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2013年北京西城区高三上学期期末考试数学试题(理)

北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)
第Ⅰ卷(选择 题 共 40 分)

2013.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 (A) (0,

A ? {x ? R | 0 ? x ? 1} , B ? {x ? R | (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A ? B ? (
(B) (?1,1)



1 ) 2 1 , ??) 2

(C) (??, ?1) ? (

(D) (??, ?1) ? (0, ??)

2.在复平面内,复数 (A)第一象限

5i 的对应点位于( 2?i
(B)第二象限

) (C)第三象限 (D)第四象限

3.在极坐标系中,已知点 P (2,

? ) ,则过点 P 且平行于极轴的直线的方程是( 6
? 3
(C) ? cos ?



(A) ? sin ?

?1

(B) ? sin ?

?1

(D) ? cos ?

? 3

4.执行如图所示的程序框图.若输出 S ① 处可以填入( (A) k (B) k (C) k (D) k )

? 15 ,

则框图中

?2 ?3 ?4 ?5

5.已知函数

f ( x) ? x ? b cos x ,其中 b 为常数.那么“ b ? 0 ”是“ f ( x) 为奇函数”的(
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件



(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

6.已知 a, b 是正数,且满足 2 ? a ? 2b ? 4 .那么 a (A) (

2

? b2 的取值范围是(
(C) (1,16)

) (D) (

4 16 , ) 5 5

(B) (

4 ,16) 5

16 , 4) 5

7.某四面体的三视图如图所示.该四面体的 六条棱的长度中,最大的是( )

(A) 2 (B) 2 (C) 2 (D) 4

5 6 7

2

8.将正整数 1, 2,3, 4,5, 6, 7 随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是( (A)



2 21

(B)

4 63

(C)

1 21

(D)

2 63

第Ⅱ卷(非选择题 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知向量 a

共 110 分)

? (1,3) , b ? (?2,1) , c ? (3, 2) .若向量 c 与向量 ka ? b 共线,则实数 k ?

_____.

10.如图, Rt △

ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? 3 ,
; CD ? ______.

BC ? 4 .以 AC 为直径的圆交 AB 于点 D ,则

BD ?

11. 设等比数列 {an } 的各项均为正数, 其前 n 项和为 S n . a1 若

? 1 ,a3 ? 4 ,S k ? 63 ,则 k ? ______.

12.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点是 F1 , F2 ,点 P 在该椭圆上.若 | PF1 | ? | PF2 | ? 2 ,则△ PF1F2 的面积是______. 4 2

13.已知函数

π π ? 1 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,其中 x ? [? , a] .当 a ? 时, f ( x) 的值域是______;若 f ( x) 的值域是 [? ,1] ,则 a 6 6 3 2

的取值范围是______. 14.已知函数

f ( x) 的定义域为 R .若 ? 常数 c ? 0 ,对 ?x ? R ,有 f (x ? c ) ? f (x ?c )

,则称函数

f ( x) 具有性质 P .给定

下列三个函数: ①

f ( x) ? 2 x ;



f ( x) ? sin x ;



f ( x) ? x 3 ? x .

其中,具有性质 P 的函数的序号是______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在△

ABC 中,已知 3 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B .

(Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 BC

? 2, A ?

? ,求△ ABC 的面积. 4

16. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ?

ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? PD , PA ? 平面 PDC ,

E 为棱 PD 的中点.
(Ⅰ)求证: PB // 平面 EAC ; (Ⅱ)求证:平面 PAD ? 平面 (Ⅲ)求二面角 E ?

ABCD ;

AC ? B 的余弦值.

17. (本小题满分 13 分) 生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品.现随机抽取这两种元件各 100 件进行 检测,检测结果统计如下: 测试指标 元件 A 元件 B

[70, 76)

[76,82)

[82,88)

[88,94)

[94,100]

8

12
18

40 40

32 29

8

7

6

(Ⅰ)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元 .在(Ⅰ)的前提下, (ⅰ)记

X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X

的分布列和数学期望;

(ⅱ)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 (Ⅰ)求

f ( x) ?

x ,其中 b ?R . x ?b
2

f (x) 的单调区间;

(Ⅱ)设 b ? 0 .若 ? x ? [

1 3 , ] ,使 f ( x) ? 1,求 b 的取值范围. 4 4

19. (本小题满分 14 分) 如图,已知抛物线

y 2 ? 4 x 的焦点为 F .过点 P(2,0) 的直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) ,
,N .

B( x2 , y2 ) 两点,直线 AF , BF 分别与抛物线交于点 M
(Ⅰ)求

y1 y2 的值;

(Ⅱ)记直线 MN 的斜率为 k1 ,直线

AB 的斜率为 k 2 .证明:

k1 k2

为定值.

20. (本小题满分 13 分) 如图,设 A 是由 n ? n 个实数组成的

? , ) n 行 n 列的数表,其中 aij (i , j ? 1, 2, 3, n 表示位于第 i 行第 j 列的实数,且

aij ? {1,? 1}.记 S ( n, n ) 为所有这样的数表构成的集合.
对于

A ? S ( n, n ) ,记 ri ( A) 为 A 的第 i 行各数之积, c j ( A) 为 A 的第 j 列各数之
? ? ri ( A) ? ? c j ( A) .
i ?1 j ?1 n n

积.令 l ( A)

(Ⅰ)请写出一个 (Ⅱ)是否存在

A ? S ( 4, 4) ,使得 l ( A) ? 0 ;

A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 ?说明理由; A ? S ( n, n ) ,求 l ( A) 的取值集合.

(Ⅲ)给定正整数 n ,对于所有的

北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末高三数学(理科)参考答案及评分标准 2013.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.D; 2.B; 3.A; 4.C; 5.C; 6.B; 7.C; 8.B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9. ?1 ; 12.

10.

2;

16 12 , ; 5 5 1 ? ? 13. [? ,1] , [ , ] ; 2 6 2

11. 6 ; 14.①③.

注:10、 13 题第一问 2 分,第二问 3 分;14 题结论完全正确才给分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解法一:因为 所以 因为

3 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B ,
??????3 分

2 3 sin B cos B ? 2sin 2 B .

0? B??,

所以

sin B ? 0 ,
??????5 分 ??????6 分

从而 所以

tan B ? 3 ,

B?

π . 3
3 sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ,

解法二: 依题意得 所以

? 2sin(2 B ? ) ? 1 , 6 ? 1 即 sin(2 B ? ) ? . 6 2 ? ? 13? 因为 0 ? B ? ? , 所以 , ? 2B ? ? 6 6 6 ? 5? 所以 2 B ? ? . 6 6 π 所以 B ? . 3 ? π (Ⅱ)解法一:因为 A ? , B ? , 4 3 AC BC 根据正弦定理得 , ? sin B sin A BC ? sin B 所以 AC ? ? 6. sin A 5? 因为 C ? ? ? A ? B ? , 12

??????3 分

??????5 分 ??????6 分

??????7 分 ??????8 分 ??????9 分

所以

sin C ? sin

5? ? ? 6? 2 ? sin( ? ) ? 12 4 6 4



??????11 分

所以 △

ABC 的面积 S ?
A?

1 3? 3 . AC ? BC sin C ? 2 2

??????13 分

? π ,B? , 4 3 AC BC 根据正弦定理得 , ? sin B sin A BC ? sin B 所以 AC ? ? 6. sin A
解法二:因为 根据余弦定 理得 化简为

??????7 分 ??????8 分

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B ,

??????9 分 ??????11 分

AB2 ? 2 AB ? 2 ? 0 ,解得 AB ? 1 ? 3 .

所以 △

ABC 的面积 S ?

1 3? 3 . AB ? BC sin B ? 2 2

??????13 分

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 BD 与 因为四边形 因为 所以 因为

AC 相交于点 O ,连结 EO .
z P E
??????3 分

ABCD 为正方形,所以 O 为 BD 中点.

E 为棱 PD 中点.
PB// EO .
x A

D O B

y C

PB ? 平面 EAC , EO ? 平面 EAC ,
??????4 分

所以直线 PB //平面 EAC .

(Ⅱ)证明:因为 PA ? 平面 PDC ,所以 PA ? CD . 因为四边形

??????5 分

ABCD 为正方形,所以 AD ? CD ,
??????7 分 ??????8 分

所以 CD ? 平面 PAD . 所以平面 PAD

? 平面 ABCD . ? AD .

(Ⅲ)解法一:在平面 PAD 内过 D 作直线 Dz 因为平面 PAD

? 平面 ABCD ,所以 Dz ? 平面 ABCD .
xyz .
????9 分

由 Dz, DA, DC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? 设

AB ? 4 ,则 D(0,0,0), A(4,0,0), B(4, 4,0), C(0, 4,0), P(2,0, 2), E (1,0,1) .
EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .

所以

??? ? ?n ? EA ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ?n ? AC ? 0. ?
所以

? 3x ? z ? 0, ?? 4 x ? 4 y ? 0. 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?

??????11 分

易知平面

ABCD 的法向量为 v ? (0, 0,1) .
| n ? v | 3 11 ? . | n || v | 11

??????12 分

所以

| cos n, v〉 ? 〈 |

???? ??13 分

由图可知二面角 E ? 所以二面角 E ?

AC ? B 的平面角是钝角,
3 11 . 11
??????14 分

AC ? B 的余弦值为 ?

解法二:取 因为

AD 中点 M , BC 中点 N ,连结 PM , MN .
z P E D
M

ABCD 为正方形,所以 MN // CD . ? 平面 PAD .

由(Ⅱ)可得 MN 因为 PA ?

PD ,所以 PM ? AD .
x A

C O B
??????9 分
N

y

由 MP, MA, MN 两两垂直,建立如图所示 的空间直角坐标系 M 设

? xyz .

AB ? 4 ,则 A(2,0,0), B(2, 4,0), C(?2, 4,0), D(?2,0,0), P(0,0, 2), E (?1,0,1) .
EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) .

所以

??? ? ?n ? EA ? 0, ? 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ?n ? AC ? 0. ?
所以

? 3x ? z ? 0, ?? 4 x ? 4 y ? 0. 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?

??????11 分

易知平面

ABCD 的法向量为 v ? (0,0,1) .
| n ? v | 3 11 ? . | n || v | 11

??????12 分

〈 〉 所以 | cos n, v | ?
由图可知二面角 E ? 所以二面角 E ?

??????13 分

AC ? B 的平面角是钝角,
3 11 . 11
??????14 分

AC ? B 的余弦值为 ?

17. (本小题满分 13 分)

(Ⅰ)解:元件 A 为正品的概率约为

40 ? 32 ? 8 4 ? . 100 5 40 ? 29 ? 6 3 元件 B 为正品的概率约为 ? . 100 4

??????1 分 ??????2 分 ??????3 分

(Ⅱ )解: (ⅰ)随机变量

X

的所有取值为 90, 45,30, ?15 .

4 3 3 P( X ? 9 0 ) ? ? ; ? 5 4 5 4 1 1 P( X ? 30) ? ? ? ; 5 4 5
所以,随机变量

1 3 3 ; P( X ? 45) ? ? ? 5 4 20 1 1 1 . P( X ? ?15) ? ? ? 5 4 20

??????7 分

X

的分布列为:

X
P

90
3 5

45
3 20

30
1 5

?15
1 20
??????8 分

3 3 1 1 EX ? 90 ? ? 45 ? ? 30 ? ? (?15) ? ? 66 . 5 20 5 20
(ⅱ)设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件,则次品有 5 ? n 件. 依题意,得

??????9 分

50n ? 10(5 ? n) ? 140 ,

解得

n?

19 . 6
??????11 分

所以

n ? 4 ,或 n ? 5 .

设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 A , 则

1 3 81 4 3 . P( A) ? C5 ( )4 ? ? ( )5 ? 4 4 4 128

??????13 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:① 当 b ? 0 时, 故

f ( x) ?

1 . x
??????1 分

f ( x) 的单调减区间为 (??,0) , (0, ??) ;无单调增区间.
f ?( x) ? b ? x2 . ( x 2 ? b) 2

② 当 b ? 0 时,

??????3 分



f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? b , x2 ? ? b .

f ( x) 和 f ?( x) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)
(??, ? b )
?


? b

(? b , b )

b

( b , ? ?)
?


0

?


0



f ( x) 的单调减区间为 (??, ? b ) , ( b , ??) ;单调增区间为 (? b , b ) .
??????5 分

③ 当 b ? 0 时,

f ( x) 的定义域为 D ? {x ? R | x ? ? ?b} .

因为

f ?( x) ?

b ? x2 ? 0 在 D 上恒成立, ( x 2 ? b) 2



f ( x) 的单调减区间为 (??, ? ?b ) , (? ?b , ?b ) , ( ?b , ??) ;无单调增区间.
??????7 分

(Ⅱ)解:因为 b ? 0 , x ? [ 所以

1 3 , ], 4 4

1 3 ??????9 分 b ? ? x 2 ? x ,其中 x ? [ , ] . 4 4 1 1 1 3 2 设 g ( x) ? ? x ? x , g ( x ) 在区间 [ , ] 上的最大值为 g ( ) ? .??????11 分 2 4 4 4 1 3 1 2 则“ ? x ? [ , ] ,使得 b ? ? x ? x ”等价于 b ? . 4 4 4 1 所以, b 的取值范围是 (0, ] . ??????13 分 4
f ( x) ? 1
等价于 19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:依题意,设直线

AB 的方程为 x ? my ? 2 .

??????1 分

将其代入 从而

y 2 ? 4 x ,消去 x ,整理得 y 2 ? 4my ? 8 ? 0 .

??????4 分 ??????5 分

y1 y2 ? ?8 .

(Ⅱ)证明:设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y4 ) .



y3 ? y4 k1 y3 ? y4 x1 ? x2 ? ? ? 2 k2 x3 ? x4 y1 ? y2 y3 y4 2 ? 4 4

y12 y2 2 ? 4 ? y1 ? y2 ? 4 y1 ? y2 y3 ? y4



??????7 分

设直线 整理得

AM 的方程为 x ? ny ? 1 ,将其代入 y 2 ? 4 x ,消去 x ,
??????9 分 ??????10 分 ??????11 分

y 2 ? 4ny ? 4 ? 0 .
所以

y1 y3 ? ?4 . y2 y4 ? ?4 .

同理可得



k1 y1 ? y2 y ? y2 yy ? ? 1 ? 1 2 k2 y3 ? y4 ?4 ? ?4 ?4 y1 y2



??????13 分

由(Ⅰ)得

k1 ? 2 ,为定值. k2

??????14 分

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:答案不唯一,如图所示数表符合要求.

?1 1 1 1

?1 1 1 1

?1 1 1 1

?1 1 1 1
??????3 分 ??????4 分

(Ⅱ)解:不存在 证明如下: 假设存在

A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 .

A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 . (1 ? i ? 9,1 ? j ? 9) ,

因为 ri ( A) ? {1, ?1} , c j ( A) ? {1, ?1}

所以 r ( A) , r2 ( A) , ? , r9 ( A) , c1 ( A) , c2 ( A) , ? , c9 ( A) 这 18 个数中有 9 个 1 , 9 个 ?1 . 1 令M

? r1 ( A) ? r2 ( A) ??? r9 ( A) ? c1 ( A) ? c2 ( A) ??? c9 ( A) . ? (?1)9 ? ?1 .


一方面,由于这 18 个数中有 9 个 1 , 9 个 ?1 ,从而 M

( A 另一方面, r ( A) ? r2 ( A) ? ?? r9 ( A) 表示数表中所有元素之积(记这 81 个实数之积为 m ) c1 ( ) c? 2 ) ; A 1
示m, 从而 M

? c? (9) ? A

也表

? m2 ? 1 .



①、② 相矛盾,从而不存在
2

A ? S (9, 9) ,使得 l ( A) ? 0 .

??????8 分

(Ⅲ)解:记这 n 个实数之积为

p.
p ? r1 ( A) ? r2 ( A) ??? rn ( A) ; p ? c1 ( A) ? c2 ( A) ??? cn ( A) .
③ ??????10 分

一方面,从“行” 的角度看,有

另一方面,从“列”的角度看,有

从而有 r ( A) ? r2 ( A) ? ?? rn ( A) ? c1 ( A) ? c2 ( A) ? ?? cn ( A) . 1 注意到 ri ( A) ? {1, ?1} , c j ( A) ? {1, ?1}

(1 ? i ? n,1 ? j ? n) .

下面考虑 r ( A) , r2 ( A) , ? , rn ( A) , c1 ( A) , c2 ( A) , ? , cn ( A) 中 ?1 的个数: 1 由③知,上述 2n 个实数中, ?1 的个数一定为偶数,该偶数记为 2k 所以 l ( A) ? (?1) ? 2k ? 1? (2n ? 2k ) ? 2(n ? 2k ) . 对数表

(0 ? k ? n) ;则 1 的个数为 2n ? 2k ,
??????12 分

A0 : aij ? 1 (i, j ? 1, 2,3,?, n) ,显然 l ( A0 ) ? 2n .

将数表 将数表

A0 中的 a11 由 1变为 ?1 ,得到数表 A1 ,显然 l ( A1 ) ? 2n ? 4 .

A1 中的 a22 由 1变为 ?1 ,得到数表 A2 ,显然 l ( A2 ) ? 2n ? 8 .
Ak ?1 中的 akk 由 1 变为 ?1 ,得到数表 Ak .

依此类推,将数表 即数表

Ak 满足: a11 ? a22 ? ? ? akk ? ?1 (1 ? k ? n) ,其余 aij ? 1 .

所以

r1 ( A) ? r2 ( A) ? ? ? rk ( A) ? ?1 , c1 ( A) ? c2 ( A) ? ? ? ck ( A) ? ?1 . ? (n ? k )] ? 2n ? 4k .

所以 l ( Ak ) ? 2[(?1) ? k

由 k 的任意性知, l ( A) 的取值集合为 {2(n ? 2k ) | k

? 0,1, 2,?, n} .?????13 分