当前位置:首页 >> 数学 >>

直线斜率与直线位置关系


1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点

的直线斜率的计算公式.
2.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或 垂直.

1.?直线的倾斜角

2. 直线的斜率

[思考探究]

过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)且x1=x2时直线的倾斜角和
斜率怎样? 提示:当x1=x2时,直线P1P2与x轴垂直,倾斜角α= 90°,其斜率不存在.

3.两条直线平行与垂直的判定
若直线l1和l2的斜截式方程为l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+ b2,则: (1)直线l1∥l2的充要条件是 k1=k2且b1≠b2 .

k (2)直线l1⊥l2的充要条件是 k1· 2=-1 .
若l1和l2都没有斜率,则l1与l2平行或重合. 若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0,则l1⊥l2.

1.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的 值为 A.1 C.1或3 解析:由 答案:A B.4 D.1或4 =1,得m=1. ( )

2.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a 等于 A.2 C.0 B.1 D.-1 ( )

解析:由题知(a+2)a=-1?a2+2a+1=(a+1)2=0, ∴a=-1.也可以代入检验. 答案:D

3.斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是
A.0°<α<45° C.90°<α<135° B.45°<α<90° D.135°<α<180°

(

)

解析:∵k=2>1,即tanα>1,∴45°<α<90°, ∴倾斜角的范围是45°<α<90°. 答案:B

4.直线l1的倾斜角为60°,直线l2⊥l1,则直线l2的斜率k2= . 解析:由斜率定义,直线l1的斜率k1=tan60°= ∵l2⊥l1,∴k1k2=-1,∴k2= 答案:- =- . .

5.已知直线l1过A(2,3)和B(-2,6),直线l2过点C(6,6)和D(10,3). 则l1与l2的位置关系为 .

解析:∵kl1=

=-

,kl2=

=-



∴k1=k2,结合图知l1与l2不重合,∴l1∥l2. 答案:l1∥l2

倾斜角和斜率的关系
1.斜率k是一个实数,每条直线存在惟一的倾斜角,但并

不是每条直线都存在斜率,倾斜角为90°的直线无斜
率,当倾斜角α≠90°时,k=tanα.

2.在分析直线的倾斜角和斜率的 关系时,要根据正切函数k= tanα的单调性,当α由0增大到 (α≠ α由 )时,k由0增大到+∞;当 (α≠ )增大到π(α≠π)时,k由负无穷大趋

近于0.解决此类问题时,也可采用数形结合思想,借助
图形直观作出判断.

直线xcosα+ A.[ C.[0, ] )∪( ]

y+2=0的倾斜角的范围是( B.[0, ]∪[ D.[ ] ,π)

)

[思路点拨]

[课堂笔记]由xcosα+ y+2=0得直线斜率 k=- cosα. ≤k≤ . ≤tanθ≤ .

∵-1≤cosα≤1,∴ -

设直线的倾斜角为θ,则-

结合正切函数在[0, )∪(
0≤θ≤ 或 ≤θ<π.

,π)上的图象可知,

[答案] B

1.求斜率的一般方法 (1)已知直线上两点,根据斜率公式k= 求斜率. (x1≠x2)求斜率.

(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k=tanα来

2.利用斜率证明三点共线的方法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),若x1=x2=x3或kAB = kAC,则有A、B、C三点共线.

[特别警示] 斜率变化分两段,90°是分界线,遇到斜 率问题要谨记,存在与否要讨论.

设a,b,c是互不相等的三个实数,如果A(a,a3)、

B(b,b3)、C(c,c3)在同一直线上,求证:a+b+c=0.
[思路点拨]

[课堂笔记] ∵a,b,c互不相等,

∴过A、B、C任两点的直线的斜率均存在.
又kAB= kAC= =a2+ab+b2, =a2+ac+c2.

∵A、B、C三点共线,∴kAB=kAC, 即a2+ab+b2=a2+ac+c2,(b-c)(a+b+c)=0. 而b≠c,∴a+b+c=0.

1.两条直线平行的判定方法
(1)若两条直线斜率都存在时,要使直线平行只需斜率相 等,且在y轴上的截距不相等. (2)若两条直线斜率都不存在,则两条直线平行或重合. (3)若直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1、B1不全为0), 直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0), 则l1∥l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).

2.两条直线垂直的判定方法
(1)若两条直线的斜率都存在,则它们垂直的条件是斜率 之积为-1. (2)若一条直线的斜率为0,另一条直线斜率不存在,则 这两条直线垂直.

(3)若直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),
直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0), 则l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

(2009· 上海高考)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=

0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是 (
A.1或3 B.1或5

)

C.3或5
[思路点拨]

D.1或2

[课堂笔记] k=3时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0显然平行; k=4时,l1:x+1=0,l2:2x-2y+3=0,显然不平行;

k≠3,k≠4时,要使l1∥l2,应有
综上所述k=3或5. [答案] C

?k=5.

本例中,若l1⊥l2,则k的值又是什么?

解:法一:由例题知,若l1⊥l2,
则 · (k-3)=-1,

解得k=

.

法二:∵l1⊥l2,∴2(k-3)(k-3)-2(4-k)=0. 解得k= .

本节主要以选择、填空题的形式出现,属于中低 档题目.其中直线的倾斜角和斜率、两直线的位置关 系是高考的热点.09年高考全国卷Ⅰ将直线的倾斜角

和两直线位置关系相结合,考查了数形结合的思想.

[考题印证]
(2009· 全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2: x-y+3=0所截得的线段的长为2 是①15° ②30° ③45° 其中正确答案的序号是 ,则m的倾斜角可以 ⑤75° ④60°

.(写出所有正确答案

的序号)

【解析】

求得两平行线间的距离为

,则m与两

平行线的夹角都是30°,而两平行线的倾斜角为45°, 则m的倾斜角为75°或15°. 【答案】 ①⑤

[自主体验] 设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的 边长,则直线x· sinA+ay+c=0与bx-y· sinB+sinC=0的 位置关系是 .

解析:∵bsinA-asinB=2RsinBsinA-2RsinAsinB=0,∴

两直线垂直.
答案:垂直

1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0, 则a、 b满足 A.a+b=1 C.a+b=0 B.a-b=1 D.a-b=0 ( )

解析:∵sinα+cosα=0,α是倾斜角,∴tanα=-1,∴k =- =tanα=-1,∴a-b=0.

答案:D

2.已知直线l的倾斜角为α,并且0°≤α<120°,则直线l的斜率k

的取值范围是
A.- <k≤0 B.k>- D.k≥0或k<-

(

)

C.k≥0或k<-

解析:当0°≤α<90°时,k=tanα≥0. 当90°<α<120°,结合正切函数的图象知,tanα<- 答案:C .

3.(2010· 福州模拟)“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0 互相垂直”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 ( B.必要而不充分条件 )

D.既不充分也不必要条件

解析:充分性:当a=1时,直线x+y=0和直线x-y=0

垂直;
必要性:若直线x+y=0和x-ay=0垂直, 由-1· 答案:C =-1,得a=1.故为充要条件.

4.(2010· 济南模拟)P(-1,3)在直线l上的射影为Q(1,-1),则 直线l的方程是 解析:由题意知,kl=- . = ,

∴直线l的方程是y+1=
即x-2y-3=0.

(x-1),

答案:x-2y-3=0

5.与A(1,1),B(2,2)距离都等于

的直线的条数有

条.

解析:共有3条:其中两条与A、B所在的直线平行,一条
过A、B的中点与A、B所在的直线垂直.

答案:3

6.已知点M(2,5),N(1,1),在y轴上找一点P,使∠MPN=90°, 求点P的坐标. 解:设P(0,y),根据题意,有PM⊥PN, kPM= ,kPN= ,

则kPM· PN= k

· (1-y)=-1, ,

即y2-6y+7=0,解得y=3± 即点P的坐标为(0,3± ).


赞助商链接
相关文章:
两条直线的位置关系(含答案)
两条直线的位置关系(含答案) - 两直线的位置关系 【知识清单】 : 1.两条直线位置关系的判定 位置关系 从斜率的角度 l1:y1=k1x+b1 l2:y2=k2x+b2 从系数...
直线的斜率、直线方程与两直线的位置关系
直线斜率直线方程与两直线位置关系_数学_高中教育_教育专区。第八章 第...已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的...
9.2 两条直线的位置关系
9.2 两条直线位置关系 - 1.两条直线位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行: (ⅰ)对于两条不重合的直线 l1、l2,若其斜率分别为 k1、k2,则...
专项二:两条直线的位置关系
专项二:两条直线位置关系 - 解析几何 2016 届 专项二:两条直线位置关系 〖考纲解读〗 1.能根据两条直线斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程...
高二数学 上学期两条直线的位置关系斜率互为倒数的两直...
高二数学 上学期两条直线位置关系斜率互为倒数的两直线的几何特征例题解析_数学_高中教育_教育专区。高二数学 上学期两条直线位置关系斜率互为倒数的两直线的...
最新人教版高中数学必修2第二章《两条直线的位置关系》...
最新人教版高中数学必修2第二章《两条直线位置关系》教案 - 1.3 两条直线位置关系 整体设计 教学分析 直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系, 它们的...
高二数学 上学期两条直线的位置关系 第一课时教案一
高二数学 上学期两条直线位置关系 第一课时教案一 ●教学目标 1.掌握斜率...l1 ∥ l 2 例 2.求过点 A(1,-4)且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0...
高中数学教案——两条直线的位置关系 第五课时
高中数学教案——两条直线位置关系 第五课时 - 课 题:7.3 两条直线位置关系(五) 教学目的: 1. 掌握两条直线平行与垂直的条件, 掌握两条直线的夹角和...
高中数学教案——两条直线的位置关系-平行与垂直
高中数学教案——两条直线位置关系-平行与垂直 - 课 题:7.3 两条直线位置关系(一)平行与垂直 教学目的: 1.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件,能够...
高中数学教案——两条直线的位置关系 -夹角
首先使学生认识到平行和垂直是两直线位置关系的特殊情形,而相交是两 新疆 王新...(2)当另一条直线斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 90°,另一条直线的...
更多相关标签: