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2014届高考数学(文)一轮复习课件(鲁闽皖专用): 变化率与导数、导数的计算(新人教A版)


第十一节 变化率与导数、导数的计算

三年12考

高考指数:★★★

1.了解导数概念的实际背景;
2.理解导数的几何意义; 3.能根据导数定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y= 的导数; 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简 单函数的导数.
1 x

1.导数的几何意义是考查重点; 2.导数的运算是导数的基本内容,在高考中每年必考,一般不 单独命题,常在考查导数应用的同时进行考查. 3.题型以选择题和填空题为主,在解答题中会渗透导数的运算.

1.导数的定义及几何意义 (1)定义:函数在x0处的平均变化率 ?y ,当Δ x→0时的极限
?x

(即瞬时变化率)叫做函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)
f (x 0 ? ?x) ? f (x 0 ) 或y′|x=x0,即__________________________. ?x ?0 ?x f ?(x 0 ) ? lim

(2)几何意义:函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义是曲线 切线的斜率 y=f(x)在点P(x0,y0)处的____________.

【即时应用】 (1)思考:f′(x)与f′(x0)有何区别? 提示:f′(x)是x的函数,f′(x0)只是f′(x)的一个函数值. (2)曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是________. 【解析】∵y′=2x,∴曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是2.

答案:2

(3)函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是_____.
1 【解析】f′(e)= 1 |x=e= ,∴所求的切线方程为y-f(e)
x

e

=f′(e)(x-e),即y-lne= 1 (x-e),化简得x-ey=0.
e

答案:x-ey=0

2.基本初等函数的导数公式 0 (1)(c)′=_____;(c为常数) α xα -1 (2)(xα )′=________;(α ∈Q*)

cosx (3)(sinx)′=________; -sinx (4)(cosx)′=________;
ex (5)(ex)′=_____;

axlna (6)(ax)′=________(a>0);
1 (7)(lnx)′=_______; x 1 (8)(logax)′=_______(a>0且a≠1). xlna

【即时应用】

(1)y=x-5,则y′=___________.
(2)y=4x,则y′=___________. (3)y=log3x,则y′=________. (4)y= sin ? , 则y′=________.
3

答案:(1)-5x-6

(2)4xln4

(3)

1 xln3

(4)0

3.导数的运算法则

若y=f(x),y=g(x)的导数存在,则
f′(x)±g′(x) (1)[f(x)±g(x)]′=_________________; f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (2)[f(x)·g(x)]′=_______________________; (3)[
f ?x? g(x)

f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x)

]′=__________________(g(x)≠0). ?g(x)?
2

【即时应用】 (1)y=x3+sinx,则y′=____________. (2)y=x4-x2-x+3,则y′=___________. (3)y=(2x2+3)·(3x-2),则y′=_________.
ex (4)f(x)= , 则f′(x)=_________. x

【解析】(1)y′=(x3)′+(sinx)′=3x2+cosx.

(2)y′=4x3-2x-1.

(3)y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′
=4x(3x-2)+(2x2+3)·3=18x2-8x+9. 或:y=6x3-4x2+9x-6,y′=18x2-8x+9.
e x x ? e x e x (x ? 1) (4)f′(x)= ? . 2 2 x x

答案:(1)3x2+cosx (3)18x2-8x+9

(2)4x3-2x-1
e x (x ? 1) (4) x2

导数的运算
【方法点睛】求函数的导数的方法 (1)总原则:先化简解析式,再求导. (2)具体方法 ①连乘积的形式:先展开化为多项式形式,再求导. ②根式形式:先化为分数指数幂,再求导. ③复杂分式:通过分子上凑分母,化为简单分式的和、差,再

求导.

【例1】(1)(2011·江西高考)若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x) >0的解集为( )

(A)(0,+∞)
(C)(2,+∞) (2)求下列函数的导数. ①y=x2sinx;

(B)(-1,0)∪(2,+∞)
(D)(-1,0)

ex ? 1 ②y= x ; e ?1

【解题指南】(1)首先求出f(x)的导数,再解分式不等式. (2)①利用积的导数法则;②利用商的导数法则或先化简分式 再求导.

4 >0,即 x 2 ? x ? 2 >0, 【规范解答】(1)选C.f′(x)=2x-2x x

∵x>0,∴(x-2)(x+1)>0,∴x>2. (2)①y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx. ②方法一:
(e x ? 1)?(e x ? 1) ? (e x ? 1)(e x ? 1)? y′= (e x ? 1) 2 e x (e x ? 1) ? (e x ? 1)e x ?2e x = ? x . x 2 2 (e ? 1) (e ? 1) ex ? 1 ? 2 2 方法二:∵y= x ? 1? x , e ?1 e ?1 2 ?2e x ∴y′=1′+( x )′,即y′= x . 2 e ?1 (e ? 1)

【反思·感悟】准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的 运算法则,根据所给函数解析式的特点,确定求导方法.

导数的几何意义 【方法点睛】导数几何意义的应用 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下 几个方面: (1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:

k=f′(x0);
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k;

(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需 设出切点A(x0,f(x0)),利用k= f (x1 ) ? f (x 0 ) 求解.
x1 ? x 0

【提醒】审题时注意所给点是否是切点.

【例2】(1)(2011·湖南高考)曲线y=
处的切线的斜率为(
1 (A) ? 2 1 (B) 2

? sinx 1 ? 在点M( , 0) 4 sinx ? cosx 2

) (C) ? 2
2

(D) 2
2

(2)(2011·山东高考)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( (A)-9 ) (C)9 (D)15

(B)-3

【解题指南】利用导数的几何意义,(1)可以直接求出切线斜率;

(2)先求出切线方程,得到与y轴交点的纵坐标.

【规范解答】(1)选B.

y′= cosx(sinx ? cosx) ? sinx(cosx ? sinx) 2
(sinx ? cosx)

=

1 , 2 (sinx ? cosx)
?? 4

所以 y? |

x?

1 ? . ? ? 2 2 (sin ? cos ) 4 4

1

(2)选C.∵y′=3x2,∴切线斜率为3,∴切线方程为y=3x+9,与
y轴交点的纵坐标是9.

【反思·感悟】1.要体会切线定义中的运动变化思想,由割线

→切线,由两个不同的公共点无限接近→重合(切点).
2.利用导数的几何意义求曲线的有关切线问题时,一定要抓住 切点的多面性:在曲线上、在切线上,该点处的导数是切线斜 率.

【易错误区】导数几何意义应用的易错点
【典例】(2012·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3和y=ax2+ 15 x -9都相切,则a等于(
4

)

25 64 (C) ? 7 或 ? 25 4 64

(A)-1或 ?

(B)-1或 21
4 7 (D) ? 或7 4

【解题指南】因为点(1,0)不在曲线y=x3上,所以应从设切点 入手来求切线方程,再利用切线与曲线y=ax2+ 15 x -9相切求a
4

的值. 【规范解答】选A.设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03), 所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03,又(1,0)在
3 , 当x0=0时,由y=0与y=ax2+ 15 x -9相 2 4 15 切可得a= ? 25, 当x0= 3 时,由y= 27 x ? 27 与y=ax2+ x -9相 4 64 4 4 2

切线上,则x0=0或x0=

切可得a=-1,所以选A.

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下

误区警示和备考建议:
在解答本题时有两个易错点: 误 区 警 示 (1)审题不仔细,未对点(1,0)的位置进行判断,误 认为(1,0)是切点;

(2)当所给点不是切点时,无法与导数的几何意义联
系.

解决与导数的几何意义有关的问题时,以下几点在 备 考 建 议 备考时要高度关注: (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键;

(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌
握; (3)对于直线的方程与斜率公式的求解要熟练掌握.

1.(2011·重庆高考)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为
( (A)y=3x-1 (C)y=3x+5 (B)y=-3x+5 (D)y=2x )

【解析】选A.由y′=-3x2+6x知,切线斜率为k=-3+6=3.所以切 线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1.

2.(2012·深圳模拟)已知f(x)=lnx(x>0),f(x)的导数是 f′(x),若a=f(7),b=f′( ),c=f′( 关系是( (A)c<b<a (C)b<c<a ) (B)a<b<c (D)b<a<c
1 2

1 2

1 ),则a、b、c的大小 3

【解析】选B.a=f(7)=ln7,又f′(x)= 1 ,故b=f′( 1 )? 1
x

2

=2,c=f′( 1 )= 1 =3,故c>b>a.
3
1 3

3.(2012·黔东南州模拟)函数f(x)=mx3+(m+1)x2+x+2,若f′(1) =18,则m=( (A)4 ) (B)3 (C)5 (D)6

【解析】选B.∵f′(x)=3mx2+2(m+1)x+1,

∴f′(1)=3m+2m+2+1=18,∴m=3.

4.(2012·合肥模拟)设曲线y= 1 在点(1,1)处的切线与直线
x

ax+y+1=0垂直,则a=_____. 【解析】∵y= , ∴y′= ?
x

1 x

1 , 2 x

∴y= 1 在点(1,1)处的切线斜率k=-1. 又∵该切线与ax+y+1=0垂直, ∴k·(-a)=-1,∴a=-1. 答案:-1

5.(2012·福州模拟)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C

在点P处的切线倾斜角取值范围是[0, ? ],则P点横坐标的取
4

值范围是_______. 【解析】∵y=x2+2x+3,∴y′=2x+2.
? 又∵曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为[0, ], 4

∴斜率k的取值范围是0≤k≤1. 设P(x0,y0),则k=y′|x=x0=2x0+2, ∴0≤2x0+2≤1,即-1≤x0≤ ? . 答案:[-1, ? ]
1 2 1 2


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