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新课标2013-2014学年(上)中期考试高一年级数学试题附答案[编辑10页]


新课标 2013-2014 学年(上)中期考试 高一年级数学试题附答案
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要 求的.把答案填涂在机读卡相应位置.) 1.方程组 ?

?x ? 2 y ? 4 的解集为???????????????????( ?x ? y ? 1



A. {2,1} B. {1,2} C. {(2,1)} D. (2,1) 2.已知全集 U={-2,-8,0,π ,6, 10},集合 A={-2,π ,6},B={1}, 则( UA)∪B 等于????????????????????????( ) A. {0,1,-8,10} B. {1,-2,π ,6} C. {0,-8,10} D. Φ 3.若函数 y ? (a ? 1) x ? b, x ? R 在其定义域上是增函数,则??????( A. a ? ?1 4.函数 y ? y B. a ? ?1 C. b ? 0 )

D. b ? 0 ) y x

1 的图象是?????????????????????( x ?1
y x y

o

1

x

-1 o

o

1

-1 o

x

A

B

C

D )

5.函数 y ? x 2 ? x 2 ? 1 的最小值为??????????????????( A.0 B.
3 4

C.1

D.

3 2


6.设原命题“若 p 则 q” 假而逆命题真时,则 p 是 q 的?????????( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由函数 f (m) ? 1.06(0.5[m] ? 1) 元给出,其中 m ? 0 ,[m]表示 不 超 过 m 的 最 大 整 数 , 如 [3]=3 , [3.2]=3 ) 则 从 甲 地 到 乙 地 通 话 时 间 为 5.5 分 钟 的 话 费 ( , 为???????????????????????????( A.4.77 B.4.24 C.3.97 )

D.3.71
2

8 . 设 P 和 Q 是 两 个 集 合 , 定 义 集 合 P ? Q ? ?x | x ? P,且x ? Q? , 如 果 Q ? {x | 3x ? x ? 2 ? 0} ,

P ? {x | x ? 2 |? 1} ,那么 P ? Q 等于????????????????(


1 / 10

A. ? x | 0 ? x ? 1? 9 . 函 数 f ( x) ? ?

B. ? x | 0 ? x ≤1?

C. ? x |1≤ x ? 2?

D. ? x | 2 ≤ x ? 3?

? 4x ? 4 , x ? 1 的 图 象 和 函 数 g ( x) ? x ? 2, x ? [0,??) 的 图 象 的 交 点 个 数 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1


是…………………………………………………………………………………( A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

10.若条件 p :函数 f ( x) ? 1 ?

2 2 有意义;条件 q :关于 y 的方程 xy ? 2 y ? x ? 0 至多有一个实数 1? x


根。则 p 是 q 的…………………………………………………( A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案写在答题卡相应位置.) 11.经调查,我校某班 62 名学生中,有 37 名喜欢语文,49 名喜欢数学,两门都喜欢的有 30 名,则两门都 不喜欢的有 名学生。

12.设 a,b?R ,集合 ?1,a ? b,a? ? ?0, ,b ? ,则 b ? a ?

? b ? a

? ?

.

13.函数 f ( x) ?

2? x 的定义域是 x
2

.

14.函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 3 在(-2,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是__________. 15.设函数 f ( x) 对于任意 x, y ? R, 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), 16、在下列五个命题中: ①若 a ? 3 2 ,则 a ? {x | x ? 2 3} ; ②若 P={x|0 ? x ? 4},Q={ y |0 ? y ? 2},则对应 y= ③ f ( x) ?

f (1) ? ?2 ,则 f (3) =

.

3x 不是从 P 到 Q 的映射; 2

3 在(- ? ,0)∪(0,+ ? )上为减函数; x
?1

④若函数 y ? f ( x ? 1) 的图象经过点 ( 4,1) ,则函数 y ? f
3 2

( x) 的图象必经过点(1,3);
3 2

⑤命题“对任意的 x ?R , x ? x ? 1 ≤ 0 ”的否定是“不存在 x ?R , x ? x ? 1 ≤ 0 ” ; 其中所有不正确的命题的序号为 。 ... 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 13 分)已知集合 A= ? x |

? ?

x ?1 ? ? 0? ,集合 B= ?x | 2 ? x ? 10? ,集合 C= {x | x ? a} ; x?7 ?
2 / 10

(1)求 A ? B ; (2)如果 A ? C ? ? ,求实数 a 的取值范围。 18.(本小题满分 13 分)已知函数 f (x) = (1)求 f (x) 的反函数 f
?1

3x ? 1 1 ( x ≠- a , a ≠ ). 3 x?a

( x) ;(2)若函数 f (x) 的图象关于直线 y = x 对称,求实数 a 的值.

19.(本小题满分 12 分)设 f ( x) ? ax 2 ? (b ? 8) x ? a ? ab, 不等式 f ( x) ? 0 的解集是(-3,2). (1)求 f ( x) ; (2)当函数 f ( x) 的定义域是[-1,1]时,求函数 f ( x) 的值域. 20.(本小题满分 12 分)已知命题 p: x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的负数根;命题 q:方程
2

4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,若“p 或 q”为真,而“p 且 q”为假,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 2 x ? a, g ( x) ? (1)若 g[ f ( x)] ? x ? x ? 1 ,求实数 a 的值;
2

1 2 ( x ? 3) , 4

(2)若关于 x 的方程 f [ g ( x)] ? f ( x) ? 0 的两个根 m, n 满足 m ? 1 ? n ,求实数 a 的取值范围。

22.(本小题满分 14 分) 探究函数 f ( x) ? x ?

4 , x ? (0,??) 的最小值,并确定取得最小值时 x 的值.列表如下: x
1.7 4.05 1.9 4.005 2 4 2.1 4.005 2.2 4.02 2.3 4.04 3 4.3 4 5 5 5.8 7 7.57 ? ?

x y

? ?

0.5 8.5

1 5

1.5 4.17

请观察表中值 y 随 x 值变化的特点,完成以下的问题. 函数 f ( x) ? x ?

4 ( x ? 0) 在区间(0,2)上递减; x
4 ( x ? 0) 在区间 x
时, y最小 ? . 上递增.

函数 f ( x) ? x ? 当x?

证明:函数 f ( x) ? x ?

4 ( x ? 0) 在区间(0,2)递减. x

思考: (直接回答结果,不需证明) (1) 函数 f ( x) ? x ? 的值。

4 请说明是最大值还是最小值, 以及取相应最值时 x ( x ? 0) 有没有最值?如果有, x

3 / 10

(2)函数 f ( x) ? ax ?

b , (a ? 0, b ? 0) 在区间 x



上单调递增。

新课标 2013-2014 学年(上)中期考试 高一年级数学试题答题卷
二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. ; 12. ; 13. ;

14. ; 15. ; 16. . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 13 分) 解:

18. (本小题满分 13 分) 解:

4 / 10

19. (本小题满分 12 分) 解:

20. (本小题满分 12 分) 解:

5 / 10

21. (本小题满分 12 分) 解:

6 / 10

22. (本小题满分 14 分) 探究函数 f ( x) ? x ?

x y

4 , x ? (0,??) 的最小值,并确定取得最小值时 x 的值.列表如下: x ? 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 ? ? 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 ? 请观察表中值 y 随 x 值变化的特点,完成以下的问题. 4 函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 在区间(0,2)上递减; x 4 函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 在区间 上递增. x 当x? 时, y最小 ? .
求证:函数 f ( x) ? x ?

4 ( x ? 0) 在区间(0,2)递减. x

证明:

思考: (直接回答结果,不需证明) 4 (1) 函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 有没有最值?如果有, 请说明是最大值还是最小值, 以及取相应最值时 x x 的值。

7 / 10

(2)函数 f ( x) ? ax ?

b , (a ? 0, b ? 0) 在区间 x



上单调递增。

新课标 2013-2014 学年(上)中期考试 高一年级数学试题参考答案
1~10:CAADC,BDDBA。 11: 6 ;12: 2 ;13: (??,0) ? (0,2] ;14: [2,??) ;15: -6 ;16: ①③⑤。 17 解: (1)A={x|1≤x<7}??????????? ?????6 分 A∪B={x|1≤x<10}???????????????9 分 (2)当 a ? 7 时满足 A∩C≠φ ???????????13 分 18.解:(1)设 y=

3x ? 1 ,则 y(x+a)=3x+1,??????????2 分 x?a 整理得(y-3)x=1-ay.?????????????????3 分 1 若 y=3,则 a= ,与已知矛盾, 3
∴ y ? 3 ??????????????????????4 分 ∴x=

1 ? ay .????????????????????5 分 y ?3
-1

1 ? ax (x≠3).????????7 分 x?3 3x ? 1 1 ? ax --1 (2)依题意得 f (x)=f(x),则 = ,??????10 分 x?a x?3 2 2 2 整理得 3x -8x-3=-ax +(1-a )x+a, 比较两边对应项的系数,???????? ??????11 分
故所求反函数为 f (x)=

?? a ? 3, ? 有 ?a 2 ? 1 ? 8, ?a ? ?3, ?
故 a=-3.??????????????????????13 分 19.解: (1) ∵不等式 f ( x) ? 0 的解集是(-3,2)即 ax ? (b ? 8) x ? a ? ab ? 0 的解集是(-3,2)
2

8 / 10

? ? a?0 ? b?8 ? ? ?3 ? 2 ????????????????3 分 ∴? ? a ? ? ? a ? ab ? ( ?3) ? 2 ? a ?
解得 a ? ?3, b ? 5 ?????????? ????????5 分 ∴ f ( x) ? ?3x ? 3x ? 18 ?????????????????7 分
2

(2)结合二次函数的图像与性质可知函数 f ( x) ? ?3x ? 3x ? 18, x ? [?1,1] 在区间 [?1,? ] 上是增
2

1 2

函数,在区间 [?

1 ,1] 上是减函数,所以 2

当 x ? ? 1 时, f max ( x) ? 75 , 当x ? 1 , f min ( x) ? 12 ??????12 分 时 2 4

20. 解:命题 p 为真时,

? ? ? m2 ? 4 ? 0 ? ? x1 ? x2 ? ?m ? 0 ? x x ?1? 0 ? 1 2
2

??????????3 分

解得

m>2??????????????????????????5 分

命题 q 为真时,

? ? ? 4(m ? 2) ? 4 ? 4 ?1 ? 0, 即1 ? m ? 3 . ?7 分 ?

又?∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,∴ p,q 必为一真一假, ??9 分 ∴1<m ? 2 或 3 ? m.??????????????????????12 分 21. 解: (1)∵ g[ f ( x)] ? g (2 x ? a) ?

1 4 x 2 ? 4ax ? a 2 ? 3 [( 2 x ? a) 2 ? 3] ? 4 4

g[ f ( x)] ? x 2 ? x ? 1 , x ? R

4 x 2 ? 4ax ? a 2 ? 3 ? x 2 ? x ? 1 , x ? R ???????4 分 ∴ 4
比较两边对应项的系数,有

? 4a ? 4 ?1 ? ? 2 ?a ? 3 ? 1 ? 4 ?
∴ a ? 1 ??????????????????????????6 分 (2)因为 f [ g ( x)] ? f ( x) ? 2 ? g ( x) ? a ? 2 x ? a ?

1 2 ( x ? 4 x ? 4a ? 3) ??8 分 2

所 以 关 于 x 的 方 程 f [ g ( x)] ? f ( x) ? 0 的 两 个 根 m, n 满 足 m ? 1 ? n 也 就 是 关 于 x 的 方 程

x 2 ? 4 x ? 4a ? 3 ? 0 的两个根 m, n 满足 m ? 1 ? n ???????????9 分
9 / 10

设 ? ( x) ? x ? 4 x ? 4a ? 3 ,由二次函数的图像与性质可知
2

? (1) ? 0
即 4a ? 8 ? 0 ??????????????????????????11 分 ∴ a ? ?2 ????????????????????????? ??12 分 4 22. (1)函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 在区间 (2,??) 上递增.?? ???2 分 x 当x? 2 时, y最小 ? 4 .?????????4 分 求证:函数 f ( x) ? x ?

4 ( x ? 0) 在区间(0,2)递减. x

证明: 设 x1 , x 2 是区间, (0,2)上的任意两个数,且 x1 ? x 2 . ???5 分

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? ? x1 ? x 2 ? 4 4 ? x1 x 2 4 ) x1 x 2

4 4 ? ( x2 ? ) x1 x2

? ( x1 ? x 2 )(1 ?

( x1 ? x 2 )( x1 x 2 ? 4) ???????????????7 分 x1 x 2 ? x1 ? x2 ∴ x1 ? x2 ? 0 又? x1 , x2 ? (0,2) ∴ 0 ? x1 x2 ? 4 ???????????? ????8 分 y1 ? y 2 ? 0 ∴ x1 x2 ? 4 ? 0 ?
∴函数在(0,2)上为减函数.??????? ????9 分 思考: (直接回答结果,不需证明) 4 (1) 函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 有没有最值?如果有, 请说明是最大值还是最小值, 以及取相应最值时 x x 的值。 4 答: f ( x) ? x ? ( x ? 0) 有最值,当 x ? ?2 时, y max ? ?4 ??????11 分 x (2)函数 f ( x) ? ax ?

b , (a ? 0, b ? 0) 在区间 x

[?

b ,0 ) a

和 (0,

b ] 上单调递增。 a

?????????????????????????????????14 分

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