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高中数学恒成立问题应试处理策略


○ 题型研究

2011 年第 18 期

周刊

高中数学恒成立问题应试处理策略
龚亮亮
(南京市第三高级中学,江苏 南京 摘 要: 恒 成 立 问 题 一 直 以 来 都 是 高 中 数 学 中 的 一 个 重 点和难点,这类问题没有一个固定的处理方法。 恒成立问题能 够很好地考查函数数列不等式等知识, 以及转化化归等数学 思想。 因此涉及恒成立的问题越来越受到高考命题者的青睐。 本文试将此类题的求解策略从四个方面进行小结。 关键词: 高中数学 恒成立问题 求解策略 恒成立问题一直是高中问题数学的重要内容。 它是函 数 、数 列 、不 等 式 等 内 容 交 汇 处 的 一 个 较 为 活 跃 的 知 识 点 ,在 近 几 年 越 来 越 受 到 高 考 命 题 者 的 青 睐 ,有 时 在 同 一 套 试 题 中 甚至有几道这方面的题目。 本文试将此类题的求解策略进行 小结。 一、利用分类讨论思想直接处理 例 1 :已知函数 f (x )=x -2ax+4 在区间[-1 ,2 ]上都不小于 2 , 求 a 的取值范围。 解 :因 为 函 数 f (x ) =x -2ax+4 的 对 称 轴 为 x=a ,所 以 必 须 考 查 a 与 -1 ,2 的大小关系,显然要分三种情况讨论。 1. 当 a≥2 时,f (x )在[-1 ,2 ]上是减函数, 此时 f (x )min= f (2 )=4-4a+4≥2 ,
2 2

210001 )

∴x<-1 或 x>3 。
三、分离变量,借助不等式性质解决 例 3 :已 知 数 列 {a n } 中 ,a n =6n-5 (n∈N ),设 b n = 数列 {bn} 的前 n 项和,求使 得 Tn< 正整数 m 。 分析:Tn<
*

3 ,T n 是 anan+1

* m 对 所 有 n∈N 都 成 立 的 最 小 20

m m 恒成立 圳 >Tnmax ,问题转化为求 Tn 的最大 20 20 1 1 1 3 1 ), = = ( anan+1 (6n-5)[6(n+1)-5] 2 6n-5 6n+1

值。 若求出 Tn 的最大值,则问题迎刃而解。 解:依题可知bn=
n

故 Tn=

1 1 1 1 ∑b= 2 [(1- 1 )+( 1 - 13 )+…+( 6n-5 - 6n+1 )] 7 7
1=1

3 , 2 结合 a≥2 ,所以 a 无解。 2. 当 a≤-1 时,f (x )在[-1 ,2 ]上是增函数, 此时 f (-1 )=1+2a+4≤2 , f (x )min=f (-1 )=1+2a+4≥2 , 结合 a≤-1 , 3 即 - ≤a≤-1 。 2 3. 当 -1<a<2 时,
即 a≤

1 1 (1)。 2 6n+1 1 1 1 易知 (1)< . 6n+1 2 2 * 1 m 1 1 要使 (1)< (n∈N )恒 成 立 ,必 须 满 足 ≤ ∴ 20 2 6n+1 2 = m ,即 m≥10. 20
例 4 :已 知 二 次 函 数 f (x )=ax +x+1 对 x∈ [0 ,2 ]恒 有 f (x ) >0 , 求 a 的取值范围。 解: 对x∈[0,2]恒有f(x)>0即ax +x+1>0,变形为ax >-(x+1) 当 x=0 时对任意的 a 都满足 f (x )>0 ,只须考虑 x≠0 的情况: 1 1 - (x+1 ) ,即 a>- a>
2 2 2

f (x )min= f (a )=a -2a +4≥2 ,
即 - 姨 2 ≤a≤ 姨 2 , 所以 -1<a≤ 姨 2 。 综上 1 、2 、3 ,满足条件的 a 的范围为:二、构造函数,利用单调性处理 例 2 :对 于 满 足 |p|≤2 的 所 有 实 数 p ,求 使 不 等 式 x +px+1> p+2x 恒成立的 x 的取值范围。 分析:多元不等式问题求解关键在于确定哪个量为主元。 此 问 题 由 于 常 见 的 思 维 定 势 , 易 把 它 看 成 关 于x的 不 等 式 讨 论。 然而若将 p 定位主元,则可转化为在[-2 ,2 ]内关于 p 的一次 函数大于 0 恒成立的问题。 解:不等式转化为(x-1 )p+x -2x+1>0 , 设 f (p )= (x-1 )p+x -2x+1 , 则原题转化为设f(p)=(x-1)p+x -2x+1>0在[-2,2]上恒成立, 易得
2 2 2 2 % 3 ≤a≤ 姨 2 。 2 % % %

2

2

x 要满足题意,只要保证 a 比右边的最大值大就行。 1 1 现求 - - 在 x∈ (0 ,2 ]上的最大值。 x x2 x 1 , x 1 ∴t≥ , 2
令 t=

2

x

2

1 2 1 1 ) + (t≥ ), 2 4 2 1 3 g (t )max=g ( )=- , 2 4 3 ∴a>- . 4 g (t )=-t -t=- (t+
2

又 ∵f (x )=ax +x+1 是二次函数,∴a≠0 ,

2

f( ) >-2>>0,即 f (2 ) 0


2 2

∴a>-

x -4x+3>0

3 ,且 a≠0. 4
2



x -1>0

四、利用数形结合,直观处理 例 5 :不等式(x-1 ) <logax 在 x∈ (1 ,2 )上恒成立,求 a 的取值 范围。

x>3 或 x<1 解得: , x>1 或 x<-1



14

周刊 2011年第18期 ○ 题型研究

巧 添 数 据 解 表 格 类 计 算 题
朱绿侠
(睢宁县李集中学,江苏 睢宁 表 格 类 计 算 题 是 近 年 中 考 中 常 见 的 题 型 ,它 可 以 较 好 地 考查学生分析问题、解决问题的能力。 此类试题常将几组实验 数据以表格的形式给出,解题时需要理清数据间的关系,找出 规律,进行计算,其中关键是分析表格中的数据,找出规律。 这 里介绍一种简单常用的方法—— —巧添数据法,供大家参考。 例 1 :海洋化工集团用氨碱法生产的纯碱产品中含有少量 氯化钠杂质,其产品包装袋上注明:碳酸钠 >96% 。 为测定该产 品中含碳酸钠的质量 分 数 ,进 行 了 以 下 实 验 :取 11.0 克 纯 碱 样 品 放 入 烧 杯 中 , 称 得 烧 杯 及 所 盛 纯 碱 样 品 的 总 质 量 为 158.0 克,再把 100 克稀盐酸平均分成四份,依次加入样品中,每次均 充分反应。 实验数据如下:

221221 )

例 2 :某化学兴趣小组为了测定一批石灰石样品中碳酸钙 的 质 量 分 数 ,取 用 2 克 石 灰 石 样 品 ,把 20 克 稀 盐 酸 分 四 次 加 入 样 品 中 (样 品 中 除 碳 酸 钙 外 ,其 余 的 成 分 既 不 与 盐 酸 反 应 ,又 不 溶 解 于 水 ),充 分 反 应 后 经 过 滤 、干 燥 等 操 作 ,最 后 称 量 ,得 实验数据如下:

请你据此分析计算: (1 )第 一 次 加 入 盐 酸 充 分 反 应 后 , 生 成 二 氧 化 碳 的 质 量 是% % 克。 (2 )该样品中碳酸钠的质量分数是否合格? (要求写出计 算过程,结果精确到 0.1% ) 解 析 : 纯 碱 样 品 与 盐 酸 反 应 的 原 理 : Na 2 CO 3 +2HCl =

(1 )从以上数据可知,这四次实验中,第 % % 次石灰石样品 中碳酸钙完全反应。 (2 )求石灰石样品中碳酸钙的质量分数。 (3 )煅烧 50 吨这种石灰石,能得到二氧化碳气体多少吨? 分析: 石灰石样品中加入盐酸反应的原理是:CaCO3+2HCl=

CaCl2+H2O+CO2↑。
在石灰石中加入盐酸后因碳酸钙与盐酸反应使固体的质 量 减 少 ,所 以 在 表 格 后 应 加 一 列 数 据 :固 体 减 少 的 质 量 (即 参 加反应的碳酸钙的质量)。

2NaCl+H2O+CO2↑ 100 克盐酸分四次加入样品中,每次反应后烧杯及所盛物
质的总质量会因生成二氧化碳而减少, 在数据下方应增加一 组数据:减少的质量(生成二氧化碳的质量)

由第一次和第二次数据可知每次加入 25 克盐酸完全反应 可 产 生 1.8 克 二 氧 化 碳 ,而 第 三 次 只 生 成 0.8 克 二 氧 化 碳 ,因 此 盐酸没有完全反应,碳酸钠应完全反应,此时共产生二氧化碳 的质量为 1.8 克 +1.8 克 +0.8 克 =4.4 克。 再据二氧化碳质量计算出 碳酸钠的质量即可。 解:(1 )第一次加入盐酸充分反应后生成二氧化碳的质量 是 1.8 克。 (2 )设 11.0 克样品中碳酸钠的质量为 X

Na2CO3+2HCl=2NaCl+H2O+CO2↑ 106%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%44 %%X%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4.4 克 106∶44=X∶4.4 克 %%%%%%%%%%%%%%%%%%X=10.6 克 样品中碳酸钠的质量分数为:10.6克11.0克100%=96.4%>96%
所以,该碳酸钠样品是合格的样品。 分 析 :这 种 类 型 的 不 等 式 对 高 中 学 生 来 说 直 接 求 解 是 很 困难的,所以一般来说采用数形结合的方法。 解:设 y1= (x-1 ) ,y2=logax ,如图所示。 要使对一切 x∈ (1 ,2 ),y1<y2 恒成立, 显然须 a>1 , 且 loga2≥1 。
2

由数据可知: 每加入5克盐酸就会有0.5克固体减少, 即有 0.5 克碳酸钙与之反应, 而第四次加入 5 克盐酸仅减少 0.2 克 固 体,所以盐酸有剩余,碳酸钙应该已完全反应,剩余的 0.3克固体 都是杂质。 因此2.0克固体中碳酸钙的质量应为:2-0.3=1.7克。 解:(1 )由题意知:第四次石灰石样品中碳酸钙完全反应。 (2 )石灰石样品中碳酸钙的质量分数为: (2-0.3 )2100%=85% 。 (3 )设 煅 烧 50 吨 这 种 石 灰 石 能 得 到 二 氧 化 碳 气 体 的 质 量 是X 高温 CaCO3=CaO+CO2↑ 100%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%44 50 吨 85%%%%%%%%%%%%%X 100∶44= (50 吨 85% ):X %%%%%%%% X=18.7 吨 答:(1 )第四次石灰石样品中碳酸钙完全反应。 (2 )石灰石样品中碳酸钙的质量分数为:85% 。

∴1<a≤2. 15


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