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《等比数列的前n项和公式》说课稿(2)


《等比数列的前 n 项和公式》说课稿
周国会

今天我将要为大家讲的课题是等比数列前 n 项和。对于这个课题,我主要 从下面六个方面来进行讲解。 一、教材结构与内容分析: 《等比数列前 n 项和公式》是高中数学必修五第二章第五节内容。教学对 象为高二学生,本节课为第一课时。在此之前,学生已学习了数列的定义、等 比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作 用,而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。本节课既是本章 的重点,同时也是教材的重点。 从高中数学的整体内容来看,《数列与数学归纳法》这一章是高中数学的 重要内容之一,在整个高中数学领域里占据着重要地位。首先:数列有着广泛 的实际应用。例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。 其次:数 列有着承前启后的作用。数列是函数的延续,它实质上是一种特殊的函数;学 习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。 再次:数列也是培养提高 学生思维能力的好题材。学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面 的知识解决数列中的一些问题,这些都有利于学生数学能力的提高。 本节的教学重点是等比数列前 n 项和公式及应用。 教学难点是等比数列前 n 项和公式的推导。 二、教学目标分析: 作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数 学思想、数学意识。根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结 构心理特征,我制定了如下的教学目标: 1、知识与技能目标:理解等比数列前 n 项和公式的推导方法,掌握等比数 列前 n 项和公式及应用。 2、过程与方法目标: 通过公式推导,提高数学建模意识,体会特殊到一 般的思维方式培养学生观察问题、思考问题的能力,并能灵活运用基本概念分 析问题解决问题的能力,锻炼数学思维能力。 3、情感态度与价值观目标:培养学生学习数学的积极性,提高学生的建模 意识及探究问题、分析与解决问题的能力培养学生勇于探索、敢于创新的精神, 磨练思维品质,从中获得成功的体验。 三、学生情况分析: 学生学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式,等差 数列的前N项和的公式,具备一定的数学思想方法,能够就接下来的内容展开 思考,而且在情感上也具备了学习新知识的渴求。 四、教学方法分析: 教法:数学是一门培养和发展人的思维的重要学科,因此在教学中不仅要让 学生“知其然”,还要“知其所以然”,为了体现以学生发展为本,遵循学生 的认知规律,体现循序渐进和启发式教学原则,我进行这样的教学设计:在教 师的引导下,创设情景,通过开放式问题的设置来启发学生进行思考,在思考 中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想,使之获得内心感受。

本节课将采用“多媒体优化组合—激励—发现”式教学模式进行教学。该模 式能够将教学过程中的各要素,如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合, 使其融为一体,创造最佳的教学氛围。主要包括启发式讲解、互动式讨论、研 究式探索、反馈式评价。 学法: 根据二期课改的精神, 转变学生的学习方式也是本次课改的重要内容, 数学作为基础教育的核心学科之一,转变学生的数学学习方式,变学生被动接 受式学习为主动参与式学习,不仅有利于提高学生的整体数学素养,也有利于 促进学生整体学习方式的转变。在课堂结构上我根据学生的认知层次,设计了 (1)创设情景(2)观察归纳(3)讨论研究(4)即时训练(5)总结反 思(6)任务延续,六个层次的学法,他们环环相扣,层层深入,从而顺利完 成教学目的。自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。 教学手段,利用多媒体 9 进行辅助教学。 五、教学程序设计: 1、创设情景: 传说在古代印度,国王要奖赏国际象棋的发明者 ,发明者说: “请在棋盘的 第 1 个格子里放上 1 颗麦粒,在第 2 个格子里放上 2 颗麦粒,在第 3 个格子里 放上 4 颗麦粒,在第 4 个格子里放上 8 颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦 粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍,直到第 64 个格子。请给我足够的粮 食来实现上述要求” 。国王觉得并不难,就欣然同意了他的要求。你认为国王有 能力满足发明者的要求吗? 分析:由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的 2 倍,如果把 各格所放的麦粒数看成是一个数列, 我们可以得到一个等比数列, 它的首项是 1, 公比是 2,求第一个格子 到第 64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比 数列的前 64 项的和。 这样引入课题有以下几个好处: (1) 利用学生求知好奇心理,以一个实际问题为切入点,便于调动学生学习 本节课的趣味性和积极性。 (2) 在实际情况下进行学习,可以使学生利用已有知识与经验,同化和索引 出当前学习的新知识,这样获取的知识,不但易于保持,而且易于迁移到陌生 的问题情境中。 (3) 问题内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。 (4) 有利于知识的迁移,使学生明确知识的现实应用性。 在教师的诱导下,学生根据自己掌握的知识和经验,很快建立起等比数列的 数学模型。数列{bn}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列。 当学生跃跃欲试要求这个数列的和的时候,课题的引入已经水到渠成。教师 再由特殊到一般、具体到抽象的启示,正式引入课题。 2、讲授新课: 本节课有两项主要内容,等比数列的前 n 项和公式的推导和等比数列的前 n 项和公式及应用。等比数列的前 n 项和公式的推导是本节课的难点。依据如下: Sn=a1+a2+??+an=a1(1+q+q2+??+qn-1) 不少同学根据这个式子可能会想到 a1 (1 ? q n ) 1? q a1(1+q+q2+??+qn-1)= a1(1+q+q2+??+qn-1)(1-q)/(1-q)= 错位相减法

2 n?2 ? ? a1q n?1 ?S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? a1q ? 2 3 n ?1 ? ? a1q n ?qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ? a1q

? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
? a1 (1 ? q n ) ? ? Sn ? ? 1 ? q ?na ? ? 1 q ?1 q ?1

提取公比 q
S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ?a1q n?2 ? a1q n?1 ? a1 ? q(a1 ? a1q ? ?a1q n?2) ? a1 ? q(S n ? a1q n?1) ? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n

3.例题讲解。 我们在讲解例题时,不仅在于怎样解,更在于为什么这样解,而及时对解题 方法和规律进行概括,有利于发展学生的思维能力。本节课设置如下两种类型 的例题:
1 1 1 1 (1)求等比数列的 , , , ? 前 8 项和 2 4 8 16 1 1 1 1 (2)求等比数列的 , , , ? 前 n 项和 2 4 8 16 1 1 1 1 ? , ? 前 n 项和 (3)求等比数列的 ? , , 2 4 8 16

(4)a1=27,a9=1/243,q<0,求前 n 项的和 (2)例题、在等比数列 ?an ? 中, (1)已知 a1 ? 3, q ? ?2, 求 a6 和 (2)已知 a3 ? 20, a6 ? 160,求 an 和 S n 1) 例:求首项为 2,公比为 2 的等比数列的前 8 项和以及第 5 项的值。 2) 实际应用题。 例 2 某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销 售量增加 10%,那么从今起,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到 个位)?这样设置主要依据: 解:依据题意可得,从第 1 年起,每年的销售量组成一个等比数列 50001 ? 1.1n ? 30000 . 其中 a1 ? 5000 , q ? 1 ? 10% ? 1.1, Sn ? 30000 , 于是得到 1 ? 1.1

Sn

?

?

lg1.6 0.20 ? ? 5 答: lg1.1 0.041 约 5 年可以使总销售量量达到 30000 台例题处理后,设置一组形成性练习,作 为对本节课的实时检测。练习基本上是直接运用公式求和,两个练习是按由易 到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的,有利于提高学生的积极性。 学生练习时,教师巡查,观察学情,及时从中获取反馈信息。对学生练习中出 现的独到解法提出表扬和鼓励,对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成 性练习,培养学生的应变和举一反三的能力,逐步形成技能。 (3)一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一出生就 在每年生日,到银行储蓄 a 元,一年定期,若年利润率为 r,保持不变,且每年到 期时,存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子 18 岁上大学时,将所有存 款(含利息)全部取回,则取回总钱数为多少? a 解: a(1 ? r )18 ? a(1 ? r )17 ? ? ? a(1 ? r ) ? [(1 ? r )19 ? (1 ? r )] r 5.课堂小结 本节课的小结从以下几个方面进行: (1) 等比数列的前 n 项和公式 (2) 公式的推导方法——错位相减法 (3) 求和思路——构造常数列或部分常数列。 通过师生的共同小结,发挥学生的主体作用,有利于学生巩固所学知识, 也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。 作业布置:练习题 1、2 题 设 a 为常数,求数列 a,2a2,3a3,?,na n,? 的前 n 项和

化简得 1.1n ? 1.6. 两边取常用对数, 得 nlg1.1=lg1.6, 得n ?

等比数列 一、 等比数列 二、 例题讲解 前 n 项和公式的推导 作业


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