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高一数学上学期期末测试卷(带答案)


高一数学(一)
一.选择题: 1.函数 f(x)= 1 ? x ? ln x 的定义域为( )

A. (??,1] B.(0,+ ? ) C.(0,1 ] D.(0,1) ? (1,??) 2.下列函数中,既是奇函数,又是增函数的是( ) x A. y=-2x B. y ? 2 C. y ? lg x D. y ? x 3 3. 已知空间直角坐标系中一点 A(-3,1,-4),则点 A 关于 x 轴对 称点的坐标为( ) A.(-3,-1,4) B.(-3,-1,-4) C.(3,1,4) D.(3,-1,-4) 4.函数 f ? x ? ? log3 x ? 8 ? 2 x 的零点一定位于区间( ) A.

? 5, 6 ?

B.

? 3, 4 ?

C.

? 2, 3?

D. ?1, 2 ?

5.下列几何体中,正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序 号是( ) A.(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)

6.半径为 R 的球的内接正方体的表面积是( 4 A. R 2 B. 2R 2 C. 4R 2 3

) D. 8R 2

7.已知 ? , ? , ? 是三个不同的平面, m,n 是两条不同的直线 ,下 列命题中正确的是( .. ) B. 若 m// ? , ? , ? // ? m// 则

A.若 m// ? , ? , m//n n// 则

C.若 ? ? ? ,? ? ? 则 ? // ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ? 8、若 ac ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c ? 0 不经过( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

9、若直线 L:ax+by=1 与圆 C: x 2 ? y 2 ? 1 相切,则点 P(a,b) 与圆 C 的位置关系是 ( A.在圆上 ) C.在圆内 D.以上皆有可能

B.在圆外

10、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( A.
6 3 15 5


D1 C1 B1

B.
10 5

2 6 5

A1

D A B

C

C.

D.

二.填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分) 11 . 圆 心 在 ( 2 , -1 ) 且 与 y 轴 相 切 的 圆 的 标 准 方 程 为 。

12.三个数 a=0.76,b=60.7 , c=log0.76 的大小关系是 (用“>”从大到小排列)。 13. 过 点 P ( 2,3 ) 且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 的 直 线 方 程 为 。

14.如图,函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A,B,C 的坐标分别为 (0,,,,, ,则 f ( f (0)) ? 4) (2 0) (6 4) 。

15. 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C, 有如下四个结论:(1) ? ABD 为 二面角 A-BC-D 的平面角; (2)AC ? BD; (3)△ACD 是等边三角形;

(4)直线 AB 与平面 BCD 成 600 的角; 其中正确的结论的序号是 三.解答题(本大题共6个小题,共计60分). 16(本题满分 9 分).已知集合 M={x|x2-3x+2=0},N={ x ? z | ?1 ? x ? 1 ? 2 },Q={1,a2+1,a+1} (1).求:M ? N;(2) .若 M ? Q,求实数 a 的值。 17(本题满分 9 分) 已知直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0, l2 : x ? y ? 2 ? 0 , 设其交点为点 P。 (1) 求交点 P 的坐标; (2) 设直线 l3 : 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 ,分别求过点 P 且与直线 l 3 平行 和垂直的直线方程. 18.(本题满分 10 分)已知函数 f(x)= (1)、求 f(2)与 f(
1 1 ),f(3)与 f( ); 2 3 1 )有什么关系?并 x
x2 1? x2

(2)、由(1)中求得结果,你能发现 f(x) 与 f( 证明你的结论;

(3)、 f(1)+f(2)+f(3)+ ? ? ? ? f (2009 ) ? f ( 1 ) ? f ( 1 ) ? ? ? ? ? f ( 1 ) 的值. 求
2 3 2009

19 ( 本 题 满 分 10 分 ) 如 图 , 在 四 面 体 ABCD 中 , C B? C, A D ,点 E,F 分别是 AB,BD 的中点.求证: D ? BD (1)直线 EF // 面 ACD ; B (2)平面 EFC ? 面 BCD .
F E

D

20(本题满分 11 分).

C

A

已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 .圆内一点 P (3, 5) (1).若 EF 为过点 P 且倾斜角 ? =1350 的弦,求 EF 的长; (2).若 AC 和 BD 分别为过 P (3, 的最长弦和最短弦,求四边形 5)
ABCD 的面积。

21(本题满分 11 分).一用户到电信局打算上网开户,经询问, 有三种月消费方式:(1)163 普通方式:上网资费 2 元/小时; (2)163A 方式:每月 30 元(可上网 50 小时),超过 50 小时以上 的资费为 2 元/小时; ADLSD 方式: 每月 50 元,时长不限(其 (3) 它因素均忽略不计)。(每月以 30 日计算) (1)、分别写出三种上网方式中所用月资费( y )与时间( x )的 函数关系式; (2)、在同一坐标系内画出三种上网方式中所用资费与时间的函数 图象; (3)、根据你的研究,给这一用户一个合理化的建议。

数学答案 一. 选择题: 题 1 2 3 4 5 号 答 C D A B D 案 二、填空题(4 分×5=20 分)
11、(x-2)2+(y+1)2=4 12、b>a>c 14、2 15、(2)(3)

6 D

7 D

8 C

9 A

10 D

13、 x ? y ? 5 ? 0 或 3 x ? 2 y ? 0

三.解答题: 16.解:(1).M={1,2},N={0,1,2,3}……………………….2 分

M ? N={1,2}…………………………………………………. (2). M ? Q

4分

当 a2+1=2 即 a=1 或-1 时, a=1Q={1,2,2}(舍)a=1 符合题意;……6 分 当 a+1=2 即 a=1 时, Q={1,1,1}(舍)……………………………..8 分 ? a= - 1……………………………………………………………9 分 17. 解: (1)?

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? x ? 0 得? ?y ? 2 ?x ? y ? 2 ? 0

交点 P( 0,2 )……….. 3


(2) 与直线 L3:3x-4y+5=0 平行的直线方程: 3 x ? 4 y ? 8 ? 0 ……………6 分 与直线 L3:3x-4y+5=0 垂直的直线的方程 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 …………………9 分

18.





(1).

f(2)=

4 5

f(

1 1 )= ………………………………………….1 分 2 5
f(3)=

9 10

f(

1 1 )= …………………………………………2 分 3 10
(2) f(x)

+f(

1 )=1…………………………………………………………3 分 x
f(x)
2

+f(

x 1 )= + x 1? x2

1 x2 1 1? 2 x

=1 ………………………………………6 分

(3). f(1)+f(2)+f(3)+ ? ? ? ? f (2009 ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? ? ? f ( ……10 分 19.? EF 是 ?BAD 的中位线

1 2

1 3

4017 1 )= 2 2009

? EF ? AD
又 EF ? 平面ACD,AD ? 平面ACD

? EF // 平面A CD 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
5分

() EF // AD,A D ? B D 2 ? ?B D ? EF 又?BD ? C F ? B D ? 面B C D 又B D ? 面E FC ? 面E FC ? 面B C D
10 分 20. ( 1 ) 。 直 线 EF 的 x+y-8=0………………………………………………..2 分 EF=2 25 ? 5分 (2)。最长的弦长为 10,最短的弦长为 4 6 。。。。。。。。。。。。。。。 7分 S= 方 程 : 。。。。 。。。 。。。 。。。。 。。 。。 。。。 。。。

1 =7 2 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 2

1 /AB//CD/=20 6 ………………………………………………………… 2

……..11 分 21、(1)。 y=2x((0

? 30 0 ? x ? 50 ? x ? 720 ),y ? ? , ? 50 0 ? x ? 720 …… y ( ) 50 ) ? 2 x ? 70( ? x ? 720
……3 分 (2)。

… ……………..7 分 (3)。每月 0——15 小时,选方案 1; 每月 15——60 小时,选方案 2; 每 月 60 小 时 以 上

…………………………

选 方 3。……………………………………………………..11 分




高一数学试题(二)
一、选择题(本题共有 12 小题,每小题 4 分, 共 48 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.下列几何体中是旋转体的是 ( ) ①圆柱;②六棱锥;③正方体;④球体;⑤四面体. A. ①和⑤ B. ① C. ③和④ D. ①和④ 2.如图,平面 ? 、 ? 、 ? 可将空间分成( A. 五部分 B. 六部分 C. 七部分 D. 八部分 3.直线 x – y +7= 0 的倾斜角等于( )



A. 30

?

B. 60

?

C. 45

?

D. 120 ) D.

?

4.如果直线 a x + 2y+2=0 与直线 3x – y–2=0 平行, 那么 a 等于( A. ? 3 B. ? 6 C. ?

3 2

2 3

5.下列结论正确的是( ) ⑴ 垂直于同一条直线的两条直线平行. ⑵ 垂直于同一条直线的两 个平面平行. ⑶ 垂直于同一个平面的两条直线平行. ⑷ 垂直于同一个平面的两 个平面平行. A. ⑴ ⑵ ⑶ B. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ C. ⑵ ⑶ D. ⑵ ⑶ ⑷ 6 . 正 方 体 的 内 切 球 的 体 积 为 36? , 则 此 正 方 体 的 表 面 积 是 ( ) A. 216
2 2

B. 72
2

C. 108

D. 648

7.若方程 x ? y ? ax ? 2 ay ? 2 a ? a ?1 ? 0 表示圆,则 a 的取值范围 ( ) A. a ? ?2 或 a ? C. ?2 ? a ? 0
2 2

2 3

2 ?a?2 3 2 D. ?2 ? a ? 3
B. ?

8 . 圆 C : x ? y ? 4x ? 2 y ? 0 关 于 直 线 y ? x ? 1 对 称 的 圆 的 方 程 是 ( )
2 2

A. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 C. ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 5
2 2

B. ( x ? 4) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 5
2 2

9.如图,三棱锥 D ? ABC 中, AC ? BD ,且 AC ? BD ,

E , F 分别是棱 DC, AB 的中点,则 EF 和 AC 所成的角
等于 A. 30 C. 60
? ?

( B. 45
?
?



D. 90

10.经过原点的直线 l 与圆 C : x ? ? y ? 4? ? 4 有公共点, 则直线 l 的斜
2 2

率的取值范围是 ( A. ? ? 3, 3 ?



?

?

? 3 3? , B. ? ? ? ? 3 3 ?

C( ?? , ? 3 )∪[ 3 ,+ ? ]D. ?? , ? (

3 3 )∪[ ,+ ? ] 3 3

1 , 3 , 5

11. 如图, 三棱柱 ABC ? A' B' C' 的所有棱长都相等, 侧棱与底面垂直,M 是侧棱 BB' 的中点, 则二面角 M ? AC ? B 的大小为( A. 30
?


?

B. 45

?

C. 60

?

D. 75

A' B' A M

C'

C B
第 12 题图

第 11 题图

12.在正方体 ABCD? A' B' C' D' 中,直线 BC' 与平面 A' BD 所成的角的 余弦值等于( ) A.

2 4

B.

3 3

C.

2 3

D.

3 2

二、填空题(本题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 13.请写出所给三视图表示的简单组合体由哪些几何体组成. . 14.经过圆 ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? 36 的圆心,并且与直线
2 2

x ? 2 y ? 2 ? 0 垂直的直线方程为______
2 2

.

15.已知实数 x, y 满足 2 x ? y ? 5 ? 0 ,则 x ? y 的最小 值为________. 16.已知点 M ( x, y ) 与两个定点 O(0,0) , A(5,0) 的距离的比为

1 ,则点 2

M 的轨迹方程为_______

.

三、解答题(本题共 6 小题, 共 56 分, 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.) 17. (8 分)过点 P (2, ) 的直线 l 与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别交 于点 A 、 B , O 为坐标原点, ?AOB 的面积等于 6,求直线 l 的方程. 18. 分)如图, PA 垂直于⊙ O 所在的平面, (8 AB 是⊙ O 的直径, C 是⊙ O 上一点,过点 A 作 AE ? PC ,垂足为 E . 求证: AE ? 平面 PBC.

3 2

19. (10 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, 四边形 ABCD 是平行四边形, E 、 F 分 别为 PA 、 BC 的中点. 求证: EF // 平面 PCD .

P E A D

B

F

C

20. (10 分)一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 ,求此圆的方程. 21 . ( 10 分 ) 已 知 圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 13 ? 0 与 圆
2 2 2

C2 : 2x?

y? 2

a ?x 6

2 ?y

?( 其 中 a ? 0 ) 相 外 切 , 且 直 线 1 ? a 0

l : (m ? 1) x ? y ? 7m ? 7 ? 0 与圆 C2 相切,求 m 的值.
22. (10 分)如图,四棱柱 ABCD? A' B' C' D' 中,侧棱与底面垂直,

AB // CD , AD ? DC ,且 AB ? AD ? 1, BC ? 2, AA ' ?
(1)求证: DB ? BC' ; (2) 求二面角 A '? BD ? C 的大小.

6 . 2

D' A' D A B B'

C'

C

高一数学试题参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共 48 分)
10.C 一、选择题(本题共有 12 小题,每小题 4 分, 共 48 分) 1. D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.D 8.C 9.B 11.A 12.B 二、填空题(本题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)

1 , 3 , 5

13.由圆柱和圆锥组成 14. 2 x ? y ? 11 ? 0 15. 5 16. 3x ? 3 y ? 10 x ? 25 ? 0
2 2

三、解答题(本题共 6 小题, 共 56 分, 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.) 17. 设直线 l 的方程为 解: 且 b ? 0.

x y 则 0 ,) ? ? 1 , A(a a b

, (0, b) , 由已知得 a ? 0 , B

因为 ?AOB 的面积等于 6,所以 3分 因为点 P (2, )在直线 l 上,所以

1 ab ? 6 ,所以 ab ? 12 .………… 2 2 3 2 2b ? 3 , ? ? 1 ,所以 ? a 2b a 2b

3 2

a?

4b , 2b ? 3
4b 2 2 代入 ab ? 12 , 得 所以 b ? 6b ? 9 ? 0 , 解得 b ? 3 . …… ? 12 , 2b ? 3

6分 所以 a ? 4 , 直线 l 的方程为 8分 18.证明:因为 PA ? 平面 ABC , 所以 PA ? BC. 又因为 AB 是⊙ O 的直径, C 是⊙ O 上一点, 所以 AC ? BC , 所以 BC ? 平面 PAC. …………5 分 而 AE ? 平面 PAC , 所以 AE ? BC. 又因为 AE ? PC ,所以 AE ? 平面 PBC. …………8 分 19.证明:取 PD 的中点 G ,连接 EG 、 CG .…………1 分 因为 AE ? PE , PG ? DG , 所以 EG // AD ,且 EG ?

x y 即 1 ? . ? ? 1 , 3x ?4 y ?2 0 4 3

…………

1 AD. ………3 分 2

P E A G D

又因为 四边形 ABCD 是平行四边形,且 F 是 BC 的中点.

1 AD. ………5 分 2 所以 CF EG ,所以 四边形 EFCG 是平行四边形, 所以 EF // CG . 又因为 EF ? 平面 PCD , CG ? 平面 PCD , 所以 EF // 平面 PCD .…………………………………………10 分 注意:此题也可以取 PB 的中点 M ,连接 ME 、 MF ,可以利用平 面与平面平行的判定定理证明 平面 MEF // 平面 PCD ,从而得出 EF // 平面 PCD .
所以 CF // AD ,且 CF ? 20.解:设圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,由已知得
2 2 2

? ?r 2 ? a 2 , ? …………………………………………5 分 ?a ? 3b ? 0, ? 2 ?( 7) 2 ? (a ? b) ? r 2 . ? 2
?a ? 3, ? a ? ?3, ? ? 解得 ?b ? 1, 或 ?b ? ?1, …………………………………………9 分 ?r ? 3. ? r ? 3. ? ?
故 所 求 圆 的 方 程 为

( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9



( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9. …………10 分
21.解:由已知, C1 (1, 2) ,圆 C1 的半径 r1 ? 3 2 ; C2 (a,3) ,圆 C2 的半 径 r2 ? 2 2 . 因为 圆 C1 与圆 C2 相外切,所以 整理,得 (a ? 1) ? 49 .
2

(a ? 1) 2 ? 1 ? 5 2 .…………4 分

又因为 a ? 0 ,所以 a ? 8 .……………6 分

因为直线 l 与圆 C2 相切,所以

8(m ? 1) ? 3 ? 7 m ? 7 (m ? 1) 2 ? 1

?2 2,



m?4 ( m ? 1) 2 ? 1

? 2 2 .……………………8 分

两边平方后,整理得 7m ? 8m ? 0 ,
2

8 .…………………………10 分 7 22.解:(1)作 BM ? CD ,垂足为 M ,连接 AM . 因为 AB // CD , AD ? DC , BM ? CD ,
所以 m ? 0 或 ? 且 AB ? AD ? 1, 所以 四边形 ABMD 是正方形, 所以 BM ? DM ? 1, 所以 BD ? 又因为 BC ?

D' A'
2.

C' B'

2, 所以 CM ? BC ? BM ? 1 ,
2 2

D
E

M

C

A

B

所以 CD ? 2 ,所以 CD ? BD ? BC ,
2 2 2

所以 DB ? BC .……3 分 又因为 CC? ? 平面 ABCD ,所以 DB ? BC' .…………………4 分 (2)设 AM 与 BD 交于点 E ,连接 A?E . 由(1)知, ME ? BD ,且 DE ? BE . 因为 A?A ? 平面 ABCD ,所以 A?A ? AD , A?A ? AB. 又因为 AB ? AD ? 1, 所以 A?D ? A?B . 又因为 DE ? BE ,所以 A?E ? BD. 综上可知 ?A?EM 是二面角 A '? BD ? C 的平面角. ……………7 分 在 ?A?AE 中,因为 AA ' ? 所以

6 1 2 , AE ? BD ? , 2 2 2

tan ?A?EA ?

AA? ? 3 ,所以 AE

?A?EA ? 60? , 所 以

?A?EM ? 120? ,

所以 二面角 A '? BD ? C 的大小为 120 .…………
?

注意: 本题的第 (1) 问也可以通过计算得出 BD ?

2 ,BC ? ?

14 , 2

C ?D ?

22 , 2
2 2 2

所以 C?D ? BC? ? BD ,因此, DB ? BC?.

高一上学期期终考试试题答案(三)
一、选择题: 1.设集合 A ? {x | 2 ? x ? 4} , B ? {x | x ? 3},那么 A ? B 等于( (A) x | x ? 2} (B) x | x ? 3} (C) x | 3 ? x ? 4} { { { 2.已知函数 f ( x) ? ? (A)-2 A )

(D) x | 3 ? x ? 4} {

? x( x ? 3) ( x ? 0) ,则 f (?2) ? ( B ) ( x ? 0) ? x( x ? 3)
(B)10 (C) 2 (D) -10

3. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0时,f ( x) ? x ? x ,
3

则当 x ? 0时,f ( x) ? ( B ) (A) f ( x) ? x ? x
3

(B) f ( x) ? ? x ? x
3

(C) f ( x) ? ? x ? x
3

(D) f ( x) ? x ? x
3

4.已知点 A(1, 3 ), B(?1,3 3 ) ,则直线 AB 的倾斜角是( C ) (A)

? 3
2

(B)

? 6

(C)

2? 3

(D)

5? 6

5.函数 f ( x) ? (A) x | x ? ? ?

log (3x ?1) 的定义域为(
(B) x | x ? ?

B ) (D) x | x ? ?

? ?

1? 3?

? ?

1? 2? ? ? (C) x | x ? ? ? 3? 3? ?

? ?

2? ? 3?

6. 函数 f ( x) ? 3x ? 4 的零点所在区间为( C ). (A) ( ? 1,0) (B) (0,1) (C) (1,2) D. (2,3) 7.已知直线 a、b 和平面 ? ,有以下四个命题:①若 a∥ ? ,a∥b,则 b ∥ ? ;②若 a ? ? , b ? ? =B,则 a 与 b 异面;③若 a ? b , a ? ? ,则

b ∥ ? ;④若 a∥b, b ? ? ,则 a ? ? ,其中正确命题的个数是( B )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

8.直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 在 x 轴上的截距为 a ,在 y 轴上的截距为 b ,则 (B ) (A) a ? 3, b ? 2 (C) a ? ?3, b ? 2 (B) a ? 3, b ? ?2 (D) a ? ?3, b ? ?2

9. 已知 A(7,?4) 关于直线 l 的对称点为 B(?5,6) , 则直线 l 的方程是 (B ) (A) 5x ? 6 y ? 11 ? 0 (B) 6 x ? 5 y ? 1 ? 0

(C) 6 x ? 5 y ? 11 ? 0
2 2

(D) 5 x ? 6 y ? 1 ? 0

10.圆: x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最 大值是( B ) (A)2 (B)1? 2 (C)1 ?

2 2

(D)1 ? 2 2

二.填空题:(每小题 5 分,共 20 分. 请将答案直接填在题后的横线上.) 11.若 lg 2 ? a,lg 7 ? b ,则 lg 28 5 =
2

1? a 2a ? b

. 15 .

12.函数 f ( x) ? 2 x ?4 x ?1 在 ? ?2, 2? 上的最大值为

13. 如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯 视 图 是 一 个 圆 , 那 么 这 个 几 何 体 的 侧 面 积 为 _____ ? _______ 主视图 左视图 . 14. 已知圆 ( x ? 7) ? ( y ? 4) ? 16 与圆
2 2

( x ? 5) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 16 关于直线 l 对称 ,
则直线 l 的方程是

6x ? 5 y ?1 ? 0

.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算 步骤或推证过程) 15.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x 。 (Ⅰ)求函数 f (x) 的定义域;(Ⅱ)用定义判断 f (x) 的奇偶性;

解:(Ⅰ)由 ?

?1 ? x ? 0 ? x ? 1 ?? ? ?1 ? x ? 1 ?1 ? x ? 0 ? x ? ?1
……………(5 分)

所以函数的定义域是 ? 1 ? x ? 1 (Ⅱ)因为 f (? x) ? 1 ? (? x) ? 1 ? (? x) ? …(8 分) 又定义域为 ? 1 ? x ? 1关于原点对称,

1 ? x ? 1 ? x ? ? f ( x)
……………(10 分)

故 f (x) 是奇函数。 16. (本小题 12 分)已知 a 2 ? a (1) a ? a
?1 ?1
1 ? 1 2

……………(12 分)

? 3 ,求
2 ?2

;(2) a ? a ;(3) a ? a
1 ? 1 2

.

解:(1)由 a 2 ? a
?1 1 2

? 3 ,得
2 1 2 ? 1 2

a ? a ? (a ?a ) ?2a a
?1 2 ?1 2

?

1 2

(4 ? (a ?a ) 2 ?2 ? 9 ? 2 ? 7 …… 分)
?1

1 2

?

1 2

( 2) (a ? a ) ? (a ? a ) ?4aa (3 分) 所以, a ? a
?1

? (a ? a ?1 ) 2 ?4 ? 49 ? 4 ? 45 ……

? ? 45 ? ?3 5
?1

……………(1 分)

a 2 ?a

?2

? (a ? a ?1 ) 2 ?2aa

? (a ? a ?1 ) 2 ?2 ? 49 ? 2 ? 47 ………(4 分)

17.(本小题15分)如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3, 侧棱长为4,连结A1B,过A作AF⊥A1B垂足为F,且AF的延长线交B1B于E。 (Ⅰ)求证:D1B⊥平面AEC; (Ⅱ)求三棱锥B—AEC的体积; (Ⅲ)求二面角B—AE—C的大小. 证(Ⅰ)∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱, ∴D1D⊥ABCD. 连AC,又底面ABCD是正方形,……………(2分) ∴AC⊥BD, 由三垂线定理知 D1B⊥AC. 同理,D1B⊥AE,AE∩AC = A, ∴D1B⊥平面AEC . ……………(2分) 解(Ⅱ)VB-AEC = VE-ABC . ∵EB⊥平面ABC, ∴EB的长为E点到平面ABC的距离. ……………(2分) ∵Rt△ABE ~ Rt△A1AB,
AB 2 9 ? . A1 A 4

∴EB =

……………(1分)

1 1 1 9 ∴VB-AEC = VE-ABC = 3 S△ABC·EB = 3 × 2 ×3×3× 4 27 . = 8 ……………(3分) 解(Ⅲ)连CF, ……………(1分) ∵CB⊥平面A1B1BA,又BF⊥AE, 由三垂线定理知,CF⊥AE . 于是,∠BFC为二面角B—AE—C的平面角,……………(1分) BA ? BE 9 ? 5 ,……………(1分) 在Rt△ABE中,BF = AE 5 在Rt△CBF中,tg∠BFC = 3 , 5 ∴∠BFC = arctg 3 . 5 即二面角B—AE—C的大小为arctg 3 .

……………(2分)
2 2

18. (本小题 13 分)已知直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,以 OA 、 OB 为邻边作平行四边形 OAPB ,求点 P 的轨迹方程. 解:设 P( x, y ) , AB 的中点为 M . ∵ OAPB 是平行四边形, ∴ M 是 OP 的中点, ∴点 M 的坐标为 ( , ) ,且 OM ? AB .……………(4 分) ∵直线 y ? kx ? 1 经过定点 C (0,1) , ∴ OM ? CM , x y x y x y y ∴ OM ? CM ? ( , ) ? ( , ? 1) ? ( ) 2 ? ( ? 1) ? 0 , …………… 分) (6 2 2 2 2 2 2 2 化简得 x ? ( y ? 1) ? 1 .
2 2 2 2

x y 2 2

……………(2 分)

∴点 P 的轨迹方程是 x ? ( y ? 1) ? 1 .……………(1 分) 19. (本小题 14 分)绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元够进一种饮料,根 据以前的统计数据,如零售价每瓶定为 4 元,每月可销售 400 瓶;若零售 价每降低 0.05 元,则可多销售 40 瓶。在每月的进货量当月销售完的前提

下,请你给该商店设计一个方案:销售价应定为多少元和从工厂够进多少 瓶,才可以使获得最大利润? 解:设销售价为 x 元/瓶,则根据题意(销售量等于进货量),正好当月销 售 完 的 进 货 量 为

4? x ? 40 ? 400 , 即 400 ( 9-2x ) 瓶 . 0.05

(3 ? x ? 4)

……………(2 分)
2

此时所得的利润为 f ( x) ? 400(9 ? 2 x)( x ? 3) ? 400(?2 x ?15 x ? 27)

? ?800( x 2 ?

15 27 15 225 27 ? ? x ? ) ? ?800 ?( x ? ) 2 ? ? ? 2 2 4 16 2? ?

? ?800( x ?
当x?

15 2 ) ?450 ……………(5 分) 4

15 =3.75 时,函数取得最大值 450(元). ……………(3 分) 4 15 这时进货量为 400(9-2x)=400(9-2 ? )=600 (瓶). ……………(2 分) 4
即当销售价定为 3.75 元,从工厂够进 600 瓶时,获得最大利润 450 元. ……………(2 分) 20.(本小题 14 分)设 a ? 0, f ( x) ?

ex a ? 是 R 上的偶函数. a ex

(1)求 a 的值;(2)证明: f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数. 解:(1)∵ f ( x) 是 R 上的偶函数, ∴ f (?1) ? f (1) ,……………(1 分) 又因为 f (?1) ?

e ?1 a 1 1 ? a 2e 2 ? ?1 ? ? a?e ? , a e a?e a ?e
……………(2 分)

f (1) ?

e a e 2 ? a 2 a 2 ?e 2 ? ? ? a e a ?e a ?e

比较两式得, a ? 1 .又 a ? 0, 故a ? 1 . ……………(2 分)
2

(2)设 0 ? x 1 ? x 2 ,

f ( x 2 ) ? f ( x 1) ? e x 2 ? ? e x 2 ?e x 1 ?

1 1 ? (e x 1 ? x 1 ) x2 e e
……………(3 分)

1 1 ? x1 x2 e e 1 ? (e x 2 ?e x 1 )(1 ? x 1 ? x 2 ) e
? e ? 1, 0 ? x 1 ? x 2 , ?e ? e
x2

? e x1 , e

x1?x 2

? 1, 1
x1?x 2

1
x1? x 2 x2

? 1,?1 ?
x1

? (e ?e )(1 ?

e 1

?0
……………(4 分)

e x1? x 2 ? f ( x 2 ) ? f ( x 1) ? 0 ? f ( x 2 ) ? f ( x 1)

)?0

所以 f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数 . ……………(2 分)


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