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2019高中数学人教a版必修4讲义:第二章 2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算 含答案

2.3.2 & 2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算 预习课本 P94~98,思考并完成以下问题 (1)怎样分解一个向量才为正交分解? (2)如何由 a,b 的坐标求 a+b,a-b,λa 的坐标? [新知初探] 1.平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量. 2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向 量 i,j 作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量 a,有且仅有一对实数 x,y,使得 a=xi +yj,则有序实数对(x,y)叫做向量 a 的坐标. (3)坐标表示:a=(x,y). (4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). [点睛] (1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形 式,只是两个基向量 e1 和 e2 互相垂直. (2)由向量坐标的定义,知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应 相等,即 a=b?x1=x2 且 y1=y2,其中 a=(x1,y1),b=(x2,y2). 3.平面向量的坐标运算 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表: 文字描述 两个向量和的坐标分别等于 加 法 这两个向量相应坐标的和 两个向量差的坐标分别等于 减 法 这两个向量相应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于 数 乘 用这个实数乘原来向量的相应坐 标 一个向量的坐标等于表示此 重要结 向量的有向线段的终点的坐标减 论 去起点的坐标 [点睛] 置无关. 符号表示 a+b=(x1+x2,y1+y2) a-b=(x1-x2,y1-y2) λa=(λx1,λy1) 已知 A(x1,y1), B(x2, y2), 则 AB =(x2-x1, y2-y1) (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位 (2)当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后, 其坐标不变. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关.( ) ) (2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.( (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( (4)点的坐标与向量的坐标相同.( 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× ) ) 2.若 a=(2,1),b=(1,0),则 3a+2b 的坐标是( A.(5,3) C.(8,3) 答案:C 3.若向量 AB =(1,2), BC =(3,4),则 AC =( A.(4,6) C.(-2,-2) 答案:A B.(-4,-6) D.(2,2) ) B.(4,3) D.(0,-1) ) 4.若点 M(3,5),点 N(2,1),用坐标表示向量 MN =______. 答案:(-1,-4) 平面向量的坐 标表示 [典例] 如图, 在边长为 1 的正方形 ABCD 中,AB 与 x 轴正半轴成 30°角.求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标. [ 解] 由题知 B,D 分别是 30°,120°角的终边与单位圆的交点. 设 B(x1,y1),D(x2,y2). 由三角函数的定义,得 ? 3 1? 3 1 ? ? x1=cos 30°= ,y1=sin 30°= ,∴B? , ?. 2 2 2? ? 2 1 3 x2=cos 120°=- ,y2=sin 120°= , 2 2 ? 1 3? ? ? ∴D?- , . 2 ? ? 2 ? ? 3 1? ? 1 3? ? ? ? ? ∴ AB =? , ?, AD =?- , ?. 2 2 2 2 ? ? ? ? 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. (2)在求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运 用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. [活学活用] 已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限,| OA |=4 (1)求向量 OA 的坐标; (2)若 B( 3,-1),求 BA 的坐标. 3cos 60°=2 3,6), OA =(2 3,7). 平面向量的坐 标运算 [典例] (1)已知三点 A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),则向量 3 AB +2 CA = 3, 3,6). 3,∠xOA=60°, 解:(1)设点 A(x,y),则 x=4 y=4 3sin 60°=6,即 A(2 3,6)-( (2) BA =(2 3,-1)=( ________, BC -2 AB =________. (2)已知向量 a,b 的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求 a+b,a-b,3a,2a +3b 的坐标. [解析] (1)∵A(2,-1),B(3,4),C(-2,0), ∴ AB =(1,5), CA =(4,-1), BC =(-5,-4). ∴3 AB +2 CA =3(1,5)+2(4,-1) =(3+8,15-2) =(11,13). BC -2 AB =(-5,-4)-2(1,5) =(-5-2,-4-10) =(-7,-14). [答案] (11,13) (-7,-14) (2)解:a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3), a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7), 3a=3(-1,2)=(-3,6), 2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5) =(-2,4)+(9,-15) =(7,-11). 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则 进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向 量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. [活学活用] 1.设平面向