ?0

lim ?

? t (t ? sin t )dt
0

x

(x ) ? 2x 2 x3 ? lim ? lim ? x ?0 x( x ? sin x ) x ?0? x ? sin x

3 2 2

12 x 6 x2 ? lim ? 12 ? lim ? ? x ?0 sin x x ?0 1 ? cos x

【例题】求下列函数的极限

? 1 lim
x?a

x

a

e dt

t2

x?a
x

0 ( )型 0
x2

? 解:lim
x?a

a

e ? lim x?a 1 x?a

e dt

t2

?e

a2

? ? e dt ( )型 2 lim ? e dt ? ? e dt ? lim e 解: lim e e dt ? 0 ? e dt ( )型 3 lim
t2 x ??? a x 2t 2 x a t2 x ???
1

x

x2

a x

2t

2

x ???

2 x2

? lim

1 e
x2

x ???

?0

a

?t 2

cos x

x ?0

x2

0

? lim 解:
x?0

1

cos x

e dt x2

?t 2

sin x ? e ? lim x ?0 2x

? cos 2 x

sin x ? e ? lim lim x ?0 x x ?0 2

? cos 2 x

1 ? 2e

三、 Newton-Leibniz公式

按原函数和积分上限函数的概念,
? ( x ) ? ? f (t )dt是被积函数 f (x )在闭区间
a x

[a, b] 上的一个原函数。
此外,还有

? f ( x )dx ? ? (b)
a

b

定理:如果函数 F (x )是连续函数 f (x ) 在区间[a, b]上 的任意一个原函数,那么

? f ( x )dx ? F (b) ? F (a )
a

b

-------Newton-Leibniz公式

证明: 由于

??( x) ? [ ? f (t )dt ]? ? f ( x)
a

x

且 F ?( x) ? f ( x)

?x ? [a, b]

即 ?( x) 和 F ( x) 都是连续函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的原函数. 二者相差一个常数 F ( x) ? ?( x) ? C

若令 x ? a ,则
若令 x ? b ,则

F (a ) ? ? ( a ) ? C ? ? f ( x )dx ? C ? C
a

a

F (b) ? ? (b) ? C ? ? f ( x )dx ? C
a

b

两式相减得Newton-Leibniz公式

?
a

b

f ( x )dx ? F (b) ? F ( a ) ? F ( x )

b a

讨论:
⑴ Newton-Leibniz公式的意义:连续函数在 区间上的定积分是此函数任意一个原函数在该 区间上的增量。

⑵ ? F ?( x )dx ? ? dF ( x ) ? F ( x )
a a

b

b

b a

? F ( b) ? F ( a )

-------反映了定积分与微分的关系。

积分是微分的逆运算。
⑶ 由定积分的中值定理
F (b) ? F (a ) ? ? f ( x)dx ? f (?1 )(b ? a )
a b

?1 ? (a, b)

由微分中值定理
F (b) ? F (a) ? F ?(?2 )(b ? a) ? f (?2 )(b ? a)
?2 ? (a, b)

表明定积分的中值定理和微分的中值定 理在Newton-Leibniz公式中实现了圆满的统 一。
注:这里所有的 ?1 , ? 2 是一一对应的 。

按定积分中值定理: 若 f ( x) 在 [a, b] 上连续,则在 [a, b] 内至少存 在一点 ?1 ,使

? f ( x)dx ? f (? )(b ? a)
1 a

b

(a ? ?1 ? b)

成立。

按微分中值定理: 若 F ( x)在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,则 在 (a, b) 至少存在一点 ? 2 ,使
F (b) ? F (a) ? F ?(?2 )(b ? a) (a ? ?2 ? b)

成立。

按Newton-Leibniz公式

? f ( x )dx ? F (b) ? F (a )
a

b

所以

f (?1 )(b ? a) ? F ?(?2 )(b ? a)

表明:积分中值定理和微分中值定理在 ? Newton-Leibniz公式 中得到统一,且 ?1 ,2 是一致的。

【例题】用Newton-Leibniz公式计算定积分 ⑴ ?
1

x 2 dx

被积函数是

y ? x2

?1

x3 解:由于 ( )? ? x 2 3
x3 ,3
x 2的一个原函数 是

y

因此

x3 1 2 x 2dx ? [ ]?1 ? ?1 3 3 ?

1

x

dx ⑵ ? 2 1? x 0

1

被积函数是
(arctan x )? ?
1 1 ? x2

1 y? 1 ? x2

解: 由于

1 1 ? x2

y
1 y? 1 ? x2

即 arctan x 是 原函数。 因此
1

的一个

dx π ? [arctan x ]1 ? 0 ? 1 ? x2 4 0

x

dx ⑶ ? x 1

5

被积函数是

1 y? x

1 解:由于 (ln x )? ? x

y
1 y? x

因此
dx 5 ? ln x 1 ? ln 5 ?x 1
5

x

【例题】计算正弦曲线 y ? sin x 在 [0, ? ]上与 x 轴 所围成的平面图形的面积。
y

解: 按定积分概念,所 求图形面积为
S ? ? sin xdx
0

y ? sin x

?

x
0

由于 ? cos x是 sin x 的一个原函数,所以
S ? ? sin xdx ? [? cos x]? ? ?(?1) ? (?1) ? 2 0
0

?


相关文章:
第二节 定积分的性质.doc
第二节 定积分的性质_数学_自然科学_专业资料。经济数学---微积分教案 第二节 定积分的性质教学目的:掌握定积分的性质。 教学重点:掌握定积分的性质。 教学难点...
第二节 定积分的基本性质 2012-2-4.doc
第二节 定积分的基本性质 2012-2-4_数学_高中教育_教育专区。§6.2 定积分的基本性质教学目的:理解定积分的性质,了解性质的证明;能熟练正确 运用性质进行相关...
第二节 定积分计算公式和性质.doc
第二节 定积分计算公式和性质 - 第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数 在区间 上连续,并且设 x 为 上的任一点,于是, 在区间 上的定积分为...
第二节 定积分的性质_图文.ppt
第二节 定积分的性质 - 一、基本内容 性质1 *证 ?a [ f ( x )
02 第二节 定积分的性质.doc
02 第二节 定积分的性质 - 第二节 定积分的性质 分布图示 ★★★ 性质 1
5.2 定积分的基本性质_图文.ppt
5.2 定积分的基本性质 - 第二节 定积分的性质 ---中值定理 一、基本内容
定积分的定义和性质_图文.ppt
定积分的定义和性质 - 第五章 定积分及其应用 本 第一节 第二节 章 内 容 定积分的概念与性质 微积分基本公式 第三节 第四节 定积分的计算 广义积分 第...
第二节 定积分计算公式和性质.doc
第二节 定积分计算公式和性质 - 第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数
第一节 定积分的概念,第二节 定积分的性质_图文.ppt
第一节 定积分的概念,第二节 定积分的性质 - 第五章 定积分 (Definit
第二节 定积分的性质_图文.ppt
第二节 定积分的性质 - 第二节 定积分的性质 一、基本内容 二、小结 思考题
【图文】第五章第二节定积分的性质.ppt
第五章第二节定积分的性质_数学_自然科学_专业资料。good §5.2 定积分的性质 性质 1 函数的和 ( 差 ) 的定积分 等于它们的定积分的和(差),即 ? [ f...
02 第二节 定积分的性质.doc
第二节 定积分的性质 分布图示★ ★★★ 性质 1-4 性质 5 及其推论 性质
定积分定积分的概念与性质.pdf
定积分定积分的概念与性质 - 高等数学Ⅰ作业 班级: 学号: 姓名: 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、 比较定积分的大小 1. ? 2 1 ln xdx ...
第六章_第二节_定积分的性质_图文.ppt
第六章_第二节_定积分的性质_理学_高等教育_教育专区。经济数学 微积分 吴传生(第二版) 第二节 定积分的性质一、基本内容 二、小结 思考题 一、基本内容 ...
第二节 定积分_图文.ppt
第三章 一元函数积分学第一节 不定积分 第二节 定积分一、 定积分的概念 二、 定积分的性质 三、定积分的计算 第三节 反常积分 第四节 定积分的应用 1 ...
定积分的概念与性质_图文.ppt
定积分的概念与性质 - 第五章 定积分 积分学 不定积分 定积分 第一节 定积分的概念及性质 一、定积分问题举例 第五章 二、 定积分的定义 三、 定积分的...
定积分计算公式和性质.doc
定积分计算公式和性质 - 第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数 于是, 在区间 在区间 上连续,并且设 x 为 上的定积分为 上的任一点, 这里 ...
第二节 定积分的性质_图文.ppt
第二节 定积分的性质 - 第二节 定积分的性质 一、基本内容 二、小结 思考题
第二节 定积分的性质_图文.ppt
第二节 定积分的性质 - 第二节 定积分的性质 一、定积分的基本性质 ⑴交换定积
第二节 定积分(3)_图文.ppt
第三章 一元函数积分学第一节 不定积分 第二节 定积分一、 定积分的概念 二、 定积分的性质 三、定积分的计算 第三节 反常积分 第四节 定积分的应用 1 ...
更多相关标签: