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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第四章 第1讲 平面向量的概念及线性运算


2016 高考导航 知识点 平面向量的实际 背景及基本概念 考纲下载 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念及向量的几何表示,理解两 个向量相等的含义. 1.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 2.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向 量共线的含义. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3. 会用坐标表示平面向量的加法、 减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量 积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积 判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的实际问题. 1.理解复数的基本概念及相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.会进行复数代数形式的四则运算.

向量的线性运算

平面向量的基本定 理及坐标表示

平面向量的数量积 及向量的应用

复数

第 1 讲 平面向量的概念及线性运算

1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量. (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

加法

求两个向量和的运算

交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+ (b+c)

减法

求 a 与 b 的相反向量 -b 的和的运算 |λa|=|λ||a|, 当 λ>0 时, λ a 与 a 的方向相同; 当 λ<0 时,λ a 与 a 的方向相反;当 λ=0 时,λ a=0

a-b=a+(-b)

数乘

求实数 λ 与向量 a 的 积的运算

λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ (a+b)=λa+λb

3.两个向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使得 b=λa. [做一做] 1.判断下列四个命题: ①若 a∥b,则 a=b;②若|a|=|b|,则 a=b;③若|a|=|b|,则 a∥b;④若 a=b,则|a| =|b|.其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:A → → → 2.已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC+CB=0,则OC 等于( ) → → → → A.2OA-OB B.-OA+2 OB 2→ 1→ 1→ 2→ C. OA- OB D.- OA+ OB 3 3 3 3 答案:A 1.辨明两个易误点 (1)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点. (2)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个. 2.三点共线的等价关系 A,P,B 三点共线?AP=λAB(λ≠0)?OP=(1-t)· OA+tOB(O 为平面内异于 A,P,B 的任一点,t∈R)?OP=xOA+yOB(O 为平面内异于 A,P,B 的任一点,x∈R,y∈R,x+ y=1). [做一做] → → → 3.若菱形 ABCD 的边长为 2,则|AB-CB+CD|=________. → → → → → → → 解析:|AB-CB+CD|=|AB+BC+CD|=|AD|=2. 答案:2 4. 已知 a 与-b 是两个不共线向量, 且向量 a+λb 与-(b-3a)共线, 则 λ 的值为________. 解析:∵a+λb 与-(b-3a)共线, ∴存在实数 μ,使 a+λb=μ(3a-b), 1 μ=3, ? 1 = 3 μ , ? 即? ∴ . 1 ? ?λ=-μ, λ=-3

















? ? ?

1 答案:- 3 ,[学生用书 P77~P78]) 考点一__平面向量的有关概念__________________ ①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; → → ③向量AB与向量CD共线,则 A、B、C、D 四点共线; ④如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c. 以上命题中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 [解析] ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是 向量; ②不正确,若 a 与 b 中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一 定相同或相反; ③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行; ④不正确,如果 b=0 时,则 a 与 c 不一定平行. [答案] D [规律方法] 对于向量的概念应注意以下几条: (1)向量的两个特征:有大小和方向,向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐 标表示; (2)相等向量不仅模相等,而且方向也相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向 量则未必是相等向量; (3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可 以比较大小. 1.设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行, 则 a=|a|a0; ③若 a 与 a0 平行且|a|=1, 则 a=a0.上述命题中, 假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 D.向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同,故 ①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3. 考点二__平面向量的线性运算(高频考点)_______ 平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算,是高考考查向量的热点.常以选择 题、填空题的形式出现. 高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下三个命题角度: (1)求已知向量的和; (2)用已知向量表示未知向量; (3)求参数的值. (2014· 高考课标全国卷Ⅰ)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中 → → 点,则EB+FC=( ) 1→ → A.BC B. AD 2 1→ → C.AD D. BC 2

[解析]

→ → → → → → → → 1 → → 1 → → 如图,EB+FC=EC+CB+FB+BC=EC+FB= (AC+AB)= ·2AD=AD. 2 2

[答案] C [规律方法] (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系, 能熟练地找 出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:①观察各向量的位置;②寻找相 应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果. → → → → 2.(1)(2015· 福建福州质量检测)在△ABC 中, AD=2 DC, BA=a, BD= → b,BC=c,则下列等式成立的是( ) A.c=2b-a B.c=2a-b 3a b 3b a C.c= - D.c= - 2 2 2 2 → → → 1→ → (2)在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若AD=2 DB, CD= CA+λCB, 则 λ 等于( ) 3 2 1 A. B. 3 3 1 2 C.- D.- 3 3 → → → → 1→ → 1 → → 3→ 解析:(1)选 D.因为在△ABC 中,BC=BD+DC=BD+ AD=BD+ (BD-BA)= BD- 2 2 2 1→ 3 1 BA,所以 c= b- a 2 2 2 (2)选 A.如图所示,过点 D 分别作 AC,BC 的平行线,分别交 BC,AC 于点 F,E, → → → ∴CD=CE+CF.

2 → → → 1→ → 2→ → 1→ 2→ ∵AD=2 DB,∴CE= CA,CF= CB,故CD= CA+ CB,∴λ= . 3 3 3 3 3 考点三__平面向量共线定理的应用____________ 已知非零向量 e1,e2 不共线. → → → (1)如果AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3(e1-e2),求证:A、B、D 三点共线; (2)欲使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线,试确定实数 k 的值. → [解] (1)证明:∵AB=e1+e2, → → → BD=BC+CD=2e1+8e2+3e1-3e2 → =5(e1+e2)=5AB, → → ∴AB与BD共线,且有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线. (2)∵ke1+e2 与 e1+ke2 共线, ∴存在 λ,使 ke1+e2=λ(e1+ke2), 则(k-λ)e1=(λk-1)e2.由于 e1 与 e2 不共线,

? ?k-λ=0, 只能有? ? ?λk-1=0, ∴k=± 1. [规律方法] (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线 的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 λ1,λ2,使 λ1a+λ2b=0 成立,若 λ1a+λ2b =0,当且仅当 λ1=λ2=0 时成立,否则向量 a、b 不共线. 3.已知向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中 e1、e2 不共线,向量 c= 2e1-9e2.问是否存在这样的实数 λ、μ,使向量 d=λa+μb 与 c 共线? 解:∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2) =(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2, 要使 d 与 c 共线,则应有实数 k,使 d=kc, 即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2, ?2λ+2μ=2k, ? 即? 得 λ=-2μ. ?-3λ+3μ=-9k, ? 故存在这样的实数 λ、μ,只要 λ=-2μ,就能使 d 与 c 共线.

考题溯源——平面向量的线性运算 (2014· 高考福建卷)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四 → → → → 边形 ABCD 所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于( ) → → A.OM B.2OM → → C.3OM D.4OM [解析] 因为点 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,所以点 M 是 AC 和 BD 的中点, → → → → → → → → → → → 由平行四边形法则知OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,故OA+OC+OB+OD=4OM. [答案] D [考题溯源] 本考题是由教材人教 A 必修 4 P92 第 11 题“已知?ABCD 的对角线 AC 和 → → → → → → BD 相交于 O,且OA=a,OB=b,用向量 a、b 分别表示向量OC,OD,DC,BC.”改编而 成. 1.(2013· 高考四川卷改编)在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 → → → O,AB+AD=λAO,则 λ=( ) A.1 B.2 C.4 D.6 → → → 解析:选 B.由向量加法的平行四边形法则,得AB+AD=AC. → → 又 O 是 AC 的中点,∴AC=2AO,∴AC=2AO, → → → ∴AB+AD=2AO. → → → 又AB+AD=λAO,∴λ=2. → 1 → → 2. P 是△ABC 内的一点, AP= (AB+AC), 则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( ) 3 A.2 B.3 3 C. D.6 2 → 1 → → → → → 解析:选 B.由AP= (AB+AC),得 3AP=AB+AC, 3 → → → → → AP+(AP-AB)+(AP-AC)=0. → → → 所以PB+PC+PA=0,P 是△ABC 的重心. 所以△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为 3.

1.给出下列命题: (1)两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; (2)两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; (3)λa=0(λ 为实数),则 λ 必为零; (4)λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中错误的命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 C.(1)错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点;

(2)正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数, 故可以比较大小; (3)错误,当 a=0 时,不论 λ 为何值,λa=0; (4)错误,当 λ=μ=0 时,λa=μb=0,此时,a 与 b 可以是任意向量. 2.(2015· 福建四地六校联考)已知点 O,A,B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一 → → → 点,且 2 OP=2 OA+BA,则( ) A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上 → → → → → 解析:选 B.因为 2 OP=2 OA+BA,所以 2 AP=BA,所以点 P 在线段 AB 的反向延长 线上,故选 B. → → → → → → 3. 如图,已知AB=a,AC=b,BD=3 DC,用 a,b 表示AD,则AD=( )

3 A.a+ b 4 1 1 C. a+ b 4 4

1 3 B. a+ b 4 4 3 1 D. a+ b 4 4

→ → → 解析:选 B.∵CB=AB-AC=a-b, → → 又BD=3 DC, → 1→ 1 ∴CD= CB= (a-b), 4 4 1 1 3 → → → ∴AD=AC+CD=b+ (a-b)= a+ b. 4 4 4 4.若 A,B,C,D 是平面内任意四点,给出下列式子: → → → → → → → → → → → → ①AB+CD=BC+DA;②AC+BD=BC+AD;③AC-BD=DC+AB.其中正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 → → → → → → → → 解析:选 C.①式的等价式是AB-BC=DA-CD,左边=AB+CB,右边=DA+DC,不 → → → → → → → → → 一定相等;②式的等价式是AC-BC=AD-BD,AC+CB=AD+DB=AB成立;③式的等价 → → → → → → 式是AC-DC=AB+BD,AD=AD成立. → 1→ 5. 如图, 在△ABC 中, ∠A=60°, ∠A 的平分线交 BC 于点 D, 若 AB=4, 且AD= AC 4 → +λAB(λ∈R),则 AD 的长为( )

A.2 3 C.4 3

B.3 3 D.5 3

1 3 解析:选 B. 因为 B,D,C 三点共线,所以有 +λ=1,解得 λ= ,如图,过点 D 分别 4 4 作 AC,AB 的平行线交 AB,AC 于点 M,N,

→ 1 → → 3→ 则AN= AC,AM= AB, 4 4 经计算得 AN=AM=3,AD=3 3.

→ → → → → 6.已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点,且向量OA,OB,OC,OD满足等式OA+ → → → OC=OB+OD,则四边形 ABCD 的形状为________. → → → → 解析:∵OA+OC=OB+OD, → → → → ∴OA-OB=OD-OC, → → ∴BA=CD,BA 綊 CD, ∴四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:平行四边形 → → → → → 7.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3 NC,M 为 BC 的中点,则MN=________(用 a,b 表示). → → → → 解析:由AN=3 NC,得 4AN=3AC=3(a+b), 1 → AM=a+ b, 2 1 ? 1 1 → 3 所以MN= (a+b)-? ?a+2b?=-4a+4b. 4 1 1 答案:- a+ b 4 4 1 2 8. (2013· 高考江苏卷)设 D, E 分别是△ABC 的边 AB, BC 上的点, AD= AB, BE= BC. 2 3 → → → 若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ 2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________. 1→ 2 → → → → 2 → 1→ 2 → → 1→ 解析:由题意DE=BE-BD= BC- BA= (AC-AB)+ AB=- AB+ AC, 3 2 3 2 6 3 1 2 1 所以 λ1=- ,λ2= ,故 λ1+λ2= . 6 3 2 1 答案: 2 9. 在△ABC 中,D、E 分别为 BC、AC 边上的中点,G 为 BE 上一点,且 GB=2GE, → → → → 设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示AD,AG.

→ 1 → → 1 1 解:AD= (AB+AC)= a+ b. 2 2 2 2 → → → → → → 1 → → AG=AB+BG=AB+ BE=AB+ (BA+BC) 3 3 2→ 1 → → = AB+ (AC-AB) 3 3 1→ 1 → = AB+ AC 3 3 1 1 = a+ b. 3 3

10.设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. → → → (1)如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证:A、C、D 三点共线; → → → (2)如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值. → → 解:(1)证明:∵AB=e1-e2,BC=3e1+2e2, → CD=-8e1-2e2, → → → ∴AC=AB+BC=4e1+e2 1 1→ =- (-8e1-2e2)=- CD, 2 2 → → ∴AC与CD共线. → → 又∵AC与CD有公共点 C, ∴A、C、D 三点共线. → → → (2)AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, ∵A、C、D 三点共线, → → → → ∴AC与CD共线,从而存在实数 λ 使得AC=λCD, 即 3e1-2e2=λ(2e1-ke2), ? ?3=2λ, 得? ?-2=-λk, ? 3 4 解得 λ= ,k= . 2 3


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