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选修2-1第三章 空间向量与立体几何 知识整合


一、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算包括:加、减及数乘运算,选定空间不共面的向量作为基向量,并 用它们表示出目标向量,这是用向量法解决立体几何问题的基本要求.解题时,可结合已知 和所求,根据图形,利用向量运算法则表示所需向量. 二、空间向量的数量积 由 a· b=|a||b|cos〈a,b〉可知,利用该公式可求夹角、距离.还可由 a· b=0 来判定垂直 问题,要注意数量积是一个数,其符号由〈a,b〉的范围确定. 三、空间向量与平行和垂直 空间图形中的平行与垂直问题是立体几何中最重要的问题之一, 主要是运用直线的方向 向量和平面的法向量解决. 利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法: (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直,则 a⊥b?a· b=0. (3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理, 即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示 出来. (4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题.

四、空间向量与空间角 利用空间向量求空间角,一般有两种方法:几何法和向量法.利用向量法只需求出直线 的方向向量与平面的法向量即可. a· b (1)求两异面直线所成的角可利用公式 cos〈a,b〉= ,但务必注意两异面直线所成 |a|· |b| π 角 θ 的范围是(0, ],而两向量之间的夹角的范围是[0,π]. 2 故实质上应有 cos θ=|cos〈a,b〉|. (2)求线面角 求直线与平面所成的角时, 一种方法是先求出直线及此直线在平面内的投影直线的方向 向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方 向向量与平面法向量的夹角 φ,即可求出直线与平面所成的角 θ,其关系是 sin θ=|cos φ|. (3)求二面角 基向量法: 利用定义分别在两个面内找到两个夹角等于二面角的向量, 将其用一组基底 表示,再做向量运算. 坐标法:建立空间直角坐标系,求得两个半平面的法向量 n1,n2,利用 cos〈n1,n2〉 = n1· n2 结合图形求解. |n1||n2|


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