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2015届高考数学热点题型训练:第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切含解析


第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考点一

三角函数的化简求值 )

[例 1] (1)(2013·重庆高考)4cos 50°-tan 40°=( 2+ 3 A. 2 B. 2 C. 3 (2)化简: D.2 2-1 +sin θ +cos θ

?sinθ -cosθ ? ? 2 2? ? ?

2+2cos θ

(0<θ <π ).

sin 40° [自主解答] (1)4cos 50°-tan 40°=4sin 40°- cos 40° 4cos 40°sin 40°-sin 40° = cos 40° 2sin 80°-sin 40° = cos 40° - -sin 40° = cos 40° = = 3cos 40°+sin 40°-sin 40° cos 40°

3cos 40° = 3. cos 40° ?2sinθ cosθ +2cos2θ ??sinθ -cosθ ? ? ? 2 2 2? 2 2? ? ?? ? (2)原式= 2θ 4cos 2 θ ? 2θ 2θ ? cos ?sin -cos ? 2 2? 2? = θ ?cos ? ? ? 2? ? θ -cos ·cos θ 2 = . ?cosθ ? ? 2? ? ? θ π 因为 0<θ <π ,所以 0< < , 2 2 θ 所以 cos >0,故原式=-cos θ . 2 [答案] (1)C 【方法规律】 1.三角函数式化简的原则 三角函数式的化简要遵循“三看”原则,即一看角,二看名,三看式子结构与特征.
1

2.解决给角求值问题的基本思路 对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有: (1)化为特殊角的三角函数值; (2)化为正、负相消的项,消去求值; (3)化分子、分母出现公约数进行约分求值.

化简: (1)sin 50°(1+ 3tan 10°); 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 (2) . π ? ? 2? π ? 2tan? -x?sin ?x+ ? 4? ?4 ? ? 解:(1)sin 50°(1+ 3tan 10°)=sin 50°(1+tan 60°tan 10°) cos 60°cos 10°+sin 60°sin 10° =sin 50°· cos 60°cos 10° cos 60°-10° =sin 50°· cos 60°cos 10° 2sin 50°cos 50° = cos 10° sin 100° cos 10° = = =1. cos 10° cos 10° 1 2 2 2cos x cos x-1 + 2 (2)原式= ?π ? ? 2?π 2tan? -x?·cos ? -x? 4 4 ? ? ? ? 2 2 2 -4cos xsin x+1 1-sin 2x = = ?π ? ?π ? ?π ? 4cos? -x?sin? -x? 2sin? -2x? ?4 ? ?4 ? ?2 ? 2 cos 2x 1 = = cos 2x. 2cos 2x 2 考点二 三角函数的条件求值 10 , 则 tan 2α =( 2

[例 2] (1)(2013·浙江高考)已知 α ∈R, sin α +2cos α = A. 4 3 3 B. 4 4 D.- 3

)

3 C.- 4

? π? (2)(2013·广东高考)已知函数 f(x)= 2cos?x- ?,x∈R. ? 12? ? π? ①求 f?- ?的值; ? 6? π? 3 ?3π ? ? ②若 cos θ = ,θ ∈? ,2π ?,求 f?2θ + ?. 3? 5 ? 2 ? ? 2 2 [自主解答] (1)法一:(直接法)两边平方,再同时除以 cos α ,得 3tan α -8tan α 1 2tan α 3 -3=0,tan α =3 或 tan α =- ,代入 tan 2α = ,得 tan 2α =- . 2 3 1-tan α 4
2

法二: (猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记 sin α = 时 sin α +2cos α =

3

1 ,cos α = ,这 10 10

10 符合要求,此时 tan α =3,代入二倍角公式得到答案 C. 2 ? π? ? π π? ? π? (2)①f?- ?= 2cos?- - ?= 2cos?- ?= ? 6? ? 6 12? ? 4? π 2cos =1. 4 π? π π? π? ? ? ? ②f?2θ + ?= 2 cos?2θ + - ?= 2cos?2θ + ?=cos 2θ -sin 2θ . 3? 3 12? 4? ? ? ? 3 π 3 4 ? ? 因为 cos θ = ,θ ∈? ,2π ?,所以 sin θ =- . 5 5 ? 2 ? 24 7 2 2 所以 sin 2θ =2sin θ cos θ =- ,cos 2θ =cos θ -sin θ =- . 25 25 π? 7 ? 24? 17 ? 所以 f?2θ + ?=cos 2θ -sin 2θ =- -?- ?= . 3? 25 ? 25? 25 ? [答案] (1)C 【互动探究】 π? ? 保持本例(2)②条件不变,求 f?θ - ?的值. 6? ? 3 ?3π ? 解:因为 θ ∈? ,2π ?,cos θ = , 5 ? 2 ? 所以 sin θ =- 1-cos θ =-
2

4 ?3?2 1-? ? =- . 5 ?5?

π? π π? π? ? ? ? 所以 f?θ - ?= 2cos?θ - - ?= 2cos?θ - ? 6? 6 12? 4? ? ? ? = 2×? 2 ? 2 ? cos θ + sin θ ? 2 2 ? ?

3 4 1 =cos θ +sin θ = - =- . 5 5 5 【方法规律】 三角函数求值的两种类型 (1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角 函数. (2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用; ②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.

π? 1 ? 1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角,若 tan?θ + ?= ,则 sin θ +cos 4? 2 ? θ =________. π? 1 π? 5 ? ? 解析:法一:由 θ 在第二象限,且 tan?θ + ?= ,因而 sin?θ + ?=- ,因而 4? 2 4? 5 ? ? π? 10 ? sin θ +cos θ = 2 sin?θ + ?=- . 4? 5 ? π? 1 tan θ +1 1 ? 法二:如果将 tan?θ + ?= 利用两角和的正切公式展开,则 = ,求得 tan 4? 2 1-tan θ 2 ?
3

1 1 3 θ =- .又因为 θ 在第二象限,则 sin θ = ,cos θ =- ,从而 sin θ +cos θ 3 10 10 =- 2 10 =- 10 . 5 10 5

答案:-

β ? π 1 ? ?α ? 2 2.已知 0<β < <α <π ,且 cos?α - ?=- ,sin? -β ?= ,求 cos(α +β ) 2? 2 9 ? ?2 ? 3 的值. π 解:∵0<β < <α <π , 2 π α π π β ∴- < -β < , <α - <π , 4 2 2 4 2

?α ? ∴cos? -β ?= ?2 ?

1-sin ?
2

? α -β ? = 5 , ? 3 ?2 ?

β ? β ? 4 5 ? 2? sin?α - ?= 1-cos ?α - ?= , 2 2? 9 ? ? ? β ? ?α α +β ?? ?? ∴cos =cos??α - ?-? -β ?? 2? ?2 2 ?? ?? β α β ? ? ? ? ? ? ?α ? =cos?α - ?cos? -β ?+sin?α - ?sin? -β ? 2? ?2 2? ?2 ? ? ? ? 5 4 5 2 ? 1? =?- ?× + × 9 3 ? 9? 3 = 7 5 , 27
2

α +β -1 2 49×5 239 =2× -1=- . 729 729 ∴cos(α +β )=2cos 高频考点 考点三 三角变换的综合应用

1.三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据.高考常与三角函数的其他 知识相结合命题,题目难度适中,为中档题. 2.高考对三角恒等变换综合问题的考查常有以下几个命题角度: (1)与三角函数的图象和性质相结合命题; (2)与向量相结合命题; (3)与解三角形相结合命题(见本章第六节). π? ? [ 例 3] (1)(2013·天津高考 ) 已知函数 f(x) =- 2sin ?2x+ ? + 6sin xcos x - 4? ? 2 2cos x+1,x∈R. ①求 f(x)的最小正周期; ? π? ②求 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值. 2? ? ? π? (2)(2013·辽宁高考)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈?0, ?. 2? ? ①若|a|=|b|,求 x 的值;
4

②设函数 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值. π π [自主解答] (1)①f(x)=- 2sin 2x·cos - 2cos 2x·sin +3sin 2x-cos 2x 4 4 π? ? =2sin 2x-2cos 2x=2 2sin?2x- ?. 4? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π . 2

? 3π ? ?3π ②因为 f(x)在区间?0, ?上是增函数,在区间? 8 ? ? ? 8
=-2,f?



π? ?上是减函数,又 f(0) 2?

?3π ?=2 2,f?π ?=2,故函数 f(x)在?0,π ?上的最大值为 2 2,最小值为-2. ? ?2? ? 2? ? 8 ? ? ? ? ?
2 2 2 2

(2)①由|a| =( 3sin x) +sin x=4sin x, 2 2 2 2 |b| =cos x+sin x=1,及|a|=|b|,得 4sin x=1. 1 ? π? 又 x∈?0, ?,从而 sin x= , 2? 2 ? π 所以 x= . 6 ②f(x)=a·b= 3sin xcos x+sin x=
2

π? 1 3 1 1 ? sin 2x- cos 2x+ =sin?2x- ?+ , 6? 2 2 2 2 ?

π? π ? π? ? 当 x= ∈?0, ?时,sin?2x- ?取最大值 1. 2? 6? 3 ? ? 3 所以 f(x)的最大值为 . 2 三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函 数解析式整理为 f(x)=Asin(ω x+φ )的形式,然后借助三角函数图象解决. (2)与向量相结合的综合问题. 此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题, 然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决. 1.已知平面向量 a=(sin x,cos x),b=(sin x,-cos x),R 是实数集,f(x)=a·b 2 +4cos x+2 3sin xcos x,如果存在 m∈R,任意的 x∈R,f(x)≥f(m),那么 f(m)=( ) A.2+2 3 B.3 C.0 D.2-2 3 4 4 2 2 2 解析: 选 C 依题意得 f(x)=sin x-cos x+4cos x+ 3sin 2x=sin x+3cos x+ 3sin π? ? 2x=cos 2x+ 3sin 2x+2=2sin?2x+ ?+2,因此函数 f(x)的最小值是-2+2=0,即有 6? ? f(m)=0. π? π 2? 2 2.已知 x0,x0+ 是函数 f(x)=cos ?ω x- ?-sin ω x(ω >0)的两个相邻的零点. 6? 2 ? ?π ? (1)求 f? ?的值; ?12? ? 7π ? (2)若对? x∈?- ,0?,都有|f(x)-m|≤1,求实数 m 的取值范围. ? 12 ? π? ? 1+cos?2ω x- ? 3 ? 1-cos 2ω x ? 解:(1)f(x)= - 2 2
2 2 2 2

5

π? 1? ? ? = ?cos?2ω x- ?+cos 2ω x? 3? 2? ? ? 1??1 3 ? ? = ?? cos 2ω x+ sin 2ω x?+cos 2ω x? 2??2 2 ? ? 1? 3 3 ? = ? sin 2ω x+ cos 2ω x? 2? 2 2 ? 3?1 3 ? ? sin 2ω x+ cos 2ω x? 2 ?2 2 ? π? 3 ? = sin?2ω x+ ?. 3? 2 ? = 2π 由题意可知,f(x)的最小正周期 T=π ,∴ =π , |2ω | π? 3 ? 又∵ω >0,∴ω =1,∴f(x)= sin?2x+ ?. 3? 2 ? 3 3 π 3 ?π ? ? π π? ∴f? ?= sin?2× + ?= sin = . 2 2 ?12? 2 ? 12 3 ? 2 (2)|f(x)-m|≤1,即 f(x)-1≤m≤f(x)+1, ? 7π ? ∵对? x∈?- ,0?,都有|f(x)-m|≤1, ? 12 ? ∴m≥f(x)max-1 且 m≤f(x)min+1, 7π 5π π π ∵- ≤x≤0,∴- ≤2x+ ≤ , 12 6 3 3 π? 3 ? ∴-1≤sin?2x+ ?≤ , 3 ? ? 2 ∴- π? 3 3 3 3 3 ? ≤ sin?2x+ ?≤ ,即 f(x)max= ,f(x)min=- , 3? 4 2 2 4 2 ?

1 3 ∴- ≤m≤1- . 4 2 3? ? 1 故实数 m 的取值范围为?- ,1- ?. 2? ? 4 ———————————[ 课 堂 归 纳 —— 通 悟]———————————————— 组关系——两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角 公式的关系





个技巧——拼角、凑角的技巧 (1)用已知角表示未知角 2α =(α +β )+(α -β );2β =(α +β )-(α -β ); α =(α +β )-β =(α -β )+β ; α +β α -β α +β α -β α = + ,β = - ; 2 2 2 2 β ? ?α α -β ? ? =?α + ?-? +β ?等. 2 2 2 ? ? ? ?
6

(2)互余与互补关系 ?π +α ?+?π -α ?=π ; ?4 ? ?4 ? 2 ? ? ? ? ?π +α ?+?π -α ?=π ; ?3 ? ?6 ? 2 ? ? ? ? ?3π -α ?+?π +α ?=π ; ? 4 ? ?4 ? ? ? ? ? π 5 π ? +α ?+? -α ?=π ; ? ?6 ? ? 6 ? ? ? ? ? 个变换——应用公式解决问题的三个变换角度 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名: 通过变换函数名称达到减少函数种类的目的, 其手法通常有“切化弦”、 “升 幂与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其 手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方 与平方”等.

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