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2015届高考数学人教A版(理)一轮复习讲义:第一章第二节+命题及充要条件


第一章
一. 考纲传真

集合与常用逻辑用语

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

1. 理解命题的概念; 2. 了解 “若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种 命题间的相互关系. 3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 .

二.考点梳理
1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以 _________的陈述句叫做命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系:

(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有 _____的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 ___________. 3.充分条件与必要条件 (1)如果 p? q,则 p 是 q 的 ______条件, q 是 p 的 ______条件;若 p?q,则 p 是 q 的 ______条件. (2)若 p? ? q ,且 q? ? p ,则 p 是 q 的 ____________________条件.

三. 学情自测
1. ( 2014· 北京高考)设 a 、 b 是实数,则“ a ? b ”是“ a 2 ? b 2 ”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 答案 :D
1



B. 必要而不必要条件 D. 既不充分不必要条件

2. ( 2014· 重庆高考)已知命题

p : 对任意 x ? R ,总有 2 x ? 0 ;
q :" x ? 1" 是 " x ? 2" 的充分不必要条件

则下列命题为真命题的是( A. p ? q
B. ? p ? ? q


C. ? p ? q D. p ? ?q

解析:因为 p 为真, q 为假,故选 D.

答案 : D )

3. (2014· 温州适应性测试 )设集合 A, B,则 A?B 是 A∩ B= A 成立的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由 A? B,得 A∩ B= A;反过来,由 A∩ B=A,且 (A∩ B)? B,得 A? B. 因此, A? B 是 A∩B= A 成立的充要条件. 答案: C 4. ( 2014· 湖南高考)已知命题 p : 若x ? y, 则 ? x ? ? y;命题q : 若x ? y, 则x2 ? y 2 . 在命题 ① p ? q; ②p ? q; ③p ? (?q);④(?p) ? q 中,真命题是( A.① ③ B. ① ④ C. ②③ D. ②④ )

解 析: 当 x ? y 时, 两边 同乘 ?1 , 可得 ? x ? ? y , 所 以命题 p 为 真 命题 ;当
x ? 1, y ? ?2 时,因为 1 ? x2 ? y 2 ,所以命题 q 为假命题,则 ? q 为真命题,根据真

值表可得② ③ 为真命题 .

答案: C

5. “在△ ABC 中,若∠C= 90° ,则∠ A、∠B 都是锐角 ” 的否命题为: ____________________. 解析:原命题的条件:在△ ABC 中,∠ C= 90° ,结论:∠A、∠ B 都是锐角. 否命题否定条件和结论, 即 “在△ ABC 中, 若∠C≠90°, 则∠ A、 ∠ B 不都是锐角 ”. 答案: “在△ ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 不都是锐角 ”

四. 典例探究 考点一 命题及其四种关系

[例 1] (2014· 陕西高考 )原命题为 “若 z1 , z2 互为共轭复数,则 z1 ? z2 ”,关于逆命
2

题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( A. 真,假,真 C. 真,真,假 【答案】 B B. 假,假,真 D. 假,假,假



解 析 : 原 命 题 和 逆 否 命 题 等 价 , 逆 命 题 和 否 命 题 等 价 . 设 z1 ? a ? bi , 则

z2 ? a-bi , | z1 |? a 2 ? b 2 , | z 2 |? a 2 ? b 2 ,∴ | z1 |?| z 2 | ,所以原命题为真,逆否命
题也为真,不需判断逆命题的真假即可完成选择 B. 答案: B

考点二

充分条件和必要条件的判定

[例 2](1)(2014· 北京高考 ) 设 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 " q ? 1" 是 "{an }" 为递 增数列的( ) B.必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

解析:对等比数列 {an } ,若 q ? 1 ,则当 a1 ? 0 时数列 {an } 是递减数列;当 a1 ? 0 且
0 ? q ? 1时,数列 {an } 是递增数列,故 " q ? 1" 是数列 {an } 为递增数列的既不充分

也不必要条件 .

答案:D )

(2)(2014· 天津高考 ) 设 a, b ? R ,则 |“ a > b ”是 “ a a > b b ”的( A. 充要不必要条件 C. 充要条件 B.必要不充分条件 D. 既不充要也不必要条件

解析 ( : 1)当a ? 0,b ≥0时,a | a |? a 2 , b | b |? b 2 若a ? b, 则a | a |? b | b |,∴ 是充分条件; 若a | a |? b | b |, 则a ? b,∴ 是必要条件 (2)当a ? 0,b ? 0时, 若a ? b, 则a | a |? b | b |; 若a | a |? b | b |, 则a ? b. (3)当a ≤0,b ? 0时,a | a |? -a 2 , b | b |? -b 2 . 若a ? b, 则a | a |? b | b |; 若a | a |? b | b |, 则a ? b. 综上,是充要条件 . 答案: C

考点三

充分条件和必要条件的应用

[例 3](2012· 山东高考 )设 a>0 且 a≠1,则 “函数 f(x)= ax 在 R 上是减函数 ”是 “函数 g(x)= (2- a)x3 在 R 上是增函数 ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
3

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [自主解答 ] p: “函数 f(x)= ax 在 R 上是减函数 ”等价于 0<a<1.q: “函数 g(x) = (2- a)x3 在 R 上是增函数 ”等价于 2- a>0, 即 a<2.而 {a|0<a<1}是 {a|a<2}的真子 集.故答案为充分不必要 . 五.当堂达标 1.(2012· 福建高考 )已知向量 a= (x- 1,2),b= (2,1),则 a⊥ b 的充要条件是 ( A. x=- 1 2 B. x=- 1 C. x= 5 D . x= 0 ) )

2. “直线 l 的方程为 x- y= 0”是 “直线 l 平分圆 x2+ y2= 1 的周长 ”的 ( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.命题 “若 x, y 都是偶数,则 x+ y 也是偶数 ”的逆否命题是 ( A.若 x+ y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+ y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+ y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+ y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数

4. ( 2013· 湖南高考) “1<x<2”是 “x<2”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (2012· 安徽高考 )设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b⊥ m,则 “α⊥ β”是 “a⊥ b”的 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 6. ( 2013· 山东高考)给定两个命题 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
? p, q , p是q 的必要而不充分条件 ,则 p是? q

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(2011· 天津高考 )设集合 A= {x∈ R|x- 2> 0},B= {x∈ R|x< 0},C= {x∈R|x(x - 2)> 0},则 “x∈ A∪B”是 “x∈C”的 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 选做题 1.在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,则 “A<B”是 “cos 2A>cos 2B”的 ( )
4

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.设 x、y 是两个实数,命题 “x、y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条 件是 ( ) B. x+ y>2 D. xy>1

A. x+ y= 2 C. x2+ y2 >2

3.已知直线 l 1:ax- y+ 2a+ 1= 0 和直线 l 2:2x- (a- 1)y+ 2= 0(a∈R),则 l1⊥ l2 的充要条件是 a= ________. 4.(2011· 陕西高考 )设 n∈ N+,一元二次方程 x2- 4x+ n= 0 有整数根的充要条件 是 n= ________. 5.设条件 p: 2x2- 3x+ 1≤0,条件 q: x2- (2a+ 1)x+ a(a+ 1)≤0,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 答 1.选 D a⊥ b? 2(x- 1)+ 2= 0,得 x= 0. 案

2.选 A 若直线 l 的方程为 x- y= 0,则直线 l 一定平分圆 x2+ y2= 1 的周长; 但要平分圆 x2+ y2= 1 周长,只需要经过圆心 (原点 )任意作一条直线即可,即 “直 线 l 的方程为 x- y= 0”是 “直线 l 平分圆 x2+ y2= 1 的周长 ”的充分而不必要条件. 3.选 C 由于 “x, y 都是偶数 ”的否定是 “x, y 不都是偶数 ”, “x+ y 是偶数 ”的 否定是 “x+ y 不是偶数 ”,故原命题的逆否命题为 “若 x+ y 不是偶数,则 x, y 不 都是偶数 ”. 4. 【答案】 A 5.选 A 若 α⊥ β,又 α∩ β= m,b? β,b⊥ m,根据两个平面垂直的性质定理可 得 b⊥ α, 又因为 a? α, 所以 a⊥ b; 反过来, 当 a∥ m 时, 因为 b⊥ m, 一定有 b⊥ a, 但不能保证 b⊥ α,即不能推出 α⊥ β. 6. 【答案】 A 7.选 C A∪B= {x∈R|x< 0,或 x> 2}, C= {x∈R|x< 0,或 x> 2}, ∵ A∪B=C,∴ x∈ A∪ B 是 x∈ C 的充分必要条件. 选做题 a b 1.选 C 由大边对大角可知, A<B?a<b.由正弦定理可知 = , sin A sin B 故 a<b?sin A<sin B.而 cos 2A= 1- 2sin2 A, cos 2B= 1- 2sin2 B,
5

又 sin A>0, sin B>0,所以 sin A<sin B?cos 2A>cos 2B. 所以 a<b?cos 2A>cos 2B,即 “A<B”是 “cos 2A>cos 2B”的充要条件. 2.选 B 命题 “x、 y 中至少有一个数大于 1”等价于 “x>1 或 y>1”. 若 x+ y>2,必有 x>1 或 y>1,否则 x+ y≤2;而当 x= 2,y=- 1 时,2- 1= 1<2, 所以 x>1 或 y>1 不能推出 x+ y>2.对于 x+ y= 2,当 x= 1,且 y= 1 时,满足 x+ y= 2,不能推出 x>1 或 y>1.对于 x2+ y2 >2,当 x<- 1,y<- 1 时,满足 x2+ y2 >2, 故不能推出 x>1 或 y>1.对于 xy>1,当 x<- 1, y<-1 时,满足 xy>1,不能推出 x>1 或 y>1,故选 B. 1 3.解析: l1⊥ l2?2a+ (a- 1)= 0,解得 a= . 3 答案: 1 3

4.解析:由于方程都是正整数解,由判别式 Δ= 16- 4n≥0 得 “1≤n≤4”,逐个分 析,当 n= 1、2 时,方程没有整数解;而当 n= 3 时,方程有正整数解 1、3;当 n= 4 时,方程有正整数解 2.答案: 3 或 4 1 1 5. 解: 条件 p 为: ≤x≤1, 条件 q 为:a≤x≤a+ 1. ? p 对应的集合 A= x>1, 或 x< , 2 2

? q 对应的集合 B= {x|x>a+ 1,或 x<a}.∵ ? p 是 ? q 的必要不充分条件,
1 1 1 ? 1? ? ∴ B ? A,∴ a+ 1>1 且 a≤ 或 a+ 1≥1 且 a< .∴ 0≤a≤ .故 a 的取值范围是? ?0,2 ?. 2 2 2

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