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【步步高】高考数学大一轮复习 2.2函数的单调性与最值教师用书 理 苏教版

§2.2 函数的单调性与最值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2), 么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函 那么就说函数 f(x)在区间 D 上 数 是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 (2)单调区间的定义 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性,区间 D 叫做函数 y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x∈I,都有 条件 (3)对于任意 x∈I, 都有 f(x)≥M; (4)存在 x0∈I,使得 自左向右看图象是下降的 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. f(x0)=M. M 为最小值 结论 M 为最大值 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1 (1)函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( × ) x (2)对于函数 f(x),x∈D,若 x1,x2∈D,且(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则函数 f(x)在 D 上 1 是增函数.( √ ) (3)函数 y=|x|是 R 上的增函数.( × ) (4)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( × (5)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是(0,+∞).( × ) 1-x (6)函数 y= 2的最大值为 1.( 1+x 2 ) √ ) 1.(2014·北京改编)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是________. ①y= x+1; ③y=2 -x; ②y=(x-1) ; ④y=log0.5(x+1). 2 答案 ① 解析 ①中,函数 y= x+1在[-1,+∞)上为增函数,所以函数在(0,+∞)上为增函数, 故正确;②中,函数 y=(x-1) 在(-∞,1)上为减函数,在[1,+∞)上为增函 1 x -x 数,故错误;③中,函数 y=2 =( ) 在 R 上为减函数,故错误;④中,函数 y=log0.5(x+ 2 1)在(-1,+∞)上为减函数,故错误,故选①. 2. 函数 f(x)的定义域为 A, 若 x1, x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2, 则称 f(x)为单函数. 例 如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数,下列命题: ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2 (x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号). 答案 ②③④ 解析 由 x1=x2,未必有 x1=x2,故①不正确;对于 f(x)=2 ,当 f(x1)=f(x2)时一定有 x1 =x2,故②正确;当 f(x)为单函数时,有 f(x1)=f(x2)? x1=x2,则其逆否命题 f(x)为单函 数时,x1≠x2? f(x1)≠f(x2)为真命题,故③正确;当函数在其定义域上单调时,一定有 f(x1) =f(x2)? x1=x2,故④正确. 3.函数 f(x)= 答案 解析 4 ,1 3 2x 在[1,2]的最大值和最小值分别是____________________________. x+1 2 2 2 2 x x f(x) = 2x = x+1 x+ -2 2 4 =2- 在 [1,2] 上是增函数,∴f(x)max = f(2) = , x+1 x+1 3 2 f(x)min=f(1)=1. 4. 已知函数 f(x)=x -2ax-3 在区间[1,2]上具有单调性, 则实数 a 的取值范围为________. 答案 (-∞,1]∪[2,+∞) 解析 函数 f(x)=x -2ax-3 的图象开口向上,对称轴为直线 x=a,画出 草图如图所示. 由图象可知函数在(-∞,a]和[a,+∞)上都具有单调性,因此要使函数 2 2 f(x)在区间[1,2]上具有单调性, 只需 a≤1 或 a≥2, 从而 a∈(-∞, 1]∪[2, + ∞). 题型一 函数单调性的判断 例 1 (1)判断函数 f(x)= 2 ax 2 x -1 (a>0)在 x∈(-1,1)上的单调性. (2)求函数 y= x +x-6的单调区间. 解 (1)设-1<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)= = ax1 ax2 - 2 x2 x2-1 1-1 x1x2+ x2 2- . 2 ax1x2 a x2-x1 2-ax1-ax2x1+ax2 = 2 2 x1- x2- x2 1- ∵-1<x1<x2<1, ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x1-1)(x2-1)>0. 又∵a>0,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴函数 f(x)在(-1,1)上为减函数. (2)令 u=x +x-6,y= x +x-6可以看作有 y= u与 u=x +x-6 的复合函数. 由 u=x +x-6≥0,得 x≤-3 或 x≥2. ∵u=x +x-6 在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而 y= u在[0,+∞) 上是增函数. ∴y= x +x-6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞). 思维升华 (1)对于给出具体解析式的函数,证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法: ①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解;②可导函数则

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