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2014年高二数学学业水平测试训练(31)


数学水平测试训练(31)
1. 惠州市 2014 届高三第二次调研)如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VC ? 底面 ABC ,

AC ? BC, D 为 AB 的中点, AC ? BC ? VC ? a .则求点 C 到平面
VAB 的距离(
A. )。 B.

3 a

3 a 3

C.

5a

D 6a

解析:B.设点 C 到平面 VAB 的距离为 h , 据 VV-ABC 即 ?

? VC-VAB

1 1 1 3 a?a?a ? ? 3 2 3 4

?

2a h ,得 h ?
3 a . 3

?

2

3 a. 3

所以点 C 到平面 VAB 的距离为

2. (上海虹口 2014 高三上学期期末试题)如图 1,一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底 的圆锥实心装饰块,容器内盛有 a 升水.平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点 P ,若将容 器倒置如图 2,水面也恰过点 P .以下命题正确的是( ).

A. 圆锥的高等于圆柱高的

1 ; 2

B. 圆锥的高等于圆柱高的

2 ; 3

C. 将容器一条母线贴地,水面也恰过点 P ;
过点 P .

D. 将容器任意摆放,当水面静止时都

P

P

图1

图2

1

解 析 : C. 设 圆 锥 的 高 为 h, 圆 柱 的 高 为 H , 利 用 倒 置 前 后 水 的 体 积 不 变 性 质 , 得

?r 2 h ? ?r 2 h ? ?r 2 ( H ? h) ,化简得 H= h ,排除 A,B,又水的容积正好是圆柱内部空
间的一半, 则水面过点 P, 但是, 过点 P 的平面不能平分圆柱内部除去圆锥内部的剩余部分, 排除 D,选 C.

1 3

5 3

3.( “江淮十校协作体”四月联考卷数学试题)如图所示,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长 为 1 , BD

AC ? O , M 是线段 D1O 上的动点,过点 M 做平面 ACD 1 的垂线交平面 ) A1B1C1D1 于点 N ,则点 N 到点 A 距离的最小值为(

A. 2

B.

6 2

C.

2 3 3

D.1

解析:B.如图, M 是线段 D1O 上的动点,过点 M 做平面 ACD1 的垂线交平面 A1B1C1D1 于 点 N ,点 N 到点 A 距离的最小值就是点 A 到直线 D1B1 距离的最小值,连结 AB1,从而可知, 点 D 是 D1B1 中点时,点 N 到点 A 距离的最小值是:线段 AN 的长度,又三角形 AB1D1 是等边 三角形,所以 AN=

3 6 × 2= .选 B. 2 2

4. ( 2014 届 高 三 第 二 次 调 研 ) 四 棱 锥 P ? ABCD底 面 是 平 行 四 边 形 , 面 PAB ? 面

ABCD , PA ? PB ? AB ?

1 AD , ?BAD ? 60。, E,F 分别为 AD,PC 的中点. 2
2

则二面角 D ? PA ? B 的余弦值是( A.

). D.

3 6

B.

3 4

C

5 . 5

3 5

P F B

C

A

E

D

解析:C.取 PA 的中点 N , 连BN , DN

?PAB是等边三角形? BN ? PA

Rt?PBD~Rt?ABD ? PD ? AD
? AN ? PB
?ANB ? ? 是二面角 D ? PA ? B
的平面角 知 BD ? 面PAB, BD ? BN
A

P F

N

B

C

E

D

在Rt?DBN中,BD ? 3AB ? 2BN BD 5 5 即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 tan ? ? ? 2, cos ? ? BN 5 5

3


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