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第6章 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


考纲要求 1.会从实际情境中抽象出二 元一次不等式组.

考情分析 1.从考查内容看,以考查线性 目标函数的最值为重点,兼顾

2.了解二元一次不等式的几
何意义,能用平面区域表示 二元一次不等式组.

考查代数式的几何意义(如斜
率、距离等),同时也考查用线 性规划知识解决实际问题.

3.会从实际情境中抽象出一
些简单的二元线性规划问 题,并能加以解决.

2.从考查题型看,多以选择
题、填空题的形式出现,难度 不大,属中低档题.

一、二元一次不等式(组)表示的平面区域 1.二元一次不等式表示平面区域: 一般地,二元一次不等

式 Ax + By + C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax + By + C=0 某
一侧的所有点组成的 区域 .我们把直线画成虚线以表示区域 不包括 边界.当我们在坐标系中画不等式 Ax + By + C≥0 所表 示的平面区域时,此区域应 包括 边界,则把边界画成 实线 .

2.判定方法:对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把 它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都 相同 , 因 此 只

需在此直线的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+
By0+C的 正负 即可判断Ax+By+C>0表示的是直线哪一侧的平 面区域.当C≠0时,常取 原点 作为测试点. 3.不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集 的 交集 ,因而是各个不等式所表示平面区域的 公共部分 .

二、线性规划的有关概念
意义 不等式(方程)组 约束条件 由变量x,y组成的____________________ 由x,y的 一次 不等式(或方程)组成的不等式( 线性约束条件 或方程)组 目标函数 关于x,y的函数 解析式 ,如z=3x+8y等 线性目标函数 关于x,y的 一次 解析式 解(x,y) 满足线性约束条件的___________ 集合 可行域 所有可行解组成的_______ 最优解 使目标函数取得 最大值或 最小值 的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 线性规划问题 最小值 问题 可行解 名称

可行解和最优解有什么联系和区别? 提示:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.

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1 .下列各点中,不在 x + y - 1≤0 表示的平面区域内的是
( ) A.(0,0) C.(-1,3) B.(-1,1) D.(2,-3)

解析: 将点的坐标代入不等式验证,点 ( - 1,3) 的坐标不满

足.
答案:C

2.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域

(用阴影部分表示)应是(

)

解析:(x-2y+1)(x+y-3)≤0?
? ?x-2y+1≥0, ? ? ?x+y-3≤0 ? ?x-2y+1≤0, 或? ? ?x+y-3≥0.

结合图形可知选 C.

答案:C

?x-y+2≥0, ? 3.(理)设变量 x,y 满足约束条件?x-5y+10≤0, ?x+y-8≤0, ? 标函数 z=3x-4y 的最大值和最小值分别为( A.3,-11 C.11,-3 B.-3,-11 D.11,3 )

则目

解析:作出可行域如图.
? ?x-y+2=0, 由? ? ?x+y-8=0,

解得 M(3,5).

? ?x-5y+10=0, 由? ? ?x+y-8=0,

解得 N(5,3),

3 1 由 z=3x-4y 即 y= x- z, 4 4 3 作出直线 y=4x,平移得最优解 M(3,5),N(5,3). 所以当 x=3,y=5 时,zmin=-11; 当 x=5,y=3 时,zmax=3.

答案:A

?x+y≤1, ? 3.(文)设变量 x,y 满足?x-y≤1, ?x≥0, ? 最小值分别为( A.1,-1 C.1,-2 ) B.2,-2 D.2,-1

则 x+2y 的最大值和

?x+y≤1, ? 解析:由线性约束条件?x-y≤1, ?x≥0 ? 部分所示.

画出可行域如图阴影

1 z 设 z=x+2y,则 y=- x+ , 2 2 1 设 l0:y=-2x,平移 l0, 可知过 A 点时 zmax=0+2×1=2, 过 B 点时 zmin=0+2×(-1)=-2.

答案:B

?x-y+5≥0 ? 4.若不等式组?y≥a ?0≤x≤2 ? 形,则 a 的取值范围是________.

表示的平面区域是一个三角

解析:先画出x-y+5≥0和0≤x≤2表 示的区域,再确定y≥a表示的区域. 由图知:5≤a<7. 答案:[5,7)

?0≤x≤2, ? 5.若 x,y 满足?0≤y≤2, ?x-y≥1, ?

则(x-1)2+(y-1)2 的取值范

围是________. 解析:可行域如图:(x-1)2+(y-
1)2 表示点 (1,1) 到可行域内点的距离的 平方,根据图象可得(x-1)2+(y-1)2 的
?1 ? 取值范围是?2,2?. ? ?

?1 ? 答案:?2,2? ? ?

二元一次不等式(组)表示的平面区域 【考向探寻】 1.用平面区域表示二元一次不等式(组). 2.二元一次不等式组表示的平面区域的面积.

【典例剖析】 ?x≥0 ? (1)(理)若不等式组?x+3y≥4 ?3x+y≤4 ?

所表示的平面区域被

4 直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分,则 k 的值是 3 7 A.3 3 B.7 4 C.3 3 D.4

?x+y-1≥0, ? (1)(文)在平面直角坐标系中,若不等式组?x-1≤0, ?ax-y+1≥0 ? (a 为常数)所表示的平面区域内的面积等于 2,则 a 的值为 A.-5 C.2 B.1 D.3

?x≥0 ? (2)(2013· 石家庄模拟)若不等式组?y≥2x ?kx-y+1≥0 ? 面区域是一个直角三角形,则该直角三角形的面积为 1 A. 5 1 C.2 1 B. 4 1 1 D.5或4

表示的平

题号

分析
? 4? ? (理)画出不等式组表示的平面区域, 画出过定点 0,3?的直线 ? ?

(1)

(2)

4 y=kx+ ,由面积相等求出该直线与平面区域的交点,然后 3 求 k. ? ?x+y-1≥0 (文)画出不等式组? 表示的区域,画出过定点 ? x - 1 ≤ 0 ? (0,1)的直线 ax-y+1=0,结合图形确定 a 的值使不等式组 表示的平面区域面积为 2. 分两种情况解决,即直角可能是 kx-y+1=0 与 x=0 或 kx -y+1=0 与 y=2x 成的角两种情况求解.

解析:(1)(理)由图可知,线性规划区域为△ABC 边界及内
? 4? 4 4 ? ? 部 y=kx+ 恰过 A 0,3 ,y=kx+ 将区域平均分成面积相等两 3 3 ? ?

部分,故过 AB 的中点 7 ∴k= . 3

?1 5? 5 1 4 D?2,2?,2=k× 2+3, ? ?

答案:A

(文)如图所示,即为满足 x-1≤0 与 x+y-1≥0 的可行域, 而 ax-y+1=0 的直线恒过(0,1), 故看做直线绕点(0,1)旋转. 当 a=-5 时,可行域不是一个封闭区域;当 a=1 时,面积是 1; 3 当 a=2 时,面积是2;当 a=3 时,面积恰好为 2.

答案:D

(2)由题意该直角三角形有两种情形,如图:

1 ①直角由直线 y=2x 与 kx-y+1=0 组成,则 k=-2,
? ?x=0 解方程组? ? ?y=2x ? ?x+2y-2=0 ? ? ?y=2x ? ?x+2y-2=0 、? ? ?x=0





得该直角三角形的三个顶点分别为 O(0,0),A(0,1),
? 2 4? 1 C?5,5?,∴S△OAC= ; 5 ? ?

②直角由直线 x=0 与 kx-y+1=0 组成,则 k=0,
? ?x=0 解方程组? ? ?y=2x ? ?y=1 、? ? ?x=0 ? ?y=1 、? ? ?y=2x


?1 ? O(0,0), A(0,1), B?2,1?, ? ?

得该直角三角形的三个顶点分别为 1 ∴S△OAB=4. 综上可知 D 正确.
答案:D

二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方


直线定界,测试点定域. 注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线, 有等号时直线画成实线.测试点可以选一个,也可以选多个, 若直线不过原点,测试点常选取原点 .

【活学活用】

1.(1)已知点A(-3,-1)与点B(4,-6)在直线3x-2y-a=
0的两侧,则a的取值范围是( A.(-24,7) ) B.(-7,24)

C.(-∞,-24)∪(7,+∞) D.(-∞,-7)∪(24,+∞) 解析:由(-9+2-a)·(12+12-a)<0得-7<a<24,故所求a

的范围是(-7,24).
答案:B

?x≤0 ? (2)若 S 为不等式组?y≥0 ?y-x≤2 ?

表示的平面区域,则当 a 从

-2 连续变化到 1 时, 动直线 x+y=a 扫过 S 中的那部分区域的 面积为__________.

解析:如图所示,直线 x+y=a 扫过 S 中的区域为四边形 AOBC. ∴S 四边形 AOBC=S△AOD-S△CBD 1 1 1 7 =2×2×2-2×1×2=4.

7 答案:4

求目标函数的最值 【考向探寻】 1.用图解法求线性目标函数的最值; 2.用图解法求非线性目标函数的最值; 3.根据所给条件求参数的值(或范围).

【典例剖析】 (1)(2012· 山东高考 ) 设变量 x , y 满足约束条件 ?x+2y≥2, ? ?2x+y≤4, ?4x-y≥-1, ?
? 3 ? A.?-2,6? ? ?

则目标函数 z=3x-y 的取值范围是
? 3 ? B.?-2,-1? ? ? ? 3? D.?-6,2? ? ?

C.[-1,6]

?y≥0, ? (2)实数 x、y 满足不等式组?x-y≥0, ?2x-y-2≥0, ? 取值范围是
? 1? A.?-1,3? ? ? ? 1 ? C.?-2,+∞? ? ? ? 1 1? B.?-2,3? ? ? ? 1 ? D.?-2,1? ? ?

y-1 则 ω= 的 x+1

(3)( 理 )(2013· 台州模拟)若实数 x,y 满足不等式组 ?x+3y-3≥0, ? ?2x-y-3≤0, ?x-my+1≥0, ? A.-2 C.1

且 x+y 的最大值为 9,则实数 m= B.-1 D.2

?x-y+5≥0, ? (3)(文)(2013· 阜新模拟)已知 x、 y、 k 满足?x≤3, ?x+y+k≥0, ? z=2x+4y 的最小值为-6,则常数 k 等于 A.2 C.3 10 B.9 D.0



平移 (1) 作出可行域 → 作出直线3x-y=0 ――→ 找到最优解 → 求得最值 → 范围 ; y-1 (2) 作出可行域 → 结合 的几何意义求最值 → 范围 ; x+1 作出可 结合目标函数 将最优解代 (3) → → → 参数值 . 行域 找到最优解 入目标函数

解析: (1) 作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所

示,作直线3x-y=0,并向上、下平移,

由图可得,当直线过点 A 时,z=3x-y 取最大值;当直线 过点 B 时,z=3x-y
? ?x+2y-2=0, 取最小值.由? ? ?2x+y-4=0

解得

? ?4x-y+1=0, A(2,0);由? ? ?2x+y-4=0

解得

?1 ? B?2,3?. ? ?

1 3 ∴zmax=3×2-0=6,zmin=3×2-3=-2. ∴z=3x-y
答案:A
? 3 ? 的取值范围是?-2,6?. ? ?

y-1 (2)点(x,y)在图中阴影部分,ω= ,即动点(x,y)与定 x+1 点 A(-1,1)连线的斜率,l1 的斜率 k1=kAB,
? ?y=0, 由? ? ?2x-y-2=0

1 得 B 点的坐标(1,0),k1=-2,l2 与 x-y

=0

? 1 ? 平行,ω∈?-2,1?. ? ?

答案:D

? ?x+3y-3≥0, (3)(理)画出? ? ?2x-y-3≤0

表示的平面区域如图,又 x-

my+1=0,

恒过(-1,0)点,当 m<0 时,x+y 无最大值,故选项 A、B 错误,因此 m>0.又满足条件的可行域必须是一个三角形,联立
? ?2x-y-3=0, ? ? ?x-my+1=0,

解得

?3m+1 5 ? ? ? , A? ?, 2 m - 1 2 m - 1 ? ?

3m+1 5 ∴ + =9,解得 m=1. 2m-1 2m-1

答案:C

(3)(文)如图所示,当直线z=2x+4y经过两直线x=3和x+y+

k=0的交点时,z有最小值-6,所以-6= 2×3+4y,y=-3,
代入x+y+k=0,得k=0.

答案:D

(1) 求目标函数的最大值或最小值,必须先求出准确的可行 域,令目标函数等于0,将其对应的直线平行移动,最先通过或 最后通过的顶点便是最优解.

(2)z 的几何意义:线性目标函数 z=ax+by 与 y 轴交点为
? z? z ?0, ?,z=b·=b×(线性目标函数在 b? b ?

y 轴上的截距).故对 b 的

符号一定要注意:当 b>0 时,当直线过可行域且在 y 轴上的截 距最大时,z 值最大,在 y 轴上的截距最小时,z 值最小;当 b<0 时,当直线过可行域且在 y 轴截距最大时,z 值最小,在 y 轴上 的截距最小时,z 值最大. (3)如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标 函数取得最大或最小值,最优解一般就是多边形的某个顶点.

解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的,所以作图应
尽可能精确,另外明确目标函数z的几何意义是什么,是解答该 类问题的关键.

【活学活用】 2.(1)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ?0≤x≤ 2y, ? ?y≤2, ?x≤ 2, ?

给定,若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标

→ → 为( 2,1),则 z=OM · OA的最大值为( A.3 C.3 2 B.4 D.4 2

)

→· → = 2x+y,∴y 解析:画出区域 D 如图所示,而 z=OM OA =- 2x+z,令 l0:y=- 2x,平移直线 l0,相应直线过点( 2, 2)时,截距 z 有最大值,故 zmax= 2× 2+2=4.

答案:B

?x-y+2≥0, ? (2)已知实数 x,y 满足线性约束条件?x+y-4≥0, ?2x-y-5≤0, ?

目标

函数 z=y-ax(a∈R),若 z 取最大值时的唯一最优解是(1,3), 则 实数 a 的取值范围是( A.(0,1) C.(1,+∞) ) B.(-1,0) D.(-∞,-1)

解析:约束条件对应的平面区域如下图(阴影部分),而直线 x +y -4=0与 x -y +2=0交于点A(1,3) ,而此时目标函数 z =y - ax取最大值,故a>1.

答案:C

简单线性规划的综合问题 【考向探寻】 线性规划与其他数学知识的结合.

【典例剖析】 (1)(理)(2012· 福建高考)若函数 y=2x 图象上存在点 ?x+y-3≤0, ? (x,y)满足约束条件?x-2y-3≤0, ?x≥m, ? 1 A.2 3 C.2 B.1 D.2

则实数 m 的最大值为

(1)(文)(2012· 福建高考)若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约 ?x+y-3≤0, ? 束条件?x-2y-3≤0, ?x≥m, ? A.-1 3 C .2 则实数 m 的最大值为 B.1 D.2

?2x-y+2≥0, ? (2)设 x,y 满足约束条件?8x-y-4≤0, ?x≥0,y≥0, ?

若目标函数 z=

abx+y(a>0,b>0)的最大值为 8,则 a+b 的最小值为________.

(1)画出可行域及函数图象,结合图形确定m的取值.

(2) 画出可行域,结合图形确定最优解,找出a, b的关系,
根据基本不等式求最值.

解析:(1)(理)在同一直角坐标系中 作 出 函 数
? ?x+y-3≤0, ? ? ?x-2y-3≤0

y = 2x 的 图 象 及 所表示的平面区域,如

图阴影部分所示.由图可知,当 m≤1 时,函数 y=2x 的图象上存在点(x,y) 满足约束条件,故 m 的最大值为 1.

答案:B

?x+y-3≤0, ? (1)(文 )作出约束条件 ?x-2y-3≤0, ?x≥m ?

对应的可行域及直

线 y=2x,如图,易知,直线 x=m 过点 A(1,2)时符合题意,即 此时 x=m=1 为 m 的最大值.

答案:B

(2)作出不等式组表示的平面区域(如图所示).

∵abx+y 的最大值为 8(a>0,b>0), ∴目标函数等值线 l:y=-abx+z 取最大值时的最优解为
? ?2x-y+2=0, ? ? ?8x-y-4=0,

解得 A(1,4),

∴8=ab+4,ab=4. 又∵a+b≥2 ab,当 a=b=2 时取等号, ∴a+b≥4.
答案:4

线性规划与函数、不等式的结合体现了在知识交汇点处命

题的思想,解决此类问题的关键是利用线性规划知识得到最优
解,然后根据条件转化为函数、不等式知识来解决.

【活学活用】 ?2x-y≤0, ? 3.(1)已知变量 x,y 满足?x-2y+3≥0, ?x≥0, ? +5)的最大值为( A.8 C .3 ) B.4 D.2

则 z=log2(x+y

解析:作出可行域如图,当直线z′=x+y+5过点A(1,2)时,

z取最大值log28=3.

答案:C

?x+2y-19≥0 ? (2) 设二元一次不等式组 ?x-y+8≥0 ?2x+y-14≤0 ?

所表示的平面区

域为 M,使函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值 范围是( ) B.[2, 10] D.[ 10,9]

A.[1,3] C.[2,9]

解析:画出可行域如图.
? ?x-y+8=0, 由? ? ?x+2y-19=0,

得交点 A(1,9),
? ?2x+y-14=0, 由? ? ?x+2y-19=0,

得交点B(3,8),
当y=ax的图象过点A(1,9)时,a=9, 当y=ax的图象过点B(3,8)时,a=2, ∴2≤a≤9. 答案:C

利用线性规划解实际问题的答题规范

(12分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已
知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质 和 6 个单位的维生素 C ;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合 物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两 餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物, 42 个单位的蛋

白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么 要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预 订多少个单位的午餐和晚餐?

整理数据如下表:
餐别

消耗量
营养 碳水化合物 蛋白质 维生素C 共用(元)

午餐
12 6 6 2.5

晚餐
8 6 10 4

营养限额
64 42 54

设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和y个单位,所花的费用为z元.…………………………………………1分 由题意知z=2.5x+4y,且x,y满足

? ?x≥0,y≥0, ?12x+8y≥64, ? ?6x+6y≥42, ? ?6x+10y≥54.

让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移, 由此可知 z=2.5x+4y 在 B(4,3)处取得最小值.
? ?3x+5y=27, 由? ? ?x+y=7, ? ?x=4, 得? ? ?y=3.

所以最优解为 x=4, y=3.………………………………11 分 因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚 餐,就可满足要求.…………………………………………12 分

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