当前位置:首页 >> 数学 >>

北京市昌平区2013届高三数学仿真模拟试卷3理新人教B版_图文

北京市昌平区 2013 届高三仿真模拟数学理科试卷 3
第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项.
(1)已知全集U ? R ,集合 A ? { x | 0 ? 2x ? 1}, B ? {x | log3 x ? 0} ,则 A I (?U B) =
(A){ x | x ? 1} (B){ x | x ? 0} (C){ x | 0 ? x ? 1} (D){ x | x ? 0}

(2)设 x, y ? R ,那么“ x ? y ? 0 ”是“ x ? 1”的 y

(A)必要不充分条件

(B)充分不必要条件

(C)充分必要条

(D)既不充分又不必要条件

(3)三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形,其正视

图(如图所示)的面积为 8,则侧视图的面积为

(A) 8

(B) 4

(C) 4 3

(D) 3

(4)已知随机变量 X 服从正态分布 N (a, 4) ,且 P( X ? 1) ? 0.5 ,则实数 a 的值为

11 正视图

(A)1

(B) 3

(C)2

(D)4

(5)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从

1,2,3,4,5,6 这六个数字中任取 3 个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有

(A)120 个

(B)80 个

(C)40 个

(D)20 个

(6)点 P 是抛物线 y2 ? 4x 上一动点,则点 P 到点 A(0, ?1) 的距离与到直线 x ? ?1的距离和

的最小值是

(A) 5

(B) 3

(C)2

(D) 2

(7)已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E , F 分别是棱 BB1 , DD1 上的动

点,且

BE

?

D1F

?

?

(0

?

?



1) 2

.设

EF



AB

所成的角为?

,与

BC

所成的角为

?



则? ? ? 的最小值

(A)不存在

(B)等于 60?

(C)等于 90? (D)等于 120?

(8)已知点 P 是 ?ABC 的中位线 EF 上任意一点,且 EF // BC ,实数 x , y 满足

PA ? xPB ? yPC ? 0 .设 ?ABC ,?PBC ,?PCA ,?PAB 的面积分别为 S ,S1 ,S2 ,

S3 ,

记 S1 S

?

?1



S2 S

?

?2



S3 S

? ?3 .则 ?2 ? ?3 取最大值时, 2x ? y 的值为

(A) 3 2

(B) 1 2

第二部分(非选择题 共 110 分)

(C) 1

(D)2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.

(9)已知复数 z 满足 iz ? 1? i ,则 z ?

.

(10)曲线

C



?x ? cos?

? ?

y

?

sin

?

?1, ?1



?

为参数)的普通方程为

.

(11)曲线 y ? 3 ? 3x2 与 x 轴所围成的图形面积为________.

(12)已知数列{an}满足 a1 ? 2 ,且 an?1an ? an?1 ? 2an ? 0, n ? N* ,则 a2 ?

;并归

纳出数列{an}的通项公式 an ?

.

(13)如图, PA 与圆 O 相切点 A , PCB 为圆 O 的割线,并且不过圆心 O ,

已知 ?BPA ? 30 , PA ? 2 3 , PC ? 1,则 PB ?

半径等于



;圆 O 的

O

B

(14)已知函数 f (x) ? ax2 ? (b ?1)x ? b ?1 ,且 a ? (0, 3) ,则对于任意 的 b ? R ,函数 F (x) ? f (x) ? x 总有两个不同的零点的概率是

C

P

A

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本小题满分 13 分)
已知函数 f (x) ? 2sin x ?sin( ? ? x) ? 2sin2 x ?1 (x ? R) . 2
(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期及函数 f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ? 2

2 3



x0

? (?

π 4

,

π 4

)

,求

cos

2

x0

的值.

(16)(本小题满分 13 分)

为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行

两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合

格的概率为 1 ,第二轮检测不合格的概率为 1 ,两轮检测是否合格相互没有影响.

6

10

(Ⅰ)求该产品不能销售的概率;

(Ⅱ)如果产品可以销售,则每件产品可获利 40 元;如果产品不能销售,则每件产品亏损 80

元(即获利-80 元).已知一箱中有产品 4 件,记一箱产品获利 X 元,求 X 的分布列,并

求出均值 E(X).

(17)(本小题满分 13 分)

在长方形 AA1B1B 中, AB ? 2 AA1 ? 4 ,C ,C1 分别是 AB , A1B1 的中点(如图 1). 将

此长方形沿 CC1 对折,使二面角 A1 ? CC1 ? B 为直二面角, D , E 分别是 A1B1 ,CC1 的中点

(如图 2).
(Ⅰ)求证: C1D ∥平面 A1BE ;

(Ⅱ)求证:平面 A1BE ? 平面 AA1B1B ;

(Ⅲ)求直线 BC1 与平面 A1BE 所成角的正弦值.

C1

B1

A1

C1

B1

2A D

2A

A1

EA

A

B

C

A

A

C

B

A

A 图(1)

A

A

图(2)

(18)(本小题满分 13 分)
设函数 f (x) ? ln x ? (x ? a)2 , a ? R .

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f (x) 在[1, e] 上的最小值;

(Ⅱ)若函数 f (x) 在[1 , 2] 上存在单调递增区间,试求实数 a 的取值范围; 2
(Ⅲ)求函数 f (x) 的极值点.

(19)(本小题满分 14 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

?b

?

0) 经过点

A(2,

1) ,离心率为

2 .过点 B(3, 2

0) 的直

线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 BM ? BN 的取值范围;

(Ⅲ)设直线 AM 和直线 AN 的斜率分别为 kAM 和 kAN ,求证: kAM ? kAN 为定值.
(20)(本小题满分 14 分)
对于正整数 a, b ,存在唯一一对整数 q 和 r ,使得 a ? bq ? r , 0 ≤ r ? b . 特别地,当

r ? 0 时,称 b 能整除 a ,记作 b | a ,已知 A ? {1, 2, 3,???, 23}.

(Ⅰ)存在 q ? A ,使得 2011 ? 91q ? r (0 ≤ r ? 91) ,试求 q, r 的值; ( Ⅱ ) 求 证 : 不 存 在 这 样 的 函 数 f : A ? {1, 2, 3} , 使 得 对 任 意 的 整 数 x1, x2 ? A , 若
| x1 ? x2 |?{1, 2,3},则 f (x1) ? f (x2 ) ; (Ⅲ)若 B ? A , card (B) ? 12 ( card (B) 指集合 B 中的元素的个数),且存在 a,b ? B ,
b ? a ,b | a ,则称 B 为“和谐集”. 求最大的 m ? A ,使含 m 的集合 A 的有 12 个元素
的任意子集为“和谐集”,并说明理由. 参考答案
1. D【解析】分别把两个集合表示为 A ? ?x x ? 0?, B ? ?x x ? 1? ,所以 CU B ? ?x x ? 1? , A ?CU B? ? ?x x ? 0?.

2. B【解析】 当 x ? y ? 0 时 x ? 1成立,若 x ? 1,则出现 x ? y ? 0 和 x ? y ? 0 两种情形.

y

y

3. C【解析】侧视图应为矩形,高为 4 ,宽为 3 ? 2 ? 3, 因此侧视图的面积为 4 3. 2
4. A 【解析】由 P( X ? 1) ? 0.5 可知 ? ? a ? 1.

5. C【解析】分四种情形处理,当中间数依次分别为 3, 4, 5, 6 时,相应“伞数”的个数分别

为 A22 , A32 , A42 , A52 , 所以 A22 ? A32 ? A42 ? A52 ? 40. 6. D 【解析】点 P 到点 A(0, ?1) 的距离与到直线 x ? ?1的距离和转化为点 P 到点 A(0, ?1) 的

距离与点 P 到焦点 F ?1, 0? 的距离和,显然最小值为 AF ? 2.

7. C【解析】在 AA1 上取一点 M ,使 EM∥AB ,连结 MF ,则 ?MEF ? ? ,同理可判断? ? ? .

在 ?MFE 中, ME ? 1, EF ? 2 ? ?1? 2? ?2 , MF ? 1? ?1? 2? ?2 ,

所以 cos? ?

1

?

2 ? ?1? 2? ?2

2 2

,所以 ? min

?

45?, 因此 ??

?

?

? min

?

90?.

【易错点拨】在判断 EF 与 AB 所成的角? 、 BC 所成的角 ? 时不能从图形直接判断为相等

是本题解答的一个障碍,由三角函数值确定角也是较为容易出错的地方。此外若采用空间坐

标运算还可能出现坐标的确定有误.

8.

A【解析】 ?1 ? ?2

? ?3

? 1, ?1

?

1 2

,

?2

? ?3

?

1, 2

?2?3

?

? ??

?2

? 2

?3

?2 ??

?

1 16

, ?2

?

?3

?

1 4

时取等号,此时点

P



EF

的中点,

? ? 所以 PA ? ? 1 PB ? PC ,因此 x ? 1 , y ? 1 , 2x ? y ? 3 .

2

22

2

9. ?1? i.【解析】把 iz ? 1? i 两边同乘以 ?i ,则 z ? ?1? i? ???i? ? ?1? i.

10. ? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 1. 【解析】 x ?1 ? cos? , y ?1 ? sin? ,则 ? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 1.

11. 4. 【 解 析 】 先 求 曲 线 y ? 3 ? 3x2 与 x 轴 的 交 点 分 别 为 ??1, 0?,?1, 0?, 所 以

? ? ? S ?

1

3 ? 3x2 dx ? 3x ? x3

1 ? 4.

?1

?1

【易错点拨】积分的上下限的确定是解题的关键,被积函数的“还原”是难点.

12.

4 3

,

2n 2n ?

1

【解析】由

a1

?

2 , an?1an

? an?1

? 2an

?

0 得 a2

?

4 3



an?1an ? an?1 ? 2an ? 0

可变形为

2

? ?

?

1 an?1

? ?1?
?

?

1 an

?

1

,则

? ? ?

1 an

?

? 1?

为等比数列,首项为

?

?

1 2



公比为

1 2

,所以

1 an

?1 ?

? ??

?

1 2

??? ?

? ??

1 2

?n?1 ??

, an

?

2n 2n ?1.

?2

?2
3

13. 12, 7 .【解析】由 PA2 ? PC ? PB 得 PB ?

? 12. 作直径 AD 交 PB 于 E ,则

1

AE ? ED ? CE ? EB .易求得 AE ? 2,CE ? 3, EB ? 8, 所以 DE ? 12, r ? DE ? EA ? 7. 2
14. 1 【解析】 F (x) ? ax2 ? (b ?1)x ? b ?1? x ? ax2 ? bx ? b ?1,因为该函数总有两个不 3
同的零点,

所以 ? ? b2 ? 4ab ? 4a ? ?b ? 2a?2 ? 4a ? 4a2 ? 0 恒成立只需要 4a ? 4a2 ? 0, 0 ? a ? 1.

所以 P ? 1 . 3
15. 【解析】
f (x) ? 2sin x ? cos x ? 2sin2 x ?1 ? sin 2x ? cos 2x ? 2 sin(2x ? π ) . 4

(Ⅰ)函数 f (x) 的最小正周期T ? 2π ? π . 2

令 2kπ ? π ≤ 2x ? π ≤ 2kπ ? π (k ? Z) ,

2

4

2

所以 2kπ ? 3π ≤ 2x ≤ 2kπ ? π .

4

4

即 kπ ? 3π ≤ x ≤ kπ ? π .

8

8

所以,函数 f (x) 的单调递增区间为[kπ ? 3π , kπ ? π ] (k ? Z) .

8

8

(Ⅱ)解法一:由已知得

f

(

x0 2

)

?

sin

x0

?

cos

x0

?

2 3,

两边平方,得1 ?

sin

2 x0

?

2 9

所以

sin

2 x0

?

?

7 9

因为

x0

?

(?

π 4

,

π 4

)

,所以

2

x0

?

(?

? 2

,

π). 2

所以 cos 2x0 ?

1? (? 7)2 ? 4 2 . 99

解法二:因为

x0

?

(?

π 4

,

π 4

)

,所以

x0

?

π 4

?

(0,

π) . 2

又因为 f ( x0 ) ? 2

2 sin(2 ? x0 ? π ) ? 24

2

sin( x0

?

π) 4

?

2 3,



sin( x0

?

π 4

)

?

1 3

.

所以

cos( x0

?

π 4

)

?

1? (1)2 ? 2 2 . 33

所以, cos 2x0

?

sin(2 x0

?

?) 2

?

sin[2( x0

?

π )] 4

?

2 sin( x0

?

π 4) cos(x0

?

π) 4

? 2?1?2 2 ? 4 2 . 33 9

16. 【解析】

(Ⅰ)记“该产品不能销售”为事件 A,则

P( A) ? 1? (1? 1) ? (1? 1 ) ? 1 .

6

10 4

所以,该产品不能销售的概率为 1 . 4

(Ⅱ)由已知,可知 X 的取值为 ?320, ?200, ?80, 40,160 .

P( X ? ?320) ? (1)4 ? 1 , 4 256

P( X

?

?200)

?

C41

?

(

1 4

)3

?

3 4

?

3 64



P( X

?

?80)

?

C42

? ( 1 )2 4

? ( 3 )2 4

?

27 128



P( X

?

40)

?

C43

?

1 ? (3)3 44

?

27 64



P( X ? 160) ? ( 3)4 ? 81 . 4 256

所以 X 的分布列为

X -32

-20

-80

40

160

0

0

1

27

81

P 256

3

27 128

256

64

64

E(X) ? ?320? 1 ? 200? 1 ? 80? 27 ? 40? 27 ?160? 81 ? 40

256

64

128

64

256

所以,均值 E(X)为 40.

17. 【解析】

解法一:

(Ⅰ)证明:取 A1B 的中点 F ,连接 DF , EF .

因为 D , F 分别是 A1B1 , A1B 的中点,

所以 DF 是△ A1BB1 的中位线. ………………1 分

所以

DF



BB1 ∥ CC1 ,且

DF

?

1 2

BB1

?

1 2

CC1 .

又因为 E 是 CC1 的中点,

所以

C1E

?

1 2

CC1

.

所以 DF ∥ C1E ,且 DF ? C1E .

所以四边形 C1EFD 是平行四边形.

所以 C1D ∥ EF .

又 EF ? 平面 A1BE , C1D ? 平面 A1BE ,

所以 C1D ∥平面 A1BE .

(Ⅱ)证明:因为 CC1 ? A1C1 , CC1 ? B1C1 且 A1C1 B1C1 ? C1 ,

所以 CC1 ? 平面 A1C1B1 .

因为 BB1 ∥ CC1 , 所以 BB1 ? 平面 A1C1B1 .

因为 C1D ? 平面 A1C1B1 ,所以 BB1 ? C1D .

又 A1C1 ? C1B1 ,且 D 是 A1B1 的中点,所以 C1D ? A1B1 .

因为 A1B1 BB1 ? B1 ,所以 C1D ? 平面 AA1B1B .

由(Ⅰ)知 EF ∥ C1D .

所以 EF ? 平面 AA1B1B .

又因为 EF ? 平面 A1BE ,

所以平面 A1BE ? 平面 AA1B1B .

(Ⅲ)解:由已知,将长方形 AA1B1B 沿 CC1 对折后,二面角 A1 ? CC1 ? B 为直二面角,

因为在长方形 AA1B1B 中, C , C1 分别是 AB , A1B1 的中点,

所以 CC1 ? BC , CC1 ? AC . 所以 ?ACB 是二面角 A1 ? CC1 ? B 的平面角. 所以 ?ACB ? 90? . 所以 BC ? AC . 又 BC ? CC1 , AC CC1 ? C ,

所以 BC ? 平面 AA1C1C ,即 BC ? 平面 A1EC1 .

V 所以 C1 ? A1BE

? VB? A1EC 1

?

1 3 S?A1EC1

? BC .

S 其中 ?A1EC1

?

1 2

A1C1 ? C1E

?

1 ? 2?1 ? 1, 2

V 所以 C1 ? A1BE

? VB? A1EC1

?

1 3 S?A1EC1

? BC

?

1 ?1? 2 3

?

2 3

.

1

1

S?A1EB ? 2 A1B ? EF ? 2 ? 2 3 ?

2?

6,

设点 C1 到平面 A1EB 的距离为 h ,

V 所以 C1 ? A1BE

?

1 3 S?A1EB

?h

?

1? 3

6 ?h ? 2 ,即 h ? 3

6. 3

设直线 BC1 与平面 A1BE 所成角为? ,

6 所以 sin? ? h ? 3 ? 3 .
BC1 2 2 6

所以直线 BC1 与平面 A1BE 所成角的正弦值为

3. 6

解法二:

(Ⅰ)证明:由已知,将长方形 AA1B1B 沿 CC1 对折后,

二面角 A1 ? CC1 ? B 为直二面角,因为在长方形

AA1B1B 中, C , C1 分别是 AB , A1B1 的中点,

A1

所以 CC1 ? BC , CC1 ? AC . 即 ?ACB 是二面

角 A1 ? CC1 ? B 的平面角.

A

所以 ?ACB ? 90? . 所以 BC ? AC .

x

所以 CA, CB, CC1 两两垂直.

A

z A C1
D EA A
C A

B1 2A
B Ay
A

以 点 C 为 原 点 , 分 别 以 CA,CB,CC1 为 x, y, z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标

系.

……………1 分

因为 AB ? 2 AA1 ? 4 ,且 D , E 分别是 A1B1 , CC1 的中点,

所以 C1(0, 0, 2) , D(1, 1, 2) , A1(2, 0, 2) , B(0, 2, 0) , E(0, 0, 1) .

所以 C1D ? (1, 1, 0) , A1B ? (?2, 2, ? 2), BE ? (0, ? 2, 1) .

设平面 A1BE 的法向量为 n ? (x, y, z) ,

所以

??n ?

?

A1B

?

0,

?? n ? BE ? 0.

所以

??2x

? ?

?2

y

? 2y ? 2z ? z ? 0.

?

0,

令 y ? 1,则 z ? 2 , x ? ?1 . 所以 n ? (?1, 1, 2) .

又因为 C1D ? n ? (1, 1, 0) ? (?1, 1, 2) ? 0 . 所以 C1D ? n . 又因为 C1D ? 平面 A1BE , 所以 C1D ∥平面 A1BE .

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知

A(2, 0, 0) , A1(2, 0, 2) , B(0, 2, 0) , AA1 ? (0, 0, 2) , AB ? (?2, 2, 0) .

设平面 AA1B1B 的法向量为 m ? (x, y, z) ,

所以

?? m ?

?

AA1

?

0,

??m ? AB ? 0.

所以

?2z ? 0, ???2x ? 2

y

?

0.

令 y ? 1,则 x ? 1 , z ? 0 ,所以 m ? (1, 1, 0) .

由(Ⅰ)知,平面 A1BE 的法向量为 n ? (?1, 1, 2) . 所以 m ? n ? (1, 1, 0) ? (?1, 1, 2) ? 0 .

所以 m ? n . 所以平面 A1BE ? 平面 AA1B1B . (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知, B(0, 2, 0) , C1(0, 0, 2) . 所以 BC1 ? (0, ? 2, 2) .
又由(Ⅰ)知,平面 A1BE 的法向量为 n ? (?1, 1, 2) . 设直线 BC1 与平面 A1BE 所成角为? ,则

sin? ? cos ? n,

BC1 ? ?

n ? BC1 n ? BC1

? ?2 ? 4 2 2? 6

?

3. 6

所以直线 BC1 与平面 A1BE 所成角的正弦值为

3. 6

18. 【解析】

(Ⅰ) f (x) 的定义域为 (0, ? ?) .

因为 f ?(x) ? 1 ? 2x ? 0 ,所以 f (x) 在[1, e] 上是增函数, x
当 x ? 1 时, f (x) 取得最小值 f (1) ? 1.

所以 f (x) 在[1, e] 上的最小值为 1.

(Ⅱ)解法一: f ?(x) ? 1 ? 2(x ? a) ? 2x2 ? 2ax ?1

x

x

设 g(x) ? 2x2 ? 2ax ?1,

依题意,在区间[1 , 2] 上存在子区间使得不等式 g(x) ? 0 成立. 2

注意到抛物线 g(x) ? 2x2 ? 2ax ?1开口向上,所以只要 g(2) ? 0 ,或 g(1) ? 0 即可. 2

由 g(2) ? 0 ,即 8 ? 4a ?1 ? 0 ,得 a ? 9 , 4

由 g(1) ? 0 ,即 1 ? a ?1 ? 0 ,得 a ? 3 ,

2

2

2

所以 a ? 9 , 4

所以实数 a 的取值范围是 (??, 9) . 4

解法二: f ?(x) ? 1 ? 2(x ? a) ? 2x2 ? 2ax ?1 ,

x

x

依题意得,在区间[1 , 2] 上存在子区间使不等式 2x2 ? 2ax ?1 ? 0 成立. 2

又因为 x ? 0 ,所以 2a ? (2x ? 1 ) . x

设 g(x) ? 2x ? 1 ,所以 2a 小于函数 g(x) 在区间[1 , 2] 的最大值.

x

2

又因为

g ?( x)

?

2

?

1 x2



由 g?(x)

?

2?

1 x2

?

0 解得 x

?

2; 2

由 g?(x)

?

2?

1 x2

? 0 解得 0 ?

x

?

2. 2

所以函数 g(x) 在区间 ( 2 , 2) 上递增,在区间 (1 , 2 ) 上递减.

2

22

所以函数 g(x) 在 x ? 1 ,或 x ? 2 处取得最大值. 2

又 g(2) ? 9 , g(1) ? 3 ,所以 2a ? 9 , a ? 9

22

2

4

所以实数 a 的取值范围是 (??, 9) . 4

(Ⅲ)因为 f ?(x) ? 2x2 ? 2ax ?1 ,令 h(x) ? 2x2 ? 2ax ?1 x

①显然,当 a ≤ 0 时,在 (0, ??) 上 h(x) ? 0 恒成立,这时 f ?(x) ? 0 ,此时,函数 f (x)
没有极值点;

②当 a ? 0 时, (ⅰ)当 ? ≤ 0 ,即 0 ? a ≤ 2 时,在 (0, ??) 上 h(x) ≥ 0 恒成立,这时 f ?(x) ≥ 0 ,
此时,函数 f (x) 没有极值点;

(ⅱ)当 ? ? 0 ,即 a ? 2 时,

易知,当 a ? a2 ? 2 ? x ? a ? a2 ? 2 时, h(x) ? 0 ,这时 f ?(x) ? 0 ;

2

2

当 0 ? x ? a ? a2 ? 2 或 x ? a ? a2 ? 2 时, h(x) ? 0 ,这时 f ?(x) ? 0 ;

2

2

所以,当 a ? 2 时,x ? a ? a2 ? 2 是函数 f (x) 的极大值点;x ? a ? a2 ? 2 是函数

2

2

f (x) 的极小值点.

综上,当 a ≤ 2 时,函数 f (x) 没有极值点;

当 a ? 2 时, x ? a ? a2 ? 2 是函数 f (x) 的极大值点; x ? a ? a2 ? 2 是函数 f (x)

2

2

的极小值点. 19. 【解析】

(Ⅰ)由题意得

?4 ????aa22

? ?

1 b2 b2

? 1, ? c2

,

解得 a ?

6 ,b ?

3.

? ? ??

c a

?

2. 2

故椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1. 63

(Ⅱ)由题意显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y ? k(x ? 3) ,

? y ? k(x ? 3),



? ?

x

2

y2

得 (1? 2k 2 )x2 ?12k 2 x ?18k 2 ? 6 ? 0 .

?? 6 ? 3 ? 1,

因为直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,

所以 ? ? 144k 4 ? 4(1? 2k 2 )(18k 2 ? 6) ? 24(1? k 2 ) ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 1.

设 M , N 的坐标分别为 (x1, y1) , (x2 , y2 ) ,



x1

?

x2

?

12k 2 1? 2k 2



x1x2

?

18k 2 ? 6 1? 2k 2



y1

?

k ( x1

? 3)



y2

?

k ( x2

? 3) .

所以 BM ? BN ? (x1 ? 3)(x2 ? 3) ? y1 y2 ? (1? k 2 )[x1x2 ? 3(x1 ? x2 ) ? 9]

? 3 ? 3k 2 1? 2k 2

?3? 3 . 2 2(1? 2k 2 )

因为 ?1 ? k ? 1,所以 2 ? 3 ? 3 ≤ 3 . 2 2(1? 2k 2 )

故 BM ? BN 的取值范围为 (2, 3] .

(Ⅲ)由(Ⅱ)得 kAM

? kAN

?

y1 ?1 ? x1 ? 2

y2 ?1 x2 ? 2

? (kx1 ? 3k ?1)(x2 ? 2) ? (kx2 ? 3k ?1)(x1 ? 2) (x1 ? 2)(x2 ? 2)

? 2kx1x2 ? (5k ?1)(x1 ? x2 ) ?12k ? 4 x1x2 ? 2(x1 ? x2 ) ? 4

?

2k (18k

2

? 6) ? (5k 18k 2 ? 6

?1) ?12k 2 ? (12k ? 4)(1? ? 24k 2 ? 4(1? 2k 2 )

2k

2

)

?

?4k 2 ? 4 2k 2 ? 2

?

?2 .

所以 kAM ? kAN 为定值 ?2 .
20. 【解析】
(Ⅰ)解:因为 2011 ? 91? 22 ? 9 , 所以 q ? 22, r ? 9 .

( Ⅱ ) 证 明 : 假 设 存 在 这 样 的 函 数 f : A ? {1, 2, 3} , 使 得 对 任 意 的 整 数 x, y , 若

| x ? y |?{1, 2, 3},则 f (x) ? f ( y) .

设 f (1) ? a , a ?{1, 2,3} , f (2) ? b , b ?{1, 2,3},由已知 a ? b ,

由于| 3 ?1|? 2,| 3 ? 2 |? 1,所以 f (3) ? f (1) , f (3) ? f (2) .

不妨令 f (3) ? c , c ?{1, 2,3} ,这里 c ? a ,且 c ? b ,

同理, f (4) ? b ,且 f (4) ? c ,

因为{1, 2,3} 只有三个元素,所以 f (4) ? a .

即 f (1) ? f (4) ,但是| 4 ?1|? 3 ,与已知矛盾.

因此假设不成立,即不存在这样的函数 f : A ? {1, 2, 3} ,使得对任意的整数 x, y ,若

| x ? y |?{1, 2,3},则 f (x) ? f ( y) .

(Ⅲ)当 m ? 8 时,记 M ? {7 ? i | i ? 1,2,? ? ?,16}, N ? {2(7 ? i) | i ? 1,2,3,4}记 P ? CM N ,
则 card (P) ? 12 ,显然对任意1≤ i ? j ≤16 ,不存在 n ≥ 3 ,使得 7 ? j ? n(7 ? i) 成立.

故 P 是 非 “ 和 谐 集 ”, 此 时 P ? {8,9,10,11,12,13,14,15,17,19, 21, 23} . 同 样 的 , 当

m ? 9,10,11,12 时,存在含 m 的集合 A 的有 12 个元素的子集为非“和谐集”.
因此 m ≤ 7 . 下面证明:含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集为“和谐集”. 设 B ? {a1, a2,? ? ?, a11,7}, 若 1,14,21 中之一为集合 B 的元素,显然为“和谐集”. 现 考 虑 1 , 14 ,21 都 不属 于 集 合 B , 构 造 集 合 B1 ? {2,4,8,16} , B2 ? {3,6,12} ,

B3 ? {5,10,20}, B4 ? {9,18}, B5 ? {11,22} , B? ? {13,15,17,19,23} .

以上 B1, B2 , B3, B4 , B5 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑 B? ? B 的情况,也即 B? 中 5

个元素全都是 B 的元素,B 中剩下 6 个元素必须从 B1, B2 , B3, B4 , B5 这 5 个集合中选取 6 个元

素,那么至少有一个集合有两个元素被选,即集合 B 中至少有两个元素存在倍数关系. 综上所述,含 7 的任意集合 A 的有 12 个元素的子集 B 为“和谐集”,即 m 的最大值为 7.
【巩固部分】

1-2 已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a2 ? 2a ”的
A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B.

【解析】 a2 ? 2a ? 0 ? a ? 2 .

C1

A1

B1

C

A

B

2-3 如图,三棱柱的侧棱长为 4,底面是边长为 2 的正三角形, AA1 ? 面A1B1C1 ,正视图是长 为 4,宽为 2 的矩形,则该三棱柱的侧视图的面积为

A. 4 3 B. 2 3 C. 4 D. 3
【答案】A 。 【解析】根据正视图与左视图的高度相等,俯视图与左视图宽度一样,易知左视图的面积为

4? 3 ?2 ? 4 3 . 2

3-5 由数字 2,3,4,5,6 所组成的没有重复数字的四位数中 5,6 相邻的奇数共有

A.10 个

B.14 个

C.16 个

D.18 个

【答案】B.

【解析】分两类:若末位数字为 5,则倒数第二位为 6,前两位数字排法有 A32 ? 6 种;若末位

数字为 3,将 5,6 视为一个元素,排法有 2× A22 ×2=8 种,故 5,6 相邻的奇数的个数共有
6+8=14 个.

4-8 如图正六边形 ABCDEF 中,P 是△CDE 内(包括边界)的动点,设 AP ? ? AB ? ? AF

(α 、β ∈R),则? ? ? 的取值范围是

E

D

A. ?1, 2? B. ?2,3? C. ?3, 4? D. ?4,5?

F

C

【答案】 C。

A

B

? ? ? ? 【解析】建立如图坐标系,设 AB=2,则 A?0, 0?, B ?2, 0?, C 3, 3 , D 2, 2 3 ,

? ? ? ? E 0, 2 3 , F ?1, 3 ,则 EC 的方程: x ? 3y ? 6 ? 0 ;CD 的方程: 3x ? y ? 4 3 ? 0 。
因 P 是△CDE 内(包括边界)的动点,则可行域为

?x ? 3y ?6 ? 0

?? ?

3? y?2

3

又 AP ? ? AB ? ? AF ,

? ??

3x ? y ? 4

3?0

? ? 则 AP ? ? x, y? , AB ? ?2,0? , AF ? ?1, 3 ,

? ? 所以 ? x, y? ? ? ?2,0? ? ? ?1, 3

?2? ? ? ? 3 3 ? 6 ? 0



?? ?

x

?

2?

?

?

?

?? ?

3?

3? ? 2 3

?? y ? 3?

? ??

3 ?2? ? ? ? ?

3? ? 4

3?0

?? ? ? ? 3 ? ??1 ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? 4 .
??? ? 2

5-12

若数列

{an

}

满足

an?2 an?1

?

an?1 an

?

k (k

为常数),则称数列{an }为等比和数列,k 称为公

比和.已知数列{an }是以 3 为公比和的等比和数列,其中 a1 ? 1, a2 ? 2 ,则 a2009 ?



【答案】 21004 .

【解析】因为 an?2 ? an?1 ? 3 ,且 a2 ? 2 ,所以 a3 ? 1, a4 ? 2 ,…

an?1 an

a1

a2

a3

所以 a2 ? 2a1 , a3 ? a2 , a4 ? 2a3 ,…
整个数列为: 1,2,2,4,4,8,8,16,16,…
显然,偶数项是以 2 为公比的等比数列, a2009 ? a2008 ? 21004 .

6-14 在?0, 4? 上任取两个数 a, b ,那么函数 f (x) ? x2 ? ax ? b 无零点的概率为____.

【答案】 11 。 12
【解析】易知 ?a, b? 的遍取区域为正方形,其面积为16.

由函数 f (x) ? x2 ? ax ? b 无零点得到 ? ? a2 ? 4b ? 0, a2 ? 4b 。

4

? 4 1a2da ? 1 a3

04

12

4 0

?

4, 3

P ?1? 3 16

? 11 . 12

7-17 如 图 , 长 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中 ,

AB ? AA1 ? 1, AD ? 2 , E 是 BC 的中点.

(Ⅰ)求证:直线 BB1 // 平面 D1DE ;

(Ⅱ)求证:平面 A1 AE ? 平面 D1DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A ? A1DE 的体积.

(Ⅰ)证明:在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, BB1 // DD1 , 又 ∵ BB1 ? 平面 D1DE , DD1 ? 平面 D1DE

∴ 直线 BB1 // 平面 D1DE .

(Ⅱ)证明:在长方形 ABCD 中,∵ AB ? AA1 ? 1, AD ? 2 ,

∴ AE ? DE ? 2 ,

∴ AE 2 ? DE 2 ? 4 ? AD 2 ,故 AE ? DE ,

∵在长方形 ABCD 中有 DD1 ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ,

∴ DD1 ? AE , 又∵ DD1 ? DE ? D ,

∴直线 AE ? 平面 D1DE ,

而 AE ? 平面 A1 AE ,

所以平面 A1 AE ? 平面 D1DE .

(Ⅲ)VA? A1DE ?

VA1 ? ADE

?

1 3

AA1 ? S ?ADE

?

1 ?1? 1 ?1? 2 ? 32

1. 3

8-19

已知离心率为

3 2

的椭圆 C1 的顶点

A1 ,

A2 恰好是双曲线

x2 3

? y2

? 1 的左右焦点,点 P

是椭圆上不同于 A1, A2 的任意一点,设直线 PA1, PA2 的斜率分别为 k1, k2 . (Ⅰ)求椭圆 C1 的标准方程; (Ⅱ)试判断 k1 ? k2 的值是否与点 P 的位置有关,并证明你的结论;

(Ⅲ)当 k1

?

1 2

时,圆 C2



x2

?

y2

?

2mx

?

0

被直线

PA2

截得弦长为

45 5

,求实数 m



值。

解:(Ⅰ)双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 (?2,0) 3

即 A1, A2 的坐标分别为 (?2,0), (2,0) .

所以设椭圆

C1

的标准方程为

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) ,则 a ? 2 ,

且 e ? c ? 3 ,所以 c ? 3 ,从而 b2 ? a 2 ? c 2 ? 1, a2

所以椭圆 C1 的标准方程为

x2 4

?

y2 1

? 1.

(Ⅱ)设

P(x0 ,

y0

)



x0 2 4

?

y02 1

? 1,即 y0 2

? 1? x02 4

? 4 ? x02 4

k1

? k2

?

y0 ? 0 x0 ? (?2)

?

y0 x0

?0 ?2

?

y02 x02 ? 4

?

?

1 4

.

所以

k1

?

k2

的值与点

P

的位置无关,恒为

?

1 4



(Ⅲ)由圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 2mx ? 0 得 (x ? m)2 ? y 2 ? m2 ,

其圆心为 C2 (m,0) ,半径为 m ,

由(Ⅱ)知当 k1

?

1 2

时, k2

?

?1 2



故直线

PA2

的方程为

y

?

?

1 2

(x

?

2)



x

?

2

y

?

2

?

0



m?2?0?2 m?2

所以圆心为 C2 (m,0) 到直线 PA2 的距离为 d ?

? 12 ? 22


5

又由已知圆 C2



x2

?

y2

?

2mx

?

0

被直线

PA2

截得弦长为

45 5

及垂径定理得

圆心 C2 (m,0) 到直线 PA2 的距离 d ?

m2 ? (2 5)2 , 5

所以 m2 ? ( 2 5 )2 ? m ? 2 , 即 m2 ? m ? 2 ? 0 ,解得 m ? ?2 或 m ? 1。

5

5

所以实数 m 的值为1或 ? 2 .


相关文章:
北京市昌平区2013届高三数学仿真模拟试卷3理新人教B版_....doc
北京市昌平区2013届高三数学仿真模拟试卷3理新人教B版 - 北京市昌平区 20
北京市昌平区2013届高三数学仿真模拟试卷5理新人教B版.doc
北京市昌平区2013届高三数学仿真模拟试卷5理新人教B版_数学_高中教育_教育专
北京市昌平区高三数学仿真模拟试卷5 理 新人教B版.doc
北京市昌平区高三数学仿真模拟试卷5 理 新人教B版 - 北京市昌平区 2013 届高三仿真模拟数学理科试卷 5 一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 ...
北京市昌平区高三数学仿真模拟试卷7 理 新人教B版.doc
北京市昌平区高三数学仿真模拟试卷7 理 新人教B版 - 北京市昌平区 2013 届高三仿真模拟数学理科试卷 7 选择题 (共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,...
高三数学仿真模拟试卷1理新人教B版.doc
高三数学仿真模拟试卷1理新人教B版 - 北京市昌平区 2013 届高三仿真模拟数
高三数学仿真模拟试卷5理新人教B版.doc
高三数学仿真模拟试卷5理新人教B版 - 北京市昌平区 2013 届高三仿真模拟数
高三数学仿真模拟试卷2理新人教B版.doc
高三数学仿真模拟试卷2理新人教B版 - 北京市昌平区 2013 届高三仿真模拟数
高三数学仿真模拟试卷5 理 新人教B版.doc
高三数学仿真模拟试卷5 理 新人教B版 - 北京市昌平区 高三仿真模拟数学理科试
...数学第二次模拟考试试题 理(西城二模)新人教B版.doc
考试试题 理(西城二模)新人教B版_数学_高中教育_...北京市西城区 2013 年高三二模试卷 高三数学(理科)...{2,3, 4} ,那么 ?U ( A (A) {0,1} (C...
新高三数学模拟试卷3_图文.doc
高三数学模拟试卷 3 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择),考生作答时,
吉林省2012高三数学仿真模拟卷3 理 新人教A版.pdf.pdf
吉林省2012高三数学仿真模拟卷3 理 新人教A版.pdf_高中教育_教育专区。
2019年新课标高考理科数学仿真模拟试卷3含答案.doc
1.已知全集 2019 年新课标高考理科数学仿真模拟试卷三 ,集合 , 或 ,那
最新北京市2018-2019年高考模拟试卷 数学(理)_图文.doc
最新北京市2018-2019年高考模拟试卷 数学(理)_高考_高中教育_教育专区
...高三数学仿真模拟考试试卷 理 (无答案)新人教A版.doc
江西省景德镇一中高三数学仿真模拟考试试卷 理 (无答案)新人教A版 - 江西省景德镇一中 2012 届高考仿真模拟考试 数学(理)试卷 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、...
2013届高三数学月考试题5B_图文.doc
2013 届高三数学月考试题五(A) 适用地区:新课标...银川一中月考)若 tan α=2,则 A.0 3 B. ...20.(本小题满分 12 分) (理)[2012湖南卷]...
高三数学第二次质量抽测文(昌平二模)新人教B版.doc
高三数学第二次质量抽测文(昌平二模)新人教B版_...昌平区 2012-2013第二学期高三年级第二次质量...3. 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作...
2019年北京市昌平区高三二模理科数学试卷及答案(B版).doc
2019年北京市昌平区高三二模理科数学试卷及答案(B版)_六年级语文_语文_小学教育_教育专区。数学试卷 昌平区 2019-2019 学第二学期高三年级期第二次质量抽测 ...
江西省景德镇一中2018届高三数学仿真模拟考试试卷 理 ....doc
江西省景德镇一中2018届高三数学仿真模拟考试试卷 理 新人教A版 精品_数学_高中...OB ? ( A. ? ) B. ? 3 2 1 2 C. 1 2 D. 与 m、n、p 的 ...
河南省郑州市智林学校2013届高三第三次模拟考试数学(理....doc
河南省郑州市智林学校2013届高三第三次模拟考试数学(理)试卷_数学_高中教育_
天津市高三数学模拟试题 理(无答案)新人教A版.doc
天津市高三数学模拟试题 理(无答案)新人教A版 - 天津市 2013 届高三数学模拟试题 理 本试卷分为第 I 卷(选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,...