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2014年湖南高考文科数学试题含答案(Word版)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设命题 p : ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 ,则 ?p 为(
2 A. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0 2 C. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0



2 B. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0 2 D. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0

3.对一个容器为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法 抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1 , p2 , p3 ,则( )

A. p1 ? p2 ? p3

B. p 2 ? p 3?

p 1

C. p 1 ? p 3?

p 2

D. p1 ? p2 ? p3

4.下列函数中,既是偶函数又在区间 (??, 0) 上单调递增的是(



A. f ( x ) ?

1 x2

x ? 3x D. f ( x) ? ?2 B. f ( x) ? 2x? 1 C. f ( x)

1

6.若圆 C1 : x2 ? y 2 ? 1 与圆 C2 : x2 ? y2 ? 6x ? 8 y ? m ? 0 相切,则 m ? (



A.21

B. 1 9

C .9

D. ? 1 1

7.执行如图 1 所示的程序框图,如果输入的 t ???2, 2? ,则输出的 S 属于( A. ? ?6, ?2? B. ? ?5, ?1? C. ? ?4,5? D. ? ?3,6 ?



2

8.一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示,将 石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径 等于( A.1 ) B.2 C.3 D.4

9.若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则( A. e 2 ? e 1 ? ln x2 ? ln x1
x x

) B. e 2 ? e 1 ? ln x2 ? ln x1
x x

C. x2e 1 ? x1e
x

x2

D. x2e 1 ? x1e
x

x2

10. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 原 点 , A ? ?1 , ? 0 , B 0,3

?

0? , 动 点 D 满 足 ? , C ?3,

CD ? 1 ,则 OA ? OB ? OD 的取值范围是(
A. ? 4, 6?



,19+1? B. ? 19-1 ? ?
?
D. ? 7-1,7+1 ?

2 7? C. ? 2 3, ?

?

?

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
3

11.复数

3?i ( i 为虚数单位)的实部等于_________. i2

? ?x ? 2 ? ? 12.在平面直角坐标系中,曲线 C : ? ? y ? 1? ? ?

2 t 2 ( 为参数)的普通方程为___________. t 2 t 2

? y?x ? 13.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为_________. ? y ?1 ?

0? 的距离和到直线 x ? ?1 的距离相等.若 14.平面上以机器人在行进中始终保持与点 F ?1,
4

机器人接触不到过点 P?? 1 , 0? 且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是___________.

15.若 f ?x ? ? ln e

?

3x

? 1?? ax 是偶函数,则 a ? ____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程. 16.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? (I)求数列 ?an ?的通项公式; (II)设 bn ? 2 n ? ??1? an ,求数列 ?bn ?的前 2 n 项和.
a n

n2 ? n ,n ? N ? . 2

17.(本小题满分 12 分) 某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年 研发新产品的结果如下:

? ? ?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?, ? ? ? ? ? ? ?a, ?a, ?a, b ?, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?,?a, b ?, b? ? ?
a 分别表示甲组研发成功和失败; b, 其中 a, b 分别表示乙组研发成功和失败.
(I)若某组成功研发一种新产品,则给改组记 1 分,否记 0 分,试计算甲、乙两组研
5

?

?

发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平; (II)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估算恰有一组研发成功的概率. 18.(本小题满分 12 分) 如图 3 ,已知二面角 ?

? MN ? ? 的大小为 60 ,菱形 ABCD 在面 ? 内, A, B 两点在棱 MN 上,

?BAD ? 60 , E 是 AB 的中点, DO ? 面 ? ,垂足为 O .
(1)证明: AB ? 平面 ODE ; (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值.

19.(本小题满分 13 分) 如图 4,在平面四边形 ABCD 中, DA ? AB , DE ? 1, EC ?

7 , EA ? 2, ?ADC ?

?BEC ?

?
3

2? , 3

(1)求 sin ?CED 的值; (2)求 BE 的长

20.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 x2 y 2 如图 5,O 为坐标原点, 双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 和椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1(a2 ? b2 ? 0) a1 b1 a2 b2
均过点 P(

2 3 ,1) ,且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形. 3

(1)求 C1 , C2 的方程;

6

(2)是否存在直线 l ,使得 l 与 C1 交于 A, B 两点,与 C2 只有一个公共点,且 | OA ? OB |?| 你的结论.

AB | ?证明

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 (1)求

f ( x) ? x cos x ? sin x ? 1( x ? 0) .

f ( x) 的单调区间;
证明: 对一切 n ? N * , 有 f ( x) 的从小到大的第 i(i ? N *) 个零点,

(2) 记 xi 为

1 1 ? 2 ? 2 x1 x2

?

1 2 ? xn 3
2

7

8

9

10

11

12

13


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