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2014年安徽高考理科数学试题及答案(Word版)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷和第 II 卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页。 全卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 参考公式: 如果事件 A 与 B 互斥,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 与 B 相互独立,那么

P( AB) ? P( A) P( B)

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 (1) 设 i 是虚数单位, z 表示复数 z 的共轭复数,若 z=1+I,则

z +i· z = i
(D)2i

(A)-2 (B)-2i (C)2 (2) “x<0”是 ln(x+1)<0 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 ( A ) 34 ( B ) 55 ( C ) 78 (D)89 (4) 以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立 极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线 l 的参数 方程是 ?

? x ? t ? 1, ?y ? t ? 3

(t 为参数), 圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos? ,

则直线 l 被圆 C 截得的弦长为 (A) 14 (B)2 14 (C) 2 (D)2 2

? x ? y ? 2 ? 0, ? (5)x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一 ,则实数 a 的值 ... ? 2 x ? y ? 2 ? 0. ?
为 (A)

1 或-1 2

(B)2 或

1 2

(C)2 或 1

(D)2 或-1

(6)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sinx.当 0≤x≤π 时,f(x)=0,则 f (

23? )= 6

1

(A)

1 2

(B)

3 2

(C)0

(D) ?

1 2

(7)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为 (A) 21? 3 (B) 18 ? 3 (C)21 (D)18

(8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60°的共有 (A)24 对 (B)30 对 (C)48 对 (D)60 对 (9)若函数 f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为 3,则实数 a 的值为 (A)5 或 8 (B)-1 或 5 (C)-1 或 -4 (D)-4 或 8 (10) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知向量啊 a , b , | a | = | b | = 1 , a· b = 0,点 Q 满足 OQ = 2 ( a + b ).曲线 C={ P | OP =acos ? + bsin ? ,0 ? ? <2 ? R },若 C ? ? 为两段分离的曲线,则 (A)1 < r < R <3 (C)r ? 1 < R <3 <r<3<R },区域 ? ={ P | 0 < r ? | PQ | ? R , r < (B)1 < r < 3 ? R (D)1

2014 普通高等学校招生全国统一考试(安徽 卷) 数 学(理科)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
考生注意事项:
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 作答,在试题卷 ..... .... 上答题无效 。 ..... 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。 (11)若将函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? 的最小正值是 . .

?
4

) 的图像向右平移 ? 个单位,所的图像关于 y 轴对称,则 ?

(12)数列 ?a n ?是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q=

? x? (13)设a≠0,n是大于1的自然数, ?1 ? ? 的展开式为 ? a?

n

a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ?an x n . 若点 Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所
示,则 a= .

(14)若 F1,F2 分别是椭圆 E: x 2 ?

y2 ? 1(0<b<1)的左、右 b2

焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点.若 AF 1 ? 3F 1 B , AF2 ? x 轴,则椭圆 E 的方程 为 . 2

(15)已知两个不相等的非零向量 a,b,两组向量 x1,x2,x3,x4,x5 和 y1,y2,y3,y4,y5 均 由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成.记 S=x1`y1+x2`y2+x3`y3+x4`y4+x5`y5,Smin 表示 S 所有可能取值中的最小 值.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①S 有 5 个不同的值; ②若 a⊥b, 则 Smin 与 a 无关; ③若 a∥b, 则 Smin 与 b 无关; ④若 b ? 4 a , 则 Smin>0;⑤若 b ? 2 a ,Smin= 8 a ,则 a 与 b 的夹角为
2

? 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在 答题卡上的指定区域内. (16) (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin ? A ?

? ?

??

? 的值. 4?

(17) (本小题满分 12 分) 甲乙恋人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未初相连胜,则 判定获胜局数多者赢得比赛。假设每局甲获胜的概率为

2 1 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结 3 3

果相互独立。 ( I )求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (I I )记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望) 。

(18)(本小题满分 12 分) 设函数 ( x ) =1+(1+ a)X-

?

x -x
?

2

3

,其中 a > 0 .

( I )讨论 ( x ) 在其定义域上的单调性; (I I )当 x ? [0,1] 时,求 ( x ) 取得最大值和最小值时的 x 的值。

?

3

(19)(本小题满分 13 分) 如图,已知两条抛物线 和

E y
: 1

2

=2

p x( p >0)
1
1

E :y
2 2 1

2

=2

p x( p
2

2

>0) ,过原点 O 的两条直线

l 和 l ,l 与 E
1

1



E

2

分别交于

A
2

1



A

2

两点,

l 与E
2

1



E

2

分别交于

B
1

1



B 两点。
2

( I )证明:

A B // A B
1 2

(I I )过 O 作直线 l (异于

l ,l
1

2

)与

E

1



E
?

2

分别交于

C
2

1



C

2

两点。记 ? ,

A BC与
1 1

1

A B C 的面积分别为 S
2 2

1

S 求s
2

s1
2

的值。

(20)(本小题满分 13 分) 如果,四棱柱 ABCD-

A B C D 中, A A
1 1

1

1

1

? 地面

ABCD 。 四边形 ABCD 为梯形, AD // BC, 且 AD = 2BC . 过 C,D 三点的平面记 ? , ( I )证明:Q 为

A,
1

B B 与 ? 的交点为 Q .
1 1

B B 的中点;

(I I )求此四棱柱被平面 ? 所分成上下两部分的体积之 比; (III ) 若

A A =4 ,CD=2 ,梯形 ABCD 的面积为 6 ,
1

求平面 ? 与底面 ABCD 所成二面角的大小。

4

(21)(本小题满分 13 分) 设实数 c > 0 , 整数 p > 1 , n ?

N

*

.

( I )证明:当 x > -1 且 x ? 0 时,

1?x

p

> 1 =px ;

(I I )数列{

a

}满足 n

a

1

>

c

1 p



an ?1 ?

p ?1 c 1? p ? an ,证明: a n ? an?1 ? c p a n p p

1

5

6

7

安徽省数学(理)小题解析

8

9

10

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