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江苏省2016届高三三模填空题压轴题解析



一、苏北三市(徐州市、连云港市、宿迁市)2016 届高三最后一次模拟 x?4 11.已知点 P, Q 分别是曲线 y ? 与直线 4 x ? y ? 0 上的动点, 则线段 PQ 长的最小值为 x

12. 已 知 a, b, c 是 同 一 平 面 内 的 三 个 向 量 , 其 中 a , b 是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 , 且

(a ? c) ? ( 3b ? c) = 1 ,则 | c | 的最大值为

13.已知对满足 x ? y ? 4 ? 2 xy 任意正实数 x , y ,都有 x2 ? 2xy ? y 2 ? ax ? ay ? 1 ? 0 ,则 实数 a 的取值范围为 .

14.已知经过点 P (1, ) 的两个圆 C1 , C2 都与直线 l1 : y ? 心距 C1C2 等于 .

3 2

1 x, l2 y ? 2 x 相切, 则这两个圆的圆 2

第 1 页 共 10 页

二、南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试
12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M:(x-a)2+(y+a-3)2=1(a>0),点 N 为圆 M 上任意一 点.若以 N 为圆心,ON 为半径的圆与圆 M 至多有一个公共点,则 a 的最小值为 .

1 ? ?x- x ,x≥a, 13.设函数 f(x)=? e g(x)=f(x)-b.若存在实数 b,使得函数 g(x)恰有 3 个零 ? ?-x-1,x<a, 点,则实数 a 的取值范围为 .

? 2x ? a ? x ? 1? ? 变题 1:(2015·北京理·14):设函数 f ? x ? ? ? ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥1.
①若 a ? 1,则 f ? x? 的最小值为 是 . ;②若 f ? x? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围

变题 2: (2015· 天津理· 8)已知函数 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

函数 g ? x ? ? b ? f ? 2 ? x ? ,

其中 b ? R ,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是

第 2 页 共 10 页

x-2y 14.若实数 x,y 满足 2x2+xy-y2=1,则 2 的最大值为 5x -2xy+2y2



变题:(2015·盐城南京·一摸)若实数 x , y 满足 x ? y ? 0 ,且 log 2 x ? log 2 y ? 1 ,则

x2 ? y 2 的最小值为 x? y



.

三、南通 2016 届高三三模
2 2 14.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1 : ? x ? 1? ? y ? 2 ,圆 C2 : ? x ? m ? ? ? y ? m ? ? m , 2 2 2

若圆 C2 上存在点 P 满足:过点 P 向圆 C1 作两条切线 PA, PB, 切点为 A, B , ?ABP 的面积 为 1,则正数 m 的取值范围是 .

四、苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)
B, 14. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 点 A( 1 , 0 ) (0, C 1 )a , b( D , ) c, , d( 若,不 ) 等式

??? ?2 ???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? 对任意实数 a, b, c, d 都成立, 则实数 m CD ? (m ? 2)OC ? OD ? m(OC ? OB) ? (OD ? OA) ,
的最大值为

变题 1:已知 x、 y 都是正数,且满足 xy =

x+ y ,则 x 的最小值是 x- y

.

变题 2(苏州市五市三区 2013 届高三期中考试试题第 14 题) 已知 a, b, c ? 0 ,则

a2 ? b2 ? c2 的最小值为 ab ? 2bc

.

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一、苏北三市(徐州市、连云港市、宿迁市)2016 届高三最后一次模拟 x?4 11.已知点 P, Q 分别是曲线 y ? 与直线 4 x ? y ? 0 上的动点, 则线段 PQ 长的最小值为 x x?4 ) 解 析 1 : 设 P( x , , 点 P 到 直 线 4x ? y ? 0 的 距 离 为 d 得 , 则 x
PQ ? d ? | 4x ? x?4 1 | | 4( x ? ) ? 1| x ? x 17 17

因为 x ?

1 1 ? x ? ? 2 ,所以当 x ? 1 ? ?2 ,即 x ? ?1 时, PQ 取得最小值为 7 17 . x x x 17
x?4 相切时,切点到直线的距离 x

解析 2:不难得到,当直线 4 x ? y ? 0 平移到和曲线 y ? 中较小的应是 PQ 的最小值. 令 y? ? ?

4 ? ?4 ,得 x ? ?1 ,所以切点为 A(1,5) 或 B(?1, ?3) ,点 A, B 到直线 4 x ? y ? 0 x2

的距离分别为

9 17 7 17 7 17 和 ,所以 PQ 的最小值为 . 17 17 17

12. 已 知 a, b, c 是 同 一 平 面 内 的 三 个 向 量 , 其 中 a , b 是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 , 且

(a ? c) ? ( 3b ? c) = 1 ,则 | c | 的最大值为
解析 1:(坐标化,几何法) 设

a ? (1,0), b = (1,0), c = ( x, y)





(a ?

c) ?

(

b3 ?

c可 ) 化 = 1为

1 3 1 3 ( x ? )2 ? ( y ? ) 2 ? 2 ,它表示以 ( , ) 为圆心,以 2 为半径的圆, | c | 表示原点到 2 2 2 2
此圆上动点的距离,所以 | c | 的最大值为 1 ? 2 解析 2:(借用线性规划知识,几何法) 由解法 1 得 ( x ? ) ? ( y ?
2

1 2

3 2 2 2 ) ? 2 ,即 x ? y ? x ? 3 y ?1 ? 0 2 1 2
2

所 以 | c |2 ? x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 1 , 转 化 为 在 约 束 条 件 ( x ? ) ? ( y ?

3 2 ) ? 2 下,求 2

x ? 3 y ?1 的最大值问题,利用规划知识求解(设 x ? 3 y ? 1 ? t 当直线与圆相切时, ,
第 4 页 共 10 页

取得最值,下略). 解析 3:(判别式法) 由解法 2,设 x ? 3 y ? 1 ? t ,代入圆方程,消 y ,转化为关于 x 的一元二次方程有实 根(下略). 解析 3:(三角换元法) 由解法 1 得 ( x ? ) ? ( y ?
2

1 2

3 2 ) ? 2 ,实施三角换元, 2

1 ? x ? ? 2 cos ? ? 2 ? 令? (其中? ? R) 3 ?y ? ? 2 sin ? ? ? 2
1 3 2 2 则 | c |2 =( ? 2 cos ?) +( ? 2 sin ?) =3+ 2 cos ? + 6 sin ? =3+2 2 sin(? ? ? ) 2 2
所以 | c | 的最大值为 1 ? 2 .

13.已知对满足 x ? y ? 4 ? 2 xy 任意正实数 x , y ,都有 x2 ? 2xy ? y 2 ? ax ? ay ? 1 ? 0 ,则 实数 a 的取值范围为 解 析 : 由 . 得

x ? y ? 4 ? 2 xy

x? y?4?

( x ? y)2 2

, 解 得

x? y ?4 ,

x2 ? 2xy ? y 2 ? ax ? ay ? 1 ? 0 恒 成 立 , 由 x2 ? 2xy ? y 2 ? ax ? ay ? 1 ? 0 得
a ? ( x ? y) ? 1 ) x ? y 恒成立
17 , 4

( x ? y) ? a( x ? y) ? 1 ? 0 ,等价于
2

设 f (t ) ? t ? (t ? x ? y ? 4) ,则 f (t ) 在 [4, ??) 为增函数,所以 f (t ) min ? f (4) ? 所以 a 的取值范围为 (??,

1 t

17 ]. 4

14.已知经过点 P (1, ) 的两个圆 C1 , C2 都与直线 l1 : y ? 心距 C1C2 等于 .

3 2

1 x, l2 y ? 2 x 相切, 则这两个圆的圆 2

x, y ),由于圆与直线 y = 2 x 、 y = 解析:设圆心坐标为 (
根据点到直线距离公式得:

1 x 都相切 2

x- 2y 5

=

2x - y 5

, 解之得 y = ? x , 易知圆心只能在 y = x 上.

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设 C1 (a, a)、C2 (b, b) , 则圆 C1、C2 的方程分别为 (x - a) + ( y - a ) =
2 2

a2 b2 、 (x - b) 2 + ( y - b) 2 = 5 5

将 (1, ) 代入得 ( 1- a ) 2 + ( - a ) 2 =

3 2

3 2

a2 3 b2 、 , ( 1 - b ) 2 + ( - b) 2 = 5 2 5

3 x2 9x2 13 2 2 a 、 b 所以 方程 ,即 ( 1- x ) + ( - x ) = - 5x + = 0 的两根, 2 5 5 4

C1C2 =

2(a - b)2 =

2[(a + b)2 - 4ab] =

4 5 . 9

二、南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试
12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M:(x-a)2+(y+a-3)2=1(a>0),点 N 为圆 M 上任意一 点.若以 N 为圆心,ON 为半径的圆与圆 M 至多有一个公共点,则 a 的最小值为 .

解析:由于圆 N 与圆 M 至多有一个公共点,故圆 N 的半径不小于圆 M 的直径 2(两圆内含 或内切),故只需圆 M 上的点与坐标原点 O 之间的距离的最小值大于等于 2 即可. 易知, 圆上任意一点与圆外一点距离的最小值, 是圆心与该点连线与圆的交点及圆心间

_ _
_

距离为最小.

8

问题转化为圆 M 的圆心 M 与 O 之间的距离的大于等于 3, 而圆心 M 在射线 x +y-3=0(x
6

>0)上,故易求得 a 的最小值为 3. 考点:两圆的位置关系判断、轨迹方程、圆上任意 一点与圆外一点距离的最小值何时取得等.
2 4

f?x? =

-15

1 ? ?x- x ,x≥a, 13.设函数 f(x)=? e g(x)=f(x)-b.若 -10 -5 ? -x-1,x<a, ? 存在实数 b,使得函数 g(x)恰有 3 个零点,则实数 a 的取值范围为 . 解析:如右图,对于函数 f ( x) =
-2

x-1 ex
5 10

x- 1 ex
- 2

g?x? = -x-1

-4

在 x = 2 处取得极大值, f ( x)极大值 = e .
-6

第 6 页 共 10 页
-8

所以函数 g(x)恰有 3 个零点,只需函数 f(x)的图象与垂直于 y 轴的直线有三个交点,故

- a - 1 < e- 2 ,且 a < 2 ,即 - 1- e- 2 < a < 2 .
考点:考察综合运用导数作函数图象的能力、 零点判断、逆向思维能力等.

? 2x ? a ? x ? 1? ? 变题 1:(2015·北京理·14):设函数 f ? x ? ? ? ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥1.
①若 a ? 1,则 f ? x? 的最小值为 是 . ;②若 f ? x? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围

【答案】(1)1,(2)

1 ? a ? 1或 a ? 1 . 2

考点:1.函数的图象;2.函数的零点;3.分类讨论思想. 变题 2: (2015· 天津理· 8)已知函数 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

函数 g ? x ? ? b ? f ? 2 ? x ? ,

其中 b ? R ,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是 (A) ?

7? ?7 ? ? ? 7? ?7 ? , ?? ? (B) ? ??, ? (C) ? 0, ? (D) ? , 2 ? 4? ?4 ? ? ? 4? ?4 ?

【答案】D 【解析】 试题分析:由 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , ? ?? x ? 2 ? ,
2

x ? 2, x ? 2,

得 f (2 ? x ) ? ?

? ?2 ? 2 ? x , x ? 0 , 2 x , x ? 0 ? ?

?2 ? x ? x 2 , x?0 ? 0 ? x ? 2, 所以 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?4 ? x ? 2 ? x , ? 2 ?2 ? 2 ? x ? ( x ? 2) , x ? 2
? x 2 ? x ? 2, x ? 0 ? 即 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?2, 0? x?2 ? x 2 ? 5 x ? 8, x ? 2 ?
y ? f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? b ,所以 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点等价于方程 f ( x ) ? f (2 ? x ) ? b ? 0 有 4 个不同的解,即函数 y ? b 与函数 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) 的图
象的 4 个公共点,由图象可知

7 ? b ? 2. 4

第 7 页 共 10 页

8 6 4 2 15 10 5 2 4 6 8 5 10 15

考点:求函数解析式、函数与方程、数形结合. x-2y 14.若实数 x,y 满足 2x2+xy-y2=1,则 2 的最大值为 5x -2xy+2y2 .

解析:因为 2x2+xy-y2=(2x-y)(x+y), x-2y=(2x-y)-(x+y),5x2-2xy+y2=(2x -y)2 +(x+y)2,设 2x-y=u,x+y= v. 问题转化为“已知 u ?v

1 ,求

u- v 的最大值”. u 2 + v2



u- v u- v 1 = = 2 2 2 u +v (u - v) + 2uv (u - v) +

2 u- v

?

1 2 2(u - v) ? u- v

2 , 4

x-2y 2 所以 2 的最大值为 ,当且仅当 u - v = 4 5x -2xy+2y2 考点:考察式子变形能力、数学感、基本不等式.

2 时,取得最大值.

变题:(2015·盐城南京·一摸)若实数 x , y 满足 x ? y ? 0 ,且 log 2 x ? log 2 y ? 1 ,则

x2 ? y 2 的最小值为 x? y
答案:4



.

三、南通 2016 届高三三模
2 2 14.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1 : ? x ? 1? ? y ? 2 ,圆 C2 : ? x ? m ? ? ? y ? m ? ? m , 2 2 2

若圆 C2 上存在点 P 满足:过点 P 向圆 C1 作两条切线 PA, PB, 切点为 A, B , ?ABP 的面积 为 1,则正数 m 的取值范围是 .
第 8 页 共 10 页

2 解析: 由 ?ABP 的面积为 1 可求得:PC1 = 2 , 问题转化为圆 C2 : ? x ? m ? ? ? y ? m ? ? m 2 2 2 2 上存在点 P , 使 PC1 = 2 , 即圆 C2 : ? x ? m ? ? ? y ? m ? ? m 与 C1? : ? x ? 1? ? y ? 4 有交 2 2

2

点. 所以 2 ? m ?

? m ?1?

2

? (?m)2 ? 2 ? m ,解之得 1 ? m ? 3 ? 2 3 .
? ?

所以正数 m 的取值范围是 ?1,3 ? 2 3 ? .

四、苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)
B, 14. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 点 A( 1 , 0 ) (0, C 1 )a , b( D , ) c, , d( 若,不 ) 等式

??? ?2 ???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? 对任意实数 a, b, c, d 都成立, 则实数 m CD ? (m ? 2)OC ? OD ? m(OC ? OB) ? (OD ? OA) ,
的最大值为 解析 1:CD ? (m ? 2)OC ? OD ? m(OC ? OB) ? (OD ? OA) 任意实数 a, b, c, d 都成立等价于

??? ?2

???? ????

???? ??? ?

???? ??? ?

a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? m(ac ? bd ? bc) 对任意 a, b, c, d 都成立,由于求 m 最大值,所以可只
考虑 m ? 0 的情形, 当 ac ? bd ? bc ? 0 时, a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? m(ac ? bd ? bc) 恒成立, 当 ac ? bd ? bc ? 0 时,则 m ?

a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 恒成立,下面用待定系数法求 ac ? bd ? bc

a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 的最小值 ac ? bd ? bc a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 (a 2 ? xc 2 ) ? ( yb2 ? d 2 ) ? (1 ? y )b2 ? (1 ? x)c 2 ? ac ? bd ? bc ac ? bd ? bc

?

2 xac ? 2 ybd ? 2 (1 ? x)(1 ? y )bc ac ? bd ? bc

令 x?

y ? (1? x)(1? y) ,其中 x, y ? (0,1) ,解得 x ?

3? 5 5 ?1 , x? , 2 2

所以

a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? 5 ? 1 ,所以 m ? ( ) min ? 5 ? 1,故 m 的最大值 ac ? bd ? bc ac ? bd ? bc

第 9 页 共 10 页

为 5 ?1 解析 2:由题意得: (a ? c)2 ? (b ? d )2 ≥ (m ? 2)(ac ? bd ) ? mbc ,

a2 +c2 ? b2 +d 2 ≥ m(ac ? bd ? bc) a2 ? (mc)a+(c2 ? b2 +d 2 ? mbd ? mbc) ≥ 0 对任意实数 a 都成立,因此 ? ? (mc)2 ? 4(c2 ? b2 +d 2 ? mbd ? mbc) ? 0 ,即 4d 2 ? 4mbd ? 4(c2 ? b2 ? mbc) ? (mc)2 ? 0 对任
意实数 d 都成立,即 ?1 ? (4mb)2 ? 4 ? 4(4c2 ? 4b2 ? 4mbc ? m2c2 ) ? 0 ,

(m2 ? 4)b2 ? 4mbc ? 4c2 ? m2c2 ? 0 对任意实数 b 都成立,即 m2 ? 4 ? 0, ?2 ? (4mc)2 ? (m2 ? 4)(?4c2 ? m2c2 ) ? 0 , m4 ? 12m2 ? 16 ? 0,
m2 ? 6 ? 2 5 ,即 1 ? 5 ? m ? 5 ? 1 ,实数 m 的最大值是 5 ? 1
考点:不等式恒成立 变题 1:已知 x、 y 都是正数,且满足 xy =

x+ y ,则 x 的最小值是 x- y

.

答案: 2 + 1 . 变题 2(苏州市五市三区 2013 届高三期中考试试题第 14 题) 已知 a, b, c ? 0 ,则

a2 ? b2 ? c2 的最小值为 ab ? 2bc
2

.

4 2 2 1 4 2 1 2 (a 2 ? b 2)( ? b 2 +c 2) 2 a ? b ? 2 b ? c a ?b ?c 2 5 5 5 5 5 = ? = 解析 1: . ab ? 2bc ab ? 2bc ab ? 2bc 5
2 2

a c ( )2 ? 1 ? ( )2 2 2 2 a 2 ? b2 ? c2 b ,设 a =x, c =y , a ? b ? c =t (t >0) . 解法 2: = b a c b b ab ? 2bc ab ? 2bc ?2 b b
t 5 x2 ? 1 ? y 2 则满足等式 =t 的 x,y 存在,去分母后配方得: (x ? ) 2 ? (y ? t ) 2 = t 2 ? 1 ,故 2 4 x ? 2y
5 2 2 5 t ? 1 ? 0 ,解得 t ? . 4 5

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