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【数值分析】第三章 函数逼近与计算课件模板_图文

第三章 函数逼近与计算 §1 引言 一、问题的提出 在科学与工程技术的很多领域,人们常碰到大量带有误差 的实验数据,这时采用高次插值会出现震荡,采用分段插值 则会使函数非常复杂,无法准确反映被侧函数的整体性态, 因此,不适合用插值法。 如何在给定精度下,求出计算量最小的近似式,这就是 函数逼近要解决的问题。 二、函数逼近问题的一般提法: 对于函数类 A 中给定的函数 f ? x ? ,要求在另一类较简 单的且便于计算的函数类 B ? ? A? 中寻找一个函数 P ? x ?,使 P ? x ?与 f ? x? 之差在某种度量意义下最小。 注:本章中所研究的函数类 A 通常为区间 ? a, b? 上的连续函数,记做 C ?a, b? ;而函数类 B 通常是代数多项式或三角多项式。 三、常用的度量标准: (一) 最佳一致逼近 若以函数f (x)和P(x)的最大误差 f ? x? ? P ? x? ? f ? x? ? P ? x? max ? ? x? a ,b ? 作为度量误差 f (x) - P (x) “大小”的标 在这种意义下 准, 的函数逼近称为最佳一致逼近或均匀逼近。 (二) 最佳平方逼近: 采用 ? f ? x ? ? P ? x ?? dx ? f ? x ? ? P ? x ? ? ? ? a b 2 2 作为度量误差“大小”标准的函数逼近称为最佳平 方逼近或均方逼近。 §2 定义 最佳一致逼近 对于任意 设函数 f ? x ? 是区间 ? a, b? 上的连续函数, 给定的 ? ? ? ,如果存在多项式 P ? x ? ,使不等式 一、最佳一致逼近的概念 max f ? x ? ? P ? x ? ? ? a ? x ?b 成立, 则称多项式 P ? x ? 在区间 ? a, b? 上一致逼近 (或均匀逼近)于函数 f ? x ? 。 二、最佳一致逼近多项式的存在性 定理 1(维尔斯特拉斯定理) 若f (x)是区间[a, b]上的连续函数,则对于任意? >0, 总存在多项式 P (x),使对一切a ≤x ≤b 有 f ? x? ? P ? x? ? ?? 三、 C ?a, b? 上的最佳一致逼近 | f ( x) | 意义下: 在 || f ||? ? max x?[ a ,b ] 能否在所有次数不超过n的代数多项式中找到一个 pn ( x),使得 * f ? x ? ? pn* ? x ? ? ? min f ? x ? ? pn ? x ? pn ? x ??H n ? 其中, H n 表示由所有次数不超过n的代数多项式 构成的线性空间。 这就是 C ?a, b? 空间中的最佳一致逼近问题。 四、C ?a, b? 上最佳一致逼近多项式的存在性 定理2(Borel定理) 对任意的 f ? x ? ? C ?a, b? , 在 Hn 中都存在对 * f ? x ? 的最佳一致逼近多项式,记为 pn ? x ? ,使得 f ( x ) ? p n* ( x ) ? ? min p n ( x )? H n f ( x) ? pn ( x) ? * p 成立. 称 n ? x ? 为 f ? x ? 的n次最佳一致逼近多项式。 简称最佳逼近多项式。 五、相关概念 1、偏差 定义 若 P n ? x ? ? Hn , f ? x ? ? C ? a, b? , ? a ? x ?b 则称 ?? f , P f ?P n ? ? n ? max f ? x ? ? Pn ? x ? 为 f ? x ? 与 Pn ? x ? 在 ? a, b? 上的偏差。 注: 显然, ? ? f , Pn ? ? 0 ,?? ? f , P n ?? 的全体组成一个 集合,记作 ? ? f , Pn ? ,它有下界0 . 2、最小偏差 定义 若记集合的下确界为 En ? inf ?? ? f , Pn ?? ? inf max f ? x ? ? Pn ? x ? Pn ?H n Pn ?H n a ? x ?b 则称 En 为 f ? x ? 在 ?a, b? 上的最小偏差。 3、偏差点 定义 设 f ? x ? ? C ?a, b? , P ? x ? ? Hn , 若在 x ? a ? x?b x0 上有 P ? x0 ? ? f ? x0 ? ? max P ? x ? ? f ? x ? ? ?, 则称 x0 是 P ? x ? ? f ( x) 的偏差点。 若 P ? x0 ? ? f 若 P ? x0 ? ? f ? x0 ? ? ?, 则称 x0 为“正”偏差点。 ? x0 ? ? ??, 则称 x0 为“负”偏差点。 4、交错点组 定义 若函数 f ? x ? 在其定义域的某一区间 ? a, b? 上存在 n 个点 ?xk ? , k ? 1, 2,..., n, 使得 ?, ?1? f ? xk ? ? max f ? x ? ? f ? x ? k ? 1, 2,..., n; ? 2? ? f ? xk ? ? f ? xk ?1 ? , k ? 1, 2,..., n ? 1; 则称点集 ? a, b? 上的一个交错点组, 点 xk ?xk ? , k ? 1, 2,..., n, 为函数 f ? x ? 在区间 称为交错点。 六、 C ?a, b? 上的最佳一致逼近的特征 引理3.1 * P 设 f ? x ? 是区间 ? a, b? 上的连续函数, n ? x ? 是 f ? x ? * f x ? P ? ? 的n次最佳一致逼近多项式,则 n ? x ? 必同时 存在正负偏差点。 y y ? f ? x ? ? En y ? f ? x? y ? f ? x ? ? En O a

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