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广东省广州市海珠区2015届高三8月摸底考试数学(理)试题(含答案)


海珠区 2014 学年高三综合测试(一)试题

数 学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
2 2 1.已知集合 M ? x x ? 1 , N ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 M ? N ?

?

?

?

?

A. {1, 2}

B. {?1,1, 2} B. ?2

C. {?1, 2} C. 1 ? i

D. {1} D. 1 ? i

2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于实轴对称, z1 ? 1 ? i ,则 z1 z2 ? A. 2 3.已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是 A.若 m / /? , n / /?, 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?

4.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 3, S4 ? 15, 则 S6 ? A.31 B.32 C.63 C. f ? x ? ? D.64 5. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 A. f ( x) ? x3 B. f ( x) ? sin x

1 x

D. f ( x ) ? ? x | x |

?x ? 0 ?x ? y ? 1 ? 6. 由不等式 ? y ? 0 确定的平面区域记为 ?1 ,不等式 ? 确定的平面区域记为 ? 2 , ? x ? y ? ?2 ?y ? x ? 2 ? 0 ?
在 ?1 中随机取一点,则该点恰好在 ? 2 内的概率为 A.

1 8
2

B.

1 4

C.

3 4

D.

7 8

7.已知抛物线 y ? 4 x 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 有相同的焦点 F ,点 A 是两曲线的一个 a 2 b2
C. 3 ? 1
0

交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为 A. 2 ? 2 B. 5 ? 1 D. 2+1 8 . 已 知 菱 形 ABCD 的 边 长 为 2 , ?BAD ? 120 , 点 E , F 分 别 在 边 BC , DC 上 ,

2 BE ? ? BC, DF ? ? DC .若 AE ? AF ? 1 , CE ? CF ? ? ,则 ? ? ? ? 3 5 1 2 7 A. B. C. D. 6 2 3 12
二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. ? x ? a ? 的展开式中, x 的系数为 7 ,则
8

5

a?

.(用数字填写答案)
1

10.已知某程序框图如图,若分别输入的

x 的值为 0,1, 2 ,执行该程序后,输
出的 y 的值分别为 a, b, c ,则

a?b?c ? . 11.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别
为 a, b, c ,且 c ? 4 2,B ? 45 ,面
?

积 S ? 2 ,则 b = 12.图中阴影部分的面积等于

. .

13.如图,对大于或等于 2 的正整数 m 的 n 次 幂进行如下方式的“分裂” (其中 m, n ? N ? ) 例如 72 的“分裂”中最小的数是 1 ,最大的 数是 13 ;若 m3 的“分裂”中最小的数是 241 , 则最大的数是 .

1

1

3

7

2

2

3

2

3

2
5 7

4

3 5
2

9

7
3
2

7 9
11

1

25

3

3

3

9

34

5

11
第 13 题图

27 29

13

第 12 题图

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极 轴建立极坐标系,已知点 M 的极坐标为 ? 4 2, 程为 ?

? ?

??

? ,曲线 C 的 4?

参数方

? ? x ? 1 ? 2 cos ? , ? ? y ? 2 sin ?

( ? 为参数).则点 M 到曲线 C 上的 .

点的距

离的最小值为

15.(几何证明选讲选做题)如图,过⊙O 外一点 P 分别作圆的切 线交圆于 A, B ,且 PB ? 9 , C 是圆上一点使得

线和割

BC ? 4,?BAC ? ?APB ,则 AB ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 cos ?

(1)求 f ? x ? 的单调递减区间;

?x ?? ? ?, x? R. ?2 4?

2

(2)若 sin ? ?

3 ?? ? , ? ? ? , ? ? ,求 f ? 4? ? ? ? . 5 ?2 ?

17.( 本小题满分 12 分) 为增强市民的环保意思,某市面向全市增招环保知识义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿 者中随机抽取 100 名志愿者 , 其年龄频率分布直方图如图所示 , 其中年龄(岁)分成五组 : 第 1 组

?20, 25? ,第 2 组 ?25,30? ,第 3 组 ?30,35? ,第 4 组 ?35, 40? ,第 5 组 ?40, 45? .得到的频率分布直方图
(1)求第 4 组的频率,并在图中补画直方图; (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣

(局部)如图所示.

传活动,再从这 20 名志愿者中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这

3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

频率 组距
0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
O 20 25 30 35

40

45

年龄∕岁

第 17 题图 18.(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? PD , PA ? 平面 PDC ,

E 为棱 PD 的中点. (1)求证: PB // 平面 EAC ;
(2)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (3)求二面角 E ? AC ? B 的余弦值.

第 18 题图 19.(本小题满分 14 分) 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 25 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) bn ?

1 n ? N ? ? ,证明:对一切正整数 n ,有 b1 ? b2 ? ? Sn

? bn ?

7 . 4

3

20.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点 (? 3 , 0) , ( 3 , 0) 的距离之和等于 4 ,设点 P 的 轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与曲线 C 交于 A , B 两点. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图象在点 x ? e ( e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3 . (1)求实数 a 的值; (2)若 k ? Z , 不等式 k ? x ?1? ? f ? x ? 在 x ? ?1 , +?? 上恒成立,求 k 的最大值; (3)当 n ? m ? 4 时,证明: mn

?

n m

? ? ? nm ? .
m n

4

5

6

7

8

9

10

11

12


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