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“函数的应用”解题方法指导


“函数的应用”解题方法指导 函数的应用”解题方法指导 方法
1.已知一次函数 y=x+m 与反比例函数 y=

m +1 的图象在第一象限内的交点为 P(x0,3). x

(1)求 x0 的值;(2)求一次函数和反比例函数的解析式. 解:(1)x0=1,(2)y=x+2,y=

3 . x m 的图象交于 A(-2,1),B( 1,n) x

2.如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=

两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围.

解:(1)把 A(-2,1)代入 y=

m ,得 m=-2, x 2 ?2 即反比例函数为 y=- ,则 n= ? n=-2. x 1

即 B(1,-2),把 A(-2,1),B(1,-2)代入 y=kx+b, 求得 k=-1,b=-1,所以 y=-x-1. (2)x<-2 或 0<x<1. 3.已知 y+a 与 x+b 成正比例,且当 x=1,-2 时,y 的值分别为 7,4.求 y 与 x 的函数关 系式. 解:设 y+a=k(x+b),x=1 时,y=7 时,7+a=k(1+b). x=-2,y=4 时,得 4+a=k(-2+b),联立得 ?

?k = 1, 故 y=x+6. ?b ? a = 6.

4.图中的直线的交点可看作是方程组的解, 请用你所学的知识求出这个方程组.

-1-

解:L1 与 L2 交点坐标为(2,3),L1 与 y 轴交点为(0,

3 ), 2

? ?y = ? ? ?y = ? ?

3 x, 2 即为所求方程组. 3 3 x+ 4 2
3 x+1 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,以线段 AB 为边在 3

5.如图,一次函数 y=-

第一象限内作等边△ABC. (1)求△ABC 的面积. (2)如果在第二象限内有一点 P(a,

1 ),请用含 a 的式子表示四边形 ABPO 的面 2

积, 并求出当△ABP 的面积与△ABC 的面积相等时 a 的值.

解:(1)y=-

3 x+1 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点, 3

∵A( 3 ,0),B(0,1).∵△AOB 为直角三角形,∴AB=2.

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∴S△ABC=

1 ×2×sin60°= 3 . 2 1 1 1 1 (2)SABPO=S△ABO+S△BOP= ×OA×OB+ ×OB×h= × 3 ×1+ ×1×│a│. 2 2 2 2
∵P 在第二象限,∴SABPO=

3 a - , 2 2

S△ABP=SABPO-S△AOP=(

3 a 1 1 - )- ×OA× . 2 2 2 2

∴S△ABP=

3 a 3 3 a - = - =S△ABC= 3 . 2 2 4 4 2

∴a=-

3 3 . 2

6.某产品每件成本 10 元,试销阶段每件产品的销售价 x(元) 与产品的日销售量 y(件) 之间的关系如下表:
x(元) y(件) 15 25 20 20 30 10 … …

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数. (1)求出日销售量 y(件)与销售价 x(元)的函数关系式. (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元? 此时每日销售利 润是多少元? 解:(1)y=-x+40. (2)设日销售利润为 S 元,则 S=y(x-10), 把 y=-x+40 代入得 S=(-x+40)(x-10)=- x2+50x-400=-(x2-50x+400). S=-(x-25)2+225. 所以当每件产品销售价为 25 元时,日销售利润最大,为 225 元. 7.已知:如图,函数 y=-x+2 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,一直线 L 经过点 C(1, 0)将△AOB 的面积分成相等的两部分. (1)求直线 L 的函数解析式; (2)若直线 L 将△AOB 的面积分成 1:3 两部分,求直线 L 的函数解析式.

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解:(1)设 L 为 y=kx+b,由题意得 y=2x+2. (2)y=-x+1 或 x=1. 22.(10 分) 10.如图, 公园要建造圆形的喷水池, 在水池中央垂直水面处安装一个柱子 OA,O 恰好 在水面中心,OA=12.5 米,由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水, 水流在各个方向沿形状相 同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流离 OA 距离为 1 米处达到距 水面最大高度 2.25 米,如果不计其他因素,那么水池半径至少要多少米?

解:以 O 为坐标原点,OA 为 y 轴,建立平面直角坐标系, 设抛物线的顶点为 B, 水流落水与 x 轴交点为 C, 则 A(0,1.25),B(1,2.25),C(x,0). 设抛物线为 y=a(x-1)2+2.25, 将点 A 代入,得 a=-1, 当 y=-1(x-1)2+2.25=0 时,得 x=-0.5(舍去),x=2.5, 故水池半径至少要 2.5 米.

m y= y = kx + b 的图象与反比例函数 x 的图象交于点 9.(2010 威海中考)如图,一次函数 A﹙-2,-5﹚,C﹙5,n﹚,交 y 轴于点 B,交 x 轴于点 D. m y= y x 和一次函数 y = kx + b 的表达式; (1)求反比例函数
(2)连接 OA,OC.求△AOC 的面积.
C O D B A x

解:(1)∵ 反比例函数

y=

m x 的图象经过点 A﹙-2,-5﹚,
-4-

∴ m=(-2)×( -5)=10. ∴ 反比例函数的表达式为 ∵ 点 C﹙5,n﹚在反比例函数的图象上, 10 n= =2 5 ∴ . ∴ C 的坐标为﹙5,2﹚. ∵ 一次函数的图象经过点 A,C,将这两个点的坐标代入 y = kx + b ,得
?? 5 = ?2k + b, ? ?2 = 5k + b. ?k = 1, ? 解得 ?b = ?3.

y=

10 x .

∴ 所求一次函数的表达式为 y=x-3. (2) ∵ 一次函数 y=x-3 的图像交 y 轴于点 B, ∴ B 点坐标为﹙0,-3﹚. ∴ OB=3. ∵ A 点的横坐标为-2,C 点的横坐标为 5, 1 1 1 21 ? OB ? - 2 + ? OB ? 5 = ? OB ? (2 + 5) = 2 2 2 . ∴ S△AOC= S△AOB+ S△BOC= 2 10.某医院研发了一种新药,试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服药 2 小 时后,血液中含药量最高,达每毫升 6 微克,接着逐渐衰减,10 小时后血液中含药量用每 毫升 3 微克,每毫升血液中含药 y(微克)随时间 x(时)的变化如图 9-3 所示,当成人 按规定剂量服药后. (1)分别求出 x≤2 和 x≥2 时,y 与 x 之间的关系式. (2)如果每毫升血液中含药量为 4 微克和 4 微克以上时治疗疾病是有效的,那么这 个有效时间有多长?

解:(1)当 x≤2 时,y=3x,当 x≥2 时,y=(2)在 y=3x 中,令 y≥4,则可得 x≥ 在 y=-

3 27 x+ . 8 4

4 . 3

3 27 22 x+ 中令 y≥4,可得 x≥ 8 4 3 22 4 故有效时间为 - =6 小时. 3 3
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11.现计划把甲种货物 1 240 吨和乙种货物 880 吨用一列货车运往某地,已知这列货车挂 A、B 两种不同规格的车厢共 40 节,使用 A 型车厢每节费用为 6 000 元,使用 B 型车厢, 费用为每节 8 000 元. (1)设运送这批货物的总费用为 y 万元,这列货车挂 A 型车厢 x 节,试写出 y 与 x 之间的函数关系式. (2)如果每节 A 型车厢最多装甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨,每节 B 型车厢最多 可装甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨,装货时按此要求安排 A、B 两种车厢的节数,那 么共有哪几种安排车厢方案? 解:(1)设用 A 型车厢 x 节,则用 B 型车厢(40-x)节,总运费为 y 万元, 依题意有 y=0.6x+0.8(40-x)=-0.2x+32. (2)依题意,得 ?

?35 x + 25(40 ? x) ≥ 1 240, ?15 x + 35(40 ? x) ≥ 880,

化简,得 ?

?10 x ≥ 240, ∴24≤x≤26. ?520 x ≥ 20 x.

∴有三种装车方案 ①24 节 A 车厢和 16 节 B 车厢; ②25 节 A 型车厢和 15 节 B 型车厢; ③26 节 A 型车厢和 14 节 B 型车厢. (3)由函数 y=-0.2x+32 知,当 x=26 时,运费最省,这时 y=-0.2×26+32=26.8 万元.

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