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高二数学下学期期末考试试题(五)


高二数学下学期期末考试试题(五)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选 项是符合题目要求的. 1. y ? x 2 在 x ? 1 处的导数为( ) ( )

A. 2 x B.2 ? ?x C.2 D.1 2、a,b 表示直线,β 表示平面,则下列命题中正确的个数为 ①若 a⊥β ,a⊥b,则 b∥β ③若 a∥β , b⊥β ,则 b⊥a A、 1 3.在( B、2 ②若 a∥β ,a⊥b,则 b⊥β ④若 a⊥β , C、3 D、4 b∥β , 则 a⊥b

2 0 A.-28 B.-7 C.7 D.28 0 7 7 6 4、若 (3x ?1) ? a7 x ? a6 x ? ?? a1x ? a0 ,则 a7 ? a6 ? ? ? a0 ? ( ) 8 0 6 (A)1 (B)128 (C)129 (D)127 0 5. 如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=BC=2, AA1=1, 6 则 AC 与平面 A B C D 所成角的正弦值为( )
1 1 1 1 1

x 1 ? 3 )8 的展开式中常数项是 2 x





A.

2 2 3

B.

2 3

C.

2 4

D.

1 3

6.函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 2 ,若 f ' (?1) =4,则 a 的值 等于( A. )
19 16 13 10 B. C. D. 3 3 3 3 7.某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生,那么不同的选派方案种数为( ) A.14 B.24 C.28 D.48

8、 (文科)已知某人在某种条件下射击命中的概率是 ,他连续射击两次,其中恰有 一次射中的概率是 ( (A)
1 4

1 2

) (C)
1 2

(B)

1 3

(D)

3 4

1

Z (理科)已知 ? 2 ? i ,则复数 Z= 1? i
A、 ? 1 ? 3i B、 1 ? 3i C 、3 ? i D、 3 ? i
7 为概率的 10

?

9、在 5 件产品中,有 3 件一等品和 2 件二等品,从中任取 2 件,那么以 事件是( ) (B)恰有一件一等品 (D)至多一件一等品

(A)都不是一等品 (C)至少有一件一等品

10、省博物馆在下周内要接待甲、乙、丙等三所学校的学生参观,每天只安排一所学 校,双休日不安排,其中由于甲学校学生人数较多,要连续参观两天,其余两学校 各参观一天,则不同的安排方案共有( (A)12 种 (B)24 种 ) (D)60 种

(C)48 种

11、有 A、B 两个口袋,A 袋装有 4 个白球,2 个黑球;B 袋装有 3 个白球,4 个黑球, 从 A 袋、B 袋各取 2 个球交换之后,则 A 袋中装有 4 个白球的概率为 (A)
2 35





(B)

32 105

(C)

2 105

(D)

8 21

12.已知菱形 ABCD 中, AB ? 2 , ?A ? 120? ,沿对角线 BD 将 △ ABD 折起,使二面角
A ? BD ? C 为 120? ,则点 A 到 △BCD 所在平面的距离等于(

) D、 3

A、

3 2

B、

1 2

C 、1

二、填空题:本题共 4 小题,共 20 分,把答案填在第Ⅱ卷答题卡的横线上。 13、 ( x ? y)10 的展开式中, x 7 y 3 的系数与 x3 y 7 的系数之和等于 .

14、曲线 y ? x 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为 15、四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,则 恰有一个空盒的放法共有_________种。 (用数字作答) 16、 如图在底面边长为 2 的正三棱锥 V—ABC 中,E 是 BC 中点, 若△VAE 的面积是
1 ,则侧棱 VA 与底面所成角的正切值为 4

第Ⅱ卷(非选择题满分 90)
三、解答题: 本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

2

17.(本小题满分 12 分)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
E 、 F 分别为 C1D1 、 A1 D1 的中点.

求证: AF // 平面 BDE

18. (本小题满分 10 分)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形, ?ABC ?

?
4

O

,

OA ? 底面 ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点,

M

求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小;

A B C

D

19、某射手在一次射击中射中 10 环,9 环,8 环的概率分别为 0.24,0.28,0.19 计算 这一射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)不够 8 环的概率. ⑶(理科)记射手在一次射击中射中环数为 ξ (不够 8 环的均记为 7 环) ,求 ξ 的方 差。
3

20、 已知函数 f ( x) ? x4 ? 3x2 ? 6 . (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)设点 P 在曲线 y ? f ( x) 上,若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方 程

21 (文科) (本小题满分 12 分) 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。 假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立。 已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (Ⅰ)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。 (理科)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比
4

赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相 互独立。已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设 ? 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ? 的分布列及数学期 望。

22、 (本题满分 12 分) 如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,ABCD 是正方形,ABEF 是矩形,且 AF ? 是 EF 的中点, (1)求证平面 AGC⊥平面 BGC; (2)求 GB 与平面 AGC 所成角正弦值; (3)求二面角 B—AC—G 的余弦值.
1 AD ? a, G 2

高二数学下学期期末考试试题(五)答案
一、选择题 1-12 CBCBD 二、填空题 13、-240, 三、解答题 17、 证明:连 EF 、 A1C1 ,连 AC 交 BD 于 O ,
5

DAC(B)DB 14、
8 3

DA 16、
1 4

15、144,

? EF //

1 1 A1C1 , AO // A1C1 , 2 2 ? 四边形 AOEF 是平行四边 ? AF // OE 又? OE ? 平面 BDE , AF ? 平面 BDE , ? AF // 平面 BDE .

18、解:

CD‖ AB,

∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角

作 AP ? CD于P, 连接 MP

∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP
∵ ?ADP ?

?
4

,∴ DP =

2 2
DP 1 ? ? , ?MDC ? ?MDP ? 所以 MD 2 3

∵MD ? MA2 ? AD2 ? 2 ,∴ cos ?MDP ?
AB 与 MD 所成角的大小为

? 3

19、 (1)记射中 10 环为事件 A,射中 9 环为事件 B,A、B 互斥, 则 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52. (2)记不够 8 环为事件 D,射中 8 环为事件 C,则 D 与 A+B+C 为相互独立事件. P(D)=P( A ? B ? C )=1-P(A+B+C)=1-(P(A)+P(B)+P(C)) =1-(0.24+0.28+0.19)=0.29

20. (1) f '( x) ? 4 x3 ? 6 x ? 4 x( x ?
6 6 )( x ? ) 2 2

…………. 2 分

当 x ? (??, ?

6 6 ) 和 x ? (0, ) 时, f '( x) ? 0 ; 2 2

当 x ? (?

6 6 , 0) 和 x ? ( , ??) 时, f '( x) ? 0 2 2 6 6 ) 和 (0, ) 是减函数, 2 2

因此, f ( x) 在区间 (??, ?

6

f ( x) 在区间 (?

6 6 ,0) 和 ( , ??) 是增函数。 2 2

……………….6 分

(Ⅱ)设点 P 的坐标为 ( x0 , f ( x0 )) ,由 l 过原点知, l 的方程为

y ? f' ( 0 x)x
因此 即 整理得 解得

…………………..8 分

f( x x, ) 0 )? x 0 f' ( 0
4 2 3 x0 ? 3 x0 ? 6 ? x0 ( 4x 0 ? 6 x0 )? 0 2 2 ( x0 ? 1)( x0 ? 2) ? 0

x0 ? ? 2



x0 ? 2


因此切线 l 的方程为 21.解:

y ? ?2 2x

y ? 2 2x 。

……………12 分

(文科)记 Ai 表示事件:第 i 局甲获胜, i ? 3, 4,5

B j 表示事件:第 j 局乙获胜, j=3,4
(I)记 A 表示事件:再赛 2 局结束比赛

A ? A3 ? A4 ? B3 ? B4
由于各局比赛结果相互独立,故

……………2 分

P( A)? P( 3A? 4A? 3B? 4B ) ? ( P3A ? 4) A ? (P3 B ? 4 )B
? P( A ) 3 ) P( A 4 ? ?0.52
(II)记 B 表示事件:甲获得这次比赛的胜利 因前两局中, 甲、 乙各胜一局, 故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中, 甲先胜 2 局,从而

P( 3B ) P(4 B ) 0.4
……………6 分

?0.6 ? 0? .6 ? 0.4

B ? A3 ? A4 ? B3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B4 ? A5
由于各局比赛结果相互独立,故

……………….8 分

P( B)? P( 3A? 4A)? P (3B ?

4

A ?

5

A )?

( P3 A ? 4B ? 5 )A
P P( A ) 3( A ) P 4 ( B )5 0 . 6………………….12

? P( A ? P( 3B ) P(4 A ) P3 (? A) 3 ) P( A 4 ) ? 0 . 6? 0 . ? 6 ?0.648 0? .4

0 ?. 6 ? 0.6? 0.6 ? 0.4

7

分 (理科)(1) 记 Ai 表示事件:第 i 局甲获胜, i ? 3, 4,5

B j 表示事件:第 j 局乙获胜, j=3,4
记 B 表示事件:甲获得这次比赛的胜利 因前两局中, 甲、 乙各胜一局, 故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中, 甲先胜 2 局,从而

B ? A3 ? A4 ? B3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B4 ? A5
由于各局比赛结果相互独立,故

……………….2 分

P( B)? P( 3A? 4A)? P (3B ?

4

A ?

5

A )?

( P3 A ? 4B ? 5 )A
P P( A ) 3( A ) P 4 ( B )5
……………….6 分 0.6

? P( A ? P( 3B ) P(4 A ) P3 (? A) 3 ) P( A 4 ) ? 0 . 6? 0 . ? 6 ?0.648
(2) ? 的可能取值为 2,3 由于各局比赛结果相互独立,所以 P( ? =2)= P( A3 ? A4 ? B3 ? B4 ) = P( A3 ? A4 ) ? P(B3 ? B4 )
?0.6 ? 0? .6 ? 0.4 ? 0.52 0.4

0? .4

0 ?. 6 ? 0.6? 0.6 ? 0.4

P( ? =3)=1- P( ? =2)=1-0.52=0.48 ? 的分布列为 ? 2 3 p 0.52 0.48
E? ? 2 ? p(? ? 2) ? 3 ? p(? ? 3) ? 2 ? 0.52 ? 3 ? 0.48 ? 2.48

22.(1)? 平面 ABCD⊥平面 ABEF, BC⊥AB ? BC⊥平面 ABE 而 AG ? 平面ABEF

? BC⊥AG
1 AD ? a, 2

? ABEF 是矩形,且 AF ?
BG⊥AG 又? BC ? BG ? B AG⊥平面 BCG 又 AG ? 平面 ACG

8

? 平面 AGC⊥平面 BGC (2)过点 B 作 BH⊥CG ∵ 平面 AGC⊥平面 BGC ? BH⊥平面 AGC ? HG 是 BG 在面 ACG 上的射影 ? ?CGB 为 BG 与面 ACG 所成的角 在 Rt ?BEG 中,BE=EG= a ? BG ? 2a
又∵ BC= 2a

? CG ? 6a

? BH ?

BC ?BG 2a? 2a 2 3a ? ? CG 3 6a

2 3a BH 6 ? 3 ? ? sin ?CGB ? BG 3 6a

(3)过 B 作 BM⊥AC,连结 MH ∵ BH⊥平面 AGC ? MH 是 BM 在面 ACG 上的射影 ? BMH 为二面角 B—AC—G 的平面角 ? ∵ AB=BC= 2 a ? M 是 AC 的中点

? MH⊥AC

? BM ?

1 2 AC ? a 2 2

9


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