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云南省云天化中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理

云天化中学 2015—2016 学年秋季学期 2017 届期末考试试卷 高 二 数 学(理)
说明: 1.时间:120 分钟;分值:150 分; 2. 本卷分Ⅰ、Ⅱ卷,请将答案填入答题卡 ... 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个 选项符合题意。 ) .... 1.给出下列命题: ①若给定命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R , 均有 x ? x ? 1 ? 0 ; ②若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 ;
2

2

2 2 ③命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题为“若 x ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 , 其中 正确的命题序号是( ) A .① B . ①② D . ②③ C . ①③ 2 2.已知椭 圆的长轴长是短轴长的 倍,则椭圆的离心率等于( )

1 1 3 D. 3 B. C. 3 2 3 2 3. 已知直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0 和 x ? my ? 1 ? 0 互相平行,则它们之间的距离是(

A.



A .4

B.

6 13 13

C.

4 13 13

D.

2 13 13

4. 在 ?ABC 中, “ A ? 30? ”是“ sin A ?

A .必要不充分条件 C .充要条件 x2 y2 5. 设双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,且它的一个焦点与抛物线 a b

1 ”的( ) 2 B .充分不必要条件 D .既不充分也不必要条件

y 2 ? 24x 的焦点重合,则此双曲线的方程为(
2 2 2


2

x y x y B. ? ?1 ? ?1 12 24 48 96 x2 y2 x2 2y2 D. C. ? ?1 ? ?1 3 6 3 3 l 与 C 交于 A 、B 两点, | AB | =12 , 6. 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点, 且与 C 的对称轴垂直, P 为 C 的准线上一点,则 ?ABP 的面积为( ) A . 18 B . 24 D . 48 C . 36
A.
7. 给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( ) A .①和② B .②和③ D .②和④ C .③和④ 8. 执行如图所示的程序框图,输出 s ?

A . k ≤ 2015?

2015 .那么判断框内应填( ) 2016 B . k ≤ 2016 ? C . k ≥ 2015? D . k ≥ 2016 ?


9.已知几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

1

开始

k ? 1, s ? 0
否 是

s ? s?

1 k ( k ? 1)

输出s 结束

k ? k ?1

A . 4? 6 B . 6? 6 D . 2?2 3 ? 6 C . 2?2 2 ? 6 2 10.设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A 为 C 上一点,以 F 为圆心且经过
点 A 的圆交 l 于 B, D 两点, 若 ?A B D?9 00 ,? A B F 的面积为 3 3 , 则 p 等于 ( )

A .1 B. 3 D. 6 C .2 PA ? P ? ABCD ABCD ABCD 11. 四棱锥 中,底面 为正方形,且 平面 , PA ? AB ,则直 线 PB 与直线 AC 所成角的大小为( ) A.

? 2 12. 设 m ? R , 过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动 直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P( x, y) ,则 PA ?PB 的最大值为( )
B.

? 6

? 4

C.

? 3

D.

A .3

B .4

C. 5

D .6

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。 ) 13. 某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生,将这 50 名学生随机编号 1 ~ 50 号, 并分组, 第一组 1 ~ 5 号, 第二组 6 ~ 10 号, ??, 第十组 45 ~ 50 号,若在第 三组中抽得号码为 12 的学生,则在第八组中抽得号码 为 的学生。

? 2 x ? y ? 4, ? 14. 设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y 的最小值为 ? x ? 2 y ? 2, ?
2 15 过点 P(3,1) 向圆 ? x ? 1? ? y ? 1 作两条切线 PA, PB ,切 2

点分别为 A, B ,则弦 AB 所在直线的方程为

16. 如图,等腰梯形 ABCD 中, AB ? 2DC , 3 AE ? 2EC . 一双曲线经过 C , D , E 三点 ,且以 A , B 为焦点 ,则该双曲线离 心率是 _ . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (Ⅰ)求 ?an ? 的公比 q ; (Ⅱ)若 a1 ? a3 ? 3 ,求 s n

??? ?

????

??? ?

??? ?

18. (本小题满分 12 分) 某高校在 2015 年的自主招生考试中随机抽取了 100 名学生的笔试成
2

绩,按成绩分组:第一组 ?160,165? ,第二组 ?165,170? ,第三组 ?170,175? ,第四组 ?175,180? , 第五组 ?180,185? 得到的频率分布直方图如图所示 (Ⅰ)根据频率分布直方图计算出样本数据的众数和中位数; (结果保留 1 位小数) (Ⅱ)为了能选拔出最优秀的学生,学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样 抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。 (III)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的的面试, 求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率

19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。

20 . ( 本小题满分 12 分 ) 如图所示 , PA ? 平面 ABC , 点 C 在以 AB 为直径的 ? O 上,

?CBA ? 300 , PA ? AB ? 2 ,点 E 为线段 PB 的中点 ,点 M 在 ? AB 上,且 OM / / AC 。 MOE / / PAC (Ⅰ)求证: 平面 平面 ; (Ⅱ)求证: 平面 PAC ? 平面 PCB

21.(本小题满分 12 分)已知点 P (2, 2) ,圆 C:x ? y ? 8 y ? 0 ,过点 P 的动直线 l 与 圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M , O 为坐标原点.
2 2

(Ⅰ)求 M 的轨迹方程; (Ⅱ)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积.

3

22.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C: 2 ?

x2 y2 3 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,左顶点 2 a b 2 x y 4 5 M 到直线 ? ? 1 的距离 d ? , O 为坐标原点. a b 5 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,若以 AB 为直径的圆经过坐标原点,证明:点 O 到直线 AB 的距离为定值; (III)在(Ⅱ)的条件下,试求 ?AOB 的面积 S 的最小值.

4

云天化中学 2015—2016 学年秋季学期 2017 届期末考试 高 二 数 学 (理)参 考 答 案

一、 1 A

选择题 2 D 3B 4A 5 A 6C 7 D 8 A 9B 10 B 11 C 12 C

二、 填空题 13. 37 三、 解答题 17. 解: (Ⅰ)依题意有 14. 2 15.

2x ? y ? 3 ? 0

16.

7

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 ) 由于 a1 ? 0 ,故
1 2
5分

2q 2 ? q ? 0 又 q ? 0 ,从而 q ? -
( (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a 1 ? ) ? 3
2

1 2

故 a1 ? 4

1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 从而 S n ? 10 分 ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2 18. 解: (1)众数为 167.5 ;中位数为 171.7 ┄┄┄┄┄┄┄(4 分)
(2)由题设可知,第三组的频率为 0.06×5=0.3 第四组的频率为 0.04×5=0.2 第五组的 频率为 0.02×5=0.1 第三组的人数为 0.3×100=30,第四组的人数为 0.2×100=20 第 五组的人数为 0.1×100=10,因为第三、四、五组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组抽到的人数分别为:第三组 五组
30 20 ? 6 ? 3 第四组 ? 6 ? 2 第 60 60

10 ? 6 ? 1 所以第三、四、五组分别抽取 3 人,2 人,1 人.┄┄┄┄┄┄┄(8 分) 60

(3)设第三组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第四组的 2 位同学为 B1 , B2 , 第五组的 1 位同学为 C1 则从 6 位同学中抽 2 位同学有:

? A A ? , ? A A ? , ? A B ? , ? A B ? , ? A C ?, ? A , A ? , ? A ,B ? , ? A ,B ?
1, 2 1, 3 1, 1 1, 2 1, 1
2 3 2 1 2 2

? A2 , C1 ? , ? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? , ? A3 , C1 ? , ? B1, B2 ? , ? B1,C1 ? , ? B2,C1 ? 共 15 种可能??????10 分
其中第四组的 2 位同学 B1 , B2 中至少 1 位同学入选有 ? A1, B1 ? , ? A1, B2 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? ,

? A3 , B1 ? , ? A3 , B2 ? ? B1, B2 ? , ? B1,C1 ? , ? B2,C1 ? 共 9 种可能????????11 分
所以第四组至少有 1 位同学被 甲考官面试的概率为
9 3 ? ???????12 分 15 5

19. 解 : 【解析】 ( 1 ) 解 : 在 ?ABC

中,根据正弦定理,

AB BC ? ,于是 sin C sin A

AB ? sin C

BC ? 2 BC ? 2 5 ???6 分 sin A
5

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 (2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ? 2 AB ? AC
于是 sin A ? 1 ? cos2 A =

5 , 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

? ? ? 2 ???12 分 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10
20.证明: (1)因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 AB 的中点,所以 OE∥PA. 因为 PA? 平面 PAC,OE ? 平面 PAC,所以 OE∥平面 PAC.因为 OM∥AC, 又 AC? 平面 PAC,OM ? 平面 PAC,所以 OM∥平面 PAC. 因为 OE? 平面 MOE,OM? 平面 MOE,OE∩OM=O, 所以平面 MOE∥平面 PAC. ???6 分 (2)因为点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,所以∠ACB=90°,即 BC⊥AC. 因为 PA⊥平面 ABC, BC? 平面 ABC, 所以 PA⊥BC. 因为 AC? 平面 PAC, PA? 平面 PAC, PA∩AC =A,所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC? 平面 PBC,所以平面 PAC⊥平面 PBC. ???12 分 21.解:(1)圆 C 的方程可化为 x +(y-4) =16, 所以圆心为 C(0,4),半径为 4. ???? ???? ? 设 M(x,y),则 CM =(x,y-4), MP =(2-x,2-y). ???? ???? ? 2 2 由题设知 CM · MP =0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0 ,即(x-1) +(y-3) =2. 2 2 由于点 P 在圆 C 的内部,所以 M 的轨迹方程是(x-1) +(y-3) =2. -----------------6 分 (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM. 因为 ON 的斜率为 3,所以直线 l 的斜率为- ,故 l 的方程为 y=- x+ . 又|OM|=|OP|=2 2 ,O 到直线 l 的距离为 故|PM|=
4 10 , 5
1 3 1 3 8 3
2 2

16 4 10 ,所以△POM 的面积为 .-----------------12 分 5 5
2 2 2

22 解:(1)解:由 e= ,得 c= a,又 b =a -c ,所以 b= a,即 a=2b.

由左顶点 M(-a,0)到直线 + =1,即 bx+ay-ab=0 的距离 d=

,



=

,即

=

,把 a=2b 代入上式,得

=

,

解得 b=1.所以 a=2b=2,c=

.所以椭圆 C 的方程为 +y =1. -------------4 分
6

2

(2)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2), ①当直线 AB 的斜率不存在时,由椭圆的对称性,可知 x1=x2,y1=-y2.

因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点,故

·

=0,

即 x1x2+y1y2=0,也就是 - =0,又点 A 在椭圆 C 上,所以 +

=1,

解得|x1|=|y1|=

.此时点 O 到直线 AB 的距离 d1=|x1|=

.

②当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立有

消去 y,得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0,所以 x1+x2=因为以 AB 为直径的圆过坐标原点 O,所以 OA⊥OB.

2

2

2

,x1x2=

.

所以

·

=x1x2+y1y2=0.所以(1+k )x1x2+km(x1+x2)+m =0.所以(1+k ) ·

2

2

2

-

+m =0.

2

整理得 5m =4(k +1),所以点 O 到直线 AB 的距离 d2=

2

2

=

.综上所述,点 O 到直线 AB 的距

离为定值

.---------8 分

(注:将直线方程令为 x ? my ? n ,不对斜率是否存在进行分类也可以得出结论)

(3)解:设直线 OA 的斜率为 k0.当 k0≠0 时,则 OA 的方程为 y=k0x,OB 的方程为 y=-

x,联立



同理可求得

故△AOB 的面积为 S=

·|x1|·

|x2|=2

.

7

令 1+ =t(t>1),则 S=2

=2

,

令 g(t)=- + +4=-9( - ) + (t>1),所以 4<g(t)≤ .

2

所以 ≤S<1.当 k0=0 时,可求得 S=1,

故 ≤S≤1,故 S 的最小值为 .-------------12 分

8


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