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2012届高三数学第一轮复习强化训练 2.10《函数模型及其应用》新人教版必修1


2.10 函数的应用
【考纲要求】 1、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增 长等不同函数类型增长的含义。 2、了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分 段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。 【基础知识】 一、在现实生活中有许多问题,往往隐含着量与量之间的关系,可通过建立变量之间的 函数关系和对所得函数的研究,使问题得到解决. 数学模型方法是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究 实际问题的一般数学方法;数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来 反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述. 数学模型来源于实际,它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物,它又要回到实 际中去检验,因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提. 二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化现象需要用不同的函数 模型来描述,数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程,熟 悉一些基本的数学模型,有助于提高我们解决实际问题的能力. 三、在区间(0,+∞)上,尽管函数 y= a x (a>1)、y= log a x (a>1)和 y= x n (n>0)都是 增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着 x 的增大,y= a x (a>1) 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y= x n (n>0)的增长速度,而 y= log a x (a>1)的 增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个 x0 ,当 x> x0 时,就有 log a x < x n < a x . 四、用函数解应用题的基本步骤是: (1)阅读并且理解题意. (关键是数据、字母的实际意义);(2)设量建模;(3)求解 函数模型;(4)简要回答实际问题。 五、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、 分段函数模型等 六、应用题的常见模型有函数、数列、立体几何、解析集合、三角函数、不等式、概率 等,其求解步骤和上面的一样。 【例题精讲】 例 1 (1)某种储蓄的月利率是 0.36%,今存入本金 100 元,求本金与利息的和(即本 息和)y(元)与所存月数 x 之间的函数关系式,并计算 5 个月后的本息和(不计复利). (2)按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r,设本利和为 y,存期为 x, 写出本利和 y 随存期 x 变化的函数式.如果存入本金 1 000 元,每期利率 2.25%,试计算 5 期后的本利和是多少? 【解析】:(1)利息=本金×月利率×月数. y=100+100×0.36%·x=100+0.36x,当 x=5 时,y=101.8,∴5 个月后的本息和为 101.8 元. (2)已知本金为 a 元,1 期后的本利和为 y1 =a+a×r=a(1+r),

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-1-

2 期后的本利和为 y 2 =a(1+r)+a(1+r)r= a (1 ? r ) ;3 期后的本利和为 y 3 =
2

a (1 ? r ) ;
3

??

x 期后的本利和为 y= a (1 ? r ) x .
将 a=1 000,r=2.25%,x=5 代入上式得 y=1 000×(1+2.25%) =1 000×1.022 55.
5

由计算器算得 y=1 117.68(元). 答:复利函数式为 y=a(1+r) ,5 期后的本利和为 1 117.68 元.
x

例2

某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正

比,其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投 资单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。 (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配 这 10 万元投资,才能是企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元。(精确到 1 万元)。

【解析】:
x 万元,A 产品的利润为 f ( x ) 万元,B 产品的利润为 g ( x ) 万元,

(1)投资为

由题设 f ( x) = k1 ? x , g ( x) = k2 ? x ,. 由图知 f (1) ? 从而 f ( x) =
1 4 1 4
? k1 ?

1 4

,又 g (4) ?
5 4

5 2

? k2 ?

5 4

x, ( x ? 0) , g ( x ) =

x , ( x ? 0)

(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10- x 万元,设企业的利润为 y 万元 Y= f ( x) + g (10 ? x) =
x 4 ? 5 4 10 ? x ,( 0 ? x ? 10 ),

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-2-

令 10 ? x ? t , 则y ?
5 2

10 ? t 4

2

?

5 4

t??

1 4

(t ?

5 2

) ?
2

25 16

, (0 ? t ?

10),

当t ?

, ymax ? 4 ,此时 x ? 10 ?

25 4

=3.75

? 当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约为 4 万元。

2.10 函数的应用强化训练 【基础精练】 1、一个高为 H,水量为 V 的鱼缸的轴截面如图,其底部有一个洞,满缸水从洞中流出, 如果水深为 h 时水的体积为 v,则函数 v ? f (h) 的大致图象是( )

A

B

C

D )

2、一等腰三角形周长为 20,则底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式是( A.y=20-2x C.y=20-2x (x≤10) (5≤x≤10) B.y=20-2x D.y=20-2x (x<10) (5<x<10)

3、用一根长为 12 米的铁丝折成一个矩形的铁框架,则能折成的框架的最大面积是( A.9 平方米 B.36 平方米 C.4.5 平方米 D.最大面积不存在 ( )

)

4、某种商品 2009 年提价 25%,2010 年要恢复原价,则应降价 A.30% B.25% C.20% D.15%

5、某人 1997 年 7 月 1 日到银行存入一年期款 a 元,若年利率为 x,按复利计算,到 2000 年 7 月 1 日可取回款( A. a (1 ? x) 元
3

) B. a (1 ? x) 元
4

C.a+ a (1 ? x) 元
3

D.a(1+ x 3 )元

6、为了预防甲型 H1N1 流感,东莞市常平中学对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物 释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释
? 1 ? 放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y ? ? ? ? 16 ?
t ?a

(a 为常数),如图所示,根据图中提供的信

息, 回答下列问题:
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(Ⅰ)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数 关系式为 .

(Ⅱ)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那 从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.

7、为了尽快改善职工住房困难,鼓励个人购房和积累建房基金,决定住房的职工必须按 基本工资的高低交纳建房积金,办法如下: 每月工资 1000 元以下 1000 元至 交纳超过 1000 元部分的 5% 2000 元 2000 元至 3000 元 3000 元以上 3000 元交 10%,3000 元以上部分交 15% 设职工每月工资为 x 元,交纳公积金后实得数为 y 元,求 y 与 x 之间的关系式. 1000 元至 2000 元部分交纳 5%, 超过 2000 元部分交纳 10% 1000 元至 2000 元部分交 5%,2000 元至 公积金 不交纳

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8、甲、乙两人同一天分别携带 1 万元到银行储蓄.甲存五年期定期储蓄,年利率为 2.88%;乙存一年期定期储蓄,年利率为 2.25%,并且在每年到期时将本息续存一年期定期储 蓄.按规定每次计息时,储户须交纳利息的 20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行取 出存 款,则甲、乙所得本息之和的差为多少元?

9、 (1)某种储蓄的月利率是 0.36%, 今存入本金 100 元, 求本金与利息的和(即本息和)y(元) 与所存月数 x 之间的函数关系式,并计算 5 个月后的本息和(不计复利). (2)按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r,设本利和为 y,存期为 x, 写出本利和 y 随存期 x 变化的函数式.如果存入本金 1 000 元,每期利率 2.25%,试计算 5 期后的本利和是多少?

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【拓展提高】 1、 某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正 比, 其关系如图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投 资单位是万元) (1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式。 (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A, B 两种产品的生产,问:怎样分 配这 10 万元投资,才能是企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元。 (精确到 1 万元)。

2、通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述 问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保 持理想的状态, 随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明, f(x)表示学生掌握和接 用 受概念的能力(f(x)的值越大, 表示接受能力越强), 表示提出和讲授概念的时间(单位: x 分), 可以有以下公式:

?-0.1x +2.6x+43 (0<x≤10) ? (10<x≤16) f(x)=?59 ? (16<x≤30) ?-3x+107
(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少分钟? (2)开讲 5 分钟与开讲 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? (3)一个数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 分钟的时间,老师能否及时在学生一直达到所 需接受能力的状态下讲授完这个难题?

2

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【基础精练参考答案】

4.C【解析】设原价为 1,降价 x% ,则 (1 ? 价 20%. 5.A 【解析】

1 4

)(1 ? x %) ? 1 ,? x % ? 20% ,所以应降

a(1+x) 2000?1997 = a (1 ? x) 3 ,故选 A.

(0 ? t ? 0.1) ?10t ? 1 6. y ? ? 1 t ? ; 0.6 【解析】(1) 10 (t ? 0.1) ?( ) ? 16 (0 ? t ? 0.1) ?10t ? ,所以函数的表达式为 y ? ? 1 t ? 1 得a ? 10 10 (t ? 0.1) ?( ) ? 16
1

把点(0.1 1 , )代入y ? (

1 16

)

t ?a

(2)解不等式 ( 7.【解析】

1 16



t ? 0.1

?

1 4

得 t ? 0.6 ,所以至少要经过 0.6 小时后,学生才能回到课室。

当 0<x<1000 时,y=x;

当 1000≤x<2000 时,y=1000+(x-1000)(1-5%)=0.95x+50; 当 2000≤x<3000 时,y=1000+1000(1-5%)+(x-2000)(1-10%)=0.9x+150; 当 x≥3000 时,y=1000+1000(1-5%)+1000(1-10%)+(x-3000)(1-15%)=0.85x +300.
0 ? x ? 1000 ?x ? ?0.95 x ? 50 1000 ? x ? 2000 因此 y 与 x 的关系可用分段函数表示如下 y ? ? ?0.9 x ? 150 2000 ? x ? 3000 ?0.85 x ? 300 x ? 3000 ?

8.【解析】

甲到期本利和为:10000×[1+2.88%×(1-20%)×5]=11152(元)
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乙到期本利和为: 10000×[1+2.25%×(1-20%)]5=10932.99(元)∴甲、 乙所得本息之和 的差为 219.01(元). 9【解析】(1)利息=本金×月利率×月数. y=100+100×0.36%·x=100+0.36x, x=5 时,=101.8, 个月后的本息和为 101.8 当 y ∴5 元. (2)已知本金为 a 元,1 期后的本利和为 y1 =a+a×r=a(1+r), 2 期后的本利和为 y 2 =a(1+r)+a(1+r)r= a (1 ? r ) ;
2

【拓展提高参考答案】 1. 【解析】 (1)投资为 x 万元,A 产品的利润为 f ( x) 万元,B 产品的利润为 g ( x) 万元, 由题设 f ( x) = k1 ? x , g ( x) = k2 ? x ,. 由图知 f (1) ? 从而 f ( x) =
1 4 1 4
? k1 ?

1 4

,又 g (4) ?
5 4

5 2

? k2 ?

5 4

x, ( x ? 0) , g ( x ) =

x , ( x ? 0)

(2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10- x 万元,设企业的利润为 y 万元 Y= f ( x) + g (10 ? x) =
x 4 ? 5 4 10 ? x ,( 0 ? x ? 10 ),
2

令 10 ? x ? t , 则y ?
5 2

10 ? t 4

?

5 4

t??

1 4

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5 2

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2

25 16

, (0 ? t ?

10),

当t ?

, ymax ? 4 ,此时 x ? 10 ?

25 4

=3.75

? 当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,

企业获得最大利润约为 4 万元。

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