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【数学】3.1.1 两角差的余弦公式1


自主学习:
1、两角差的余弦公式是什么?

cos(? - ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
2、两角差的余弦公式有哪些结构特征?
(1)同名积 (2)符号反 简记作

C(? ? ? )

公式记忆 C C S S,符号相反 “ ”

温故知新: 已知OP为角?的终边,在单位圆中用角? 的三角函数来表示点P的坐标
Y P (x,y)

?
O X

P(cos? , sin? )

合作交流:

请同学们思考、讨论以下问题:

1、点A,点B的坐标及向量OA、OB的坐标是什么? y sin ? ) sin ?) OB=(cos? , OA=(cos?, 2、向量OA、OB的数量积由坐标怎么表示? 1 = (cos? , sin ? ) ? (cos ? , sin ? )
OA· OB A (1)

= cos? cos ? ? sin ? sin ?

? ?? ?

B

3、向量OA、OB的夹角是什么?

-1

o

?

1

? ??

4、向量OA、OB的数量积由定义怎么表示? -1 cos(? ? ? ) = cos(? ? ? ) OA· OB =︱ OB︱ OA ︱︱

(2)

cos (? ? ?) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

例1.利用差角余弦公式求cos15 的值.
解法1: cos15 ? cos 45 ? 30
? ?

?

? cos45? cos30? ? sin 45? sin 30?
2 3 2 1 ? ? ? ? ? 2 2 2 2

?

?

?

6? 2 4
? ?

解法2: cos15 ? cos 60 ? 45
? ?

? cos60 cos45 ? sin 60 sin 45
?

?

?

??

2? 6 1 2 3 2 ? ? ? ? ? 4 2 2 2 2 题后小结: 1、把非特殊角拆分成特殊角的差.
2、公式的直接应用.

4 ? 5 已知 sin ? ? ,? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ?是第三象限角, 例 2、 5 2 13 求 cos(? ? ? )的值.
? 解:因为 ? ? ? ? ,? ?2
? ?, ?

例题讲解

4 sin ? ? 5
2

想一想:去掉这个 条件如何做?

3 ? 4? 2 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? 由此得 ? ? 5 ?5?

5 , ? 是第三象限角,所以 又因为 cos ? ? ? 13
12 ? 5? sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 13 ? 13 ?
2

所以 3 5 4 12 33 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? (? ) ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 5 13 5 13 65

题后小结: 1、注意角的范围,也就是符号问题.

2、公式的直接应用.

巩固练习:
3 ? ? ? cos ? ? ?α ? 练习.已知 cosα = - α ? ? ,? ?求 ? ? 的值. ?4 ? 5 ?2 ?

3 ?? ? 解: ∵ cosα = - α ? ? , ? ? 5 ?2 ?


cos(

4 sinα = 1 ? cos α ? 5 ? ? ?
2

4

-α ) ? cos

4 4 2 ? 3? 2 4 ? ??? ? ? ? 2 2 5 ? 5?
? 2 10

cosα + sin

sinα

小结
两角差的余弦公式
对于任意角α ,β 都有

cos(α-β)=

cosαcosβ+sinαsinβ

注意:1.公式的结构特点:
(1)同名积 (2)符号反

2.公式的作用:求任意角α,β差的余弦值.


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