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高考文科数学专题复习导数训练题

高考文科数学专题复习导数训练题(文)
一、考点回顾和基础知识 1.导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主,主要考 查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特 别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数 的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个 极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值.

导数的概念





导数的运算

导数的应用

导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数的运算法则 函数的单调性 函数的极值 函数的最值

2.导数(导函数的简称)的定义:设 x0 是函数 y ? f (x) 定义域的一点,如果自变量 x 在 x0 处有增量 ?x ,

则函数值 y 也引起相应的增量 ?y ?

f (x0 ? ?x) ?

f

(x0

)

;比值

?y ?x

?

f (x0 ? ?x) ? ?x

f (x0 ) 称为函数 y ?

f (x) 在

点 x0 到 x0

? ?x 之间的平均变化率;如果极限 lim
?x?0

?y ?x

? lim
?x?0

f (x0

? ?x) ? ?x

f (x0 ) 存在,则称函数

y

?

f (x) 在

点 x0 处 可 导 , 并 把 这 个 极 限 叫 做 y ? f (x) 在 x0 处 的 导 数 , 记 作 f ' (x0 ) 或 y' |x?x0 , 即

f

' (x0 ) = lim
?x?0

?y ?x

? lim
?x?0

f (x0

? ?x) ? ?x

f (x0 )

.

注:① ?x 是增量,我们也称为“改变量”,因为 ?x 可正,可负,但不为零.

②以知函数 y ? f (x) 定义域为 A , y ? f ' (x) 的定义域为 B ,则 A 与 B 关系为 A ? B .

3.求导数的四则运算法则:

(u ? v)'

? u'

? v'

?

y

?

f1(x) ?

f 2 (x) ? ...?

f n (x) ?

y'

?

f1' (x) ?

f

' 2

(x)

?

...

?

f

' n

(

x)

(uv)' ? vu ' ? v'u ? (cv)' ? c 'v ? cv' ? cv' ( c 为常数)

?? u ?? ' ?v?

?

vu ' ? v 'u v2

(v

?

0)

*复合函数的求导法则: f x ' (?(x)) ? f ' (u)? ' (x) 或 y ' x ? y 'u ?u ' x

4.几种常见的函数导数:

I. C ' ? 0 ( C 为常数)

(sin x)' ? cos x

(x n )' ? nxn?1 ( n?R )

(cos x)' ? ? sin x

II. (ln x)' ? 1 x

(loga

x) '

?

1 x

log a

e

(e x ) ' ? e x

(a x )' ? a x ln a

二、经典例题剖析

考点一:求导公式

例1 f / (x) 是 f (x) ? 1 x3 ? 2x ? 1的导函数,则 f / (?1) ?

.

3

考点二:导数的几何意义

例2. 已知函数 y ? f (x) 的图象在点 M (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? 1 x ? 2 ,则 f (1) ? f / (1) ? . 2
考点三:导数的几何意义的应用

例3.已知曲线 C : y ? x3 ? 3x2 ? 2x, 直线 l : y ? kx, 且直线 l 与曲线 C 相切于点 ?x0 , y0 ??x0 ? 0?, 求直
线 l 的方程及切点坐标.
考点四:函数的单调性

例4.设函数 f (x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1及 x ? 2 时取得极值.

(1)求 a, b 的值及函数 f (x) 的单调区间;

(2)若对于任意的 x ? ?0,3?, 都有 f (x) < c 2 成立,求 c 的取值范围.
考点五:函数的最值
例5.已知 a 为实数, f (x) ? (x2 ? 4)(x ? a). (1)求导数 f / (x) ;(2)若 f / (?1) ? 0, 求 f (x) 在区间?? 2,2?上的最值.
考点六:导数的综合性问题
例 6. 设 函 数 f (x) ? ax3 ? bx ? c(a ? 0) 为 奇 函 数 , 其 图 象 在 点 ?1, f (1)? 处 的 切 线 与 直 线

x ? 6y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f / (x) |min ? ?12. (1)求 a, b, c 的值;

(2)求函数 f (x) 的单调递增区间,并求函数 f (x) 在 ?? 1,3? 上的最大值和最小值.



7.已知

f

(x)

?

ax3

?

bx2

?

cx

在区间

?0,1?上是增函数,在区间

??

?,0?, ?1,?? ?

上是减函数,又

f

?

? ??

1 2

? ??

?

3 2



(Ⅰ)求 f (x) 的解析式;(Ⅱ)若在区间[0,m](m ? 0) 上恒有 f (x) ≤ x 成立,求 m 的取值范围.

例 8.设函数 f (x) ? ?x(x ? a)2 ( x ?R ),其中 a ?R .(Ⅰ)当 a ?1时,求曲线 y ? f (x) 在点

(2,f (2)) 处的切线方程;(Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f (x) 的极大值和极小值;

(Ⅲ)当 a ? 3时,证明存在 k ???1,0? ,使得不等式 f (k ? cos x)≥ f (k2 ? cos2 x) 对任意的 x ?R 恒成立.

例 9.已知 f (x) ? ax3 ? x2 ? bx ? c(a,b,c ? R) 在 ?? ?,0?上是增函数, ?0,3? 上是减函数,方程 f (x) ? 0 有三

个实根,它们分别是? ,2, ? .(1)求 b 的值,并求实数 a 的取值范围;(2)求证:? ? ? ≥ 5 . 2
三、 方法总结 (一)方法总结
导数是中学限选内容中较为重要的知识,由于其应用的广泛性,为我们解决所学过的有关函数问 题提供了一般性方法,是解决实际问题强有力的工具.导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高 考重点考查的对象.要牢记导数公式,熟练应用导数公式求函数的导数,掌握求导数的方法.应用导 数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型,了解导数概念的实际背景.应用导数求函数最值及 极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述. (二)高考预测
导数的考查方式以客观题为主,主要考查求导数的基本公式和法则,以及导数的几何意义.也可 以解答题的形式出现,即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题.导数的应用是重 点,侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题. 四、强化训练

1.已知曲线 y ? x2 的一条切线的斜率为 1 ,则切点的横坐标为( )

4

2

A.1

B.2

C.3

D.4

2.函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9, 已知 f (x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a ? ( )

(A)2

(B)3

(C)4

3.函数 f (x) ? 2x2 ? 1 x3 在区间 ?0,6?上的最大值是( )
3

(D)5

32 A. 3

16 B. 3

C.12

D. 9

4.三次函数 y ? ax3 ? x 在 x ? ?? ?,???内是增函数,则 (



A. a ? 0

B. a ? 0

C. a ? 1

D. a ? 1 3

5.在函数 y ? x3 ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 ? 的点中,坐标为整数的点的个数是( ) 4

A.3

B.2

C.1

D.0

6.已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, 当 x ? ?1时,取得极大值7;当 x ? ?1时,取得极小值.求这

个极小值及 a,b, c 的值.

7.设函数 f (x) ? x3 ? bx2 ? cx(x ? R). 已知 g(x) ? f (x) ? f / (x) 是奇函数.
(1)求 b, c 的值;(2)求 g(x) 的单调区间与极值.
8.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的 长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
9.已知函数 f ? x? ? x3 ? 3ax ?1, g ?x? ? f ?x? ? ax ?5 ,其中 f ' ? x? 是的导函数.
(I)对满足 ?1? a ?1的一切 a 的值,都有 g ? x? ? 0 ,求实数 x 的取值范围;
(II)设 a ? ?m2 ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y ? f ? x? 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点.
10.设函数 f (x) ? tx2 ? 2t 2x ? t ?1(x ? R,t ? 0) .(I)求 f (x) 的最小值 h(t) ;
(II)若 h(t) ? ?2t ? m 对 t ?(0,2) 恒成立,求实数 m 的取值范围.
11.设函数 f (x) ? x3 ? (a ? 1)x2 ? 4ax ? b(a,b ? R). 3
(I)若函数 f (x) 在 x ? 3 处取得极小值 1 , 求 a, b 的值;(II)求函数 f (x) 的单调递增区间; 2
(III) 若函数 f (x) 在 (?1,1) 上有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围.
12.已知二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a,b, c ? R) 满足:对任意 x ? R ,都有 f (x) ≥ x, 且当 x ? (1,3) 时,有 f (x) ≤ 1 (x ? 2)2 成立.(I)试求 f (2) 的值;(II)若 f (?2) ? 0, 求 f (x) 的表达式;
8
(III)在(II)的条件下,若 x ? ?0,??? 时, f (x) > m x ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围.
24 13.已知函数 f (x) ? a x3 ? 1 (3a ? 2)x2 ? 6x, g(x) ? ?ax2 ? 4x ? m(a, m ? R).
32
(I)当 a ? 1, x ? ?0,3?时,求 f (x) 的最大值和最小值;
(II)当 a <2 且 a ? 0 时,无论 a 如何变化,关于 x 的方程 f (x) ? g(x) 总有三个不同实根,求 m 的取值
范围.

例题参考答案

例 1 3;例 2 3;例 3 y ? ? 1 x,?? 3 ,? 3 ?? ;例 4 (1) a ? ?3,b ? 4, 增区间为 ?? ?,1?, ?2,???;减区间为 ?1,2? ,
4 ?2 8?

(2)

?? ?,?1? ? ?9,??? ;例5

(1) f / (x) ? 3x2 ? 2ax ? 4,

(2)

f

(x)max

?

f

(?1)

?

9, 2

f

(x)min

?

f

(4) 3

?

? 50 . ; 27

? ? ? ? 例6 (1) a ? 2, b ? ?12, c ? 0. (2) ? ?,? 2 , 2,??; f (x)max ? f (3) ?18, f (x)min ? f ( 2) ? ?8 2. ;

例 7 解:(Ⅰ) f ?(x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,



?c ? 0, ??3a ? 2b

?

c

?

解得
0,

?c ? ???b

? ?

0, ?3
2

a.

?

f

?(x)

?

3ax2

? 3ax

,?

f

?

? ??

1 2

? ??

?

3a 4

?

3a 2

?

3 2

,?a

?

?2 ,?

f

(x)

?

?2x3

?

3x2



(Ⅱ)令 f (x) ≤ x ,即 ?2x3 ? 3x2 ? x ≤ 0 ,?x(2x ?1)(x ?1)≥0 ,?0 ≤ x ≤ 1 或 x ≥1. 2
又 f (x) ≤ x 在区间?0,m? 上恒成立,?0 ? m ≤ 1 .
2

例 8 解:(Ⅰ)当 a ?1时, f (x) ? ?x(x ?1)2 ? ?x3 ? 2x2 ? x ,得 f (2) ? ?2 ,且

f ?(x) ? ?3x2 ? 4x ?1, f ?(2) ? ?5 .

所以,曲线 y ? ?x(x ?1)2 在点 (2,? 2) 处的切线方程是 y ? 2 ? ?5(x ? 2) ,整理得 5x ? y ? 8 ? 0 .

(Ⅱ)解: f (x) ? ?x(x ? a)2 ? ?x3 ? 2ax2 ? a2x , f ?(x) ? ?3x2 ? 4ax ? a2 ? ?(3x ? a)(x ? a) .
令 f ?(x) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? a . 3
由于 a ? 0 ,以下分两种情况讨论. (1)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?(x) 的正负如下表:

x

? ??

?∞,a 3

? ??

a 3

? ??

a 3

,a

? ??

a

(a,?∞)

f ?(x)

?

0

?

0

?

因此,函数

f

(x)



x

?

a 3

处取得极小值

f

? ??

a 3

? ??

,且

f

? ??

a 3

? ??

?

?

4 27

a3 ;

函数 f (x) 在 x ? a 处取得极大值 f (a) ,且 f (a) ? 0 .

(2)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?(x) 的正负如下表:

x

??∞,a?

a

? ??

a,a 3

? ??

f ?(x)

?

0

?

因此,函数 f (x) 在 x ? a 处取得极小值 f (a) ,且 f (a) ? 0 ;

a 3

? ??

a 3

,?

∞ ???

0

?

函数

f

(x) 在

x

?

a 3

处取得极大值

f

? ??

a 3

? ??

,且

f

? ??

a 3

? ??

?

?

4 27

a3 .

(Ⅲ)证明:由 a ? 3,得 a ? 1,当 k ???1,0? 时, k ? cos x ≤1, k 2 ? cos2 x ≤1.
3
由(Ⅱ)知, f (x) 在 ??∞,1? 上是减函数,要使 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) , x ?R

只要 k ? cos x ≤ k 2 ? cos2 x(x ? R) 即 cos2 x ? cos x ≤ k 2 ? k(x ? R)





g(x)

?

cos2

x

?

cos

x

?

? ??

cos

x

?

1 2

?2 ??

?

1 4

,则函数

g(x)



R

上的最大值为

2



要使①式恒成立,必须 k 2 ? k ≥ 2 ,即 k ≥ 2 或 k ≤ ?1.

所以,在区间??1,0? 上存在 k ? ?1,使得 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) 对任意的 x ?R 恒成立.

例 9 解:(1)? f / (x) ? 3ax2 ? 2x ? b, f (x) 在 ?? ?,0?上是增函数,在 ?0,3? 上是减函数,

所以当 x ? 0时, f (x) 取得极小值,

? f / (0) ? 0,?b ? 0.? f (2) ? 0,?8a ? 4 ? c ? 0.

又方程

f (x)

? 0 有三

实根,? a

?

0.?

f

/ (x)

? 3ax2

? 2x ? b

? 0 的两根分别为 x1

? 0, x2

?

2. 3a

又 f (x) 在 ?? ?,0?上是增函数,在 ?0,3? 上是减函数,? f / (x) >0 在 ?? ?,0?上恒成立,f / (x) <0 在 ?0,3?

上恒成立.

由二次函数的性质知, a >0 且 2 ≥ 3,? 0 < a ≤ 2 .

3a

9

故实数

a

的取值范围为

?? ?

0,

2 9

???.

(2) ?? ,2, ? 是方程 f (x) ? 0 的三个实根,

则可设 f (x) ? a(x ? ? )( x ? 2)( x ? ? ) ? ax3 ? a(2 ? ? ? ? )x2 ? a(2? ? 2? ? ?? )x ? 2a?? .

又 f (x) ? ax3 ? x2 ? bx ? c(a,b, c ? R) 有 a(? ? ? ? 2) ? 1,?? ? ? ? 1 ? 2, a

?0 < a ≤ 2 ,?? ? ? ≥ 5 .

9

2

强化训练答案:

ADAAD

6.解: f / (x) ? 3x2 ? 2ax ? b .

据题意,-1,3是方程 3x2 ? 2ax ? b ? 0 的两个根,由韦达定理得

????

1

?

3

?

?

2a 3

? ???? 1?

3

?

b 3

∴ a ? ?3,b ? ?9,? f (x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? c ,? f (?1) ? 7,?c ? 2

∴极小值 f (3) ? 33 ? 3? 32 ? 9 ? 3 ? 2 ? ?25

7.解:(1)∵ f ? x? ? x3 ? bx2 ? cx ,∴ f ??x? ? 3x2 ? 2bx ? c 。从而
g(x) ? f (x) ? f ?(x) ? x3 ?bx2 ?cx ?(3x2 ?2bx ?c)= x3 ?(b?3)x2 ?(c ?2b)x ?c 是一个奇函数,

所以 g(0) ? 0得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ;

(2)由(Ⅰ)知 g(x) ? x3 ?6x,从而 g?(x) ? 3x2 ?6 ,由此可知,

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g (x) 是单调递增区间;

(? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;

g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 ,g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小值为 ?4 2 。

h ? 18?12x ? 4.5 ? 3x(m)

8.解:设长方体的宽为 x (m),则长为 2x (m),高为

4

??0<x<3 ??

?

2?.

? ? V ?x? ? 2x2 ?4.5 ? 3x? ? 9x2 ? 6x3 m3
故长方体的体积为
从而V?(x) ?18x ?18x2 (4.5 ? 3x) ?18x(1? x).
令V '?x? ? 0 ,解得 x ? 0(舍去)或 x ? 1,因此 x ? 1.

??0 ? x ? 3 ??

?

2?

当0

?

x

? 1时,V'?x? ?

0

1?
;当

x

?

3 2

时,V'?x? ?

0



故在 x ? 1处V ?x?取得极大值,并且这个极大值就是V ?x?的最大值。
? ? 从而最大体积V ?V'?x? ? 9?12 ? 6?13 m3 ,此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.

答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为 3m3 .

9.解:(Ⅰ)由题意 g ? x? ? 3x2 ? ax ? 3a ?5,令? ? x? ? ?3? x? a ? 3x2 ?5, ?1? a ?1

对 ?1? a ?1,恒有 g ? x? ? 0 ,即? ?a? ? 0



?? ? ?1? ? 0 ???? ??1? ? 0



?3x2 ??3x2

? ?

x x

? ?

2 8

? ?

0 0

解得 ? 2 ? x ? 1 3



x

?

? ??

?

2 3

,1???

时,对满足

?1

?

a

?

1的一切

a

的值,都有

g

?

x?

?

0

(Ⅱ) f ' ? x? ? 3x2 ? 3m2

①当 m ? 0 时, f ? x? ? x3 ?1的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点

②当 m ? 0 时,列表:

x

?? ?,? | m |?

?m

?? m , m ?

m

? m , ???

f ' ?x?

?

0

?

0

?

f ?x?

极大

极小

∴ f (x) |极小? f (| m |) ? ?2m2 | m | ?1< ?1,
又∵ f ? x? 的值域是 R ,且在 ? m , ??? 上单调递增

∴当 x ? m 时函数 y ? f ? x? 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点。

当 x ? m 时,恒有 f ? x? ? f ?? m ?
? ? ? ? ? ? 由题意得 f ? m ? 3 即 2m2 m ?1? 2 m 3 ?1? 3 解得 m? ?3 2,0 0, 3 2 ? ? 综上, m 的取值范围是 ? 3 2, 3 2 .

10.解:(Ⅰ) f (x) ? t(x ? t)2 ? t3 ? t ?1(x ? R,t ? 0) ,

?当 x ? ?t 时, f (x) 取最小值 f (?t) ? ?t3 ? t ?1,即 h(t) ? ?t3 ? t ?1.

(Ⅱ)令 g(t) ? h(t) ? (?2t ? m) ? ?t3 ? 3t ?1? m ,

由 g?(t) ? ?3t2 ? 3 ? 0 得 t ? 1, t ? ?1(不合题意,舍去).

当 t 变化时 g?(t) , g(t) 的变化情况如下表:

t

(0,1)

1

(1,2)

g?(t)

?

0

?

g (t )

递增

极大值

递减

1? m

? g(t) 在 (0,2) 内有最大值 g(1) ? 1? m.

h(t) ? ?2t ? m 在 (0,2) 内恒成立等价于 g(t) ? 0 在 (0,2) 内恒成立,即等价于1? m ? 0,

所以 m 的取值范围为 m ? 1.

11.解:(I)? f / (x) ? x2 ? 2(a ?1)x ? 4a,? f / (3) ? 9 ? 6(a ?1) ? 4a ? 0,?a ? 3 ,? f (3) ? 1 ,?b ? ?4.

2

2

(II) ? f / (x) ? x 2 ? 2(a ? 1)x ? 4a ? (x ? 2a)( x ? 2), 令? f / (x) ? 0.? x ? 2a,2

当 a >1 时,由 f / (x) >0 得 f (x) 的单调递增区间为 ?? ?,2?, ?2a,??? ;

当 a =1 时, f / (x) ? (x ? 2)2 ≥0,即 f (x) 的单调递增区间为 ?? ?,??? ;

当 a <1 时,由 f / (x) >0 得 f (x) 的单调递增区间为 ?? ?,2a?, ?2,??? .

(III)由题意知 a <1 且 f / (?1) f / (1) <0,解得 ? 1 < a < 1 , 即实数 a 的取值范围为 (? 1 , 1 ).

22

22

12.(Ⅰ)由条件知 f (2) ≥2, f (2) ≤ 1 (2 ? 2)2 ,? f (2) ? 2. 8

(Ⅱ)由 f (?2) ? 0, f (2) ? 2, 得 b ? 1 , c ? 1 ? 4a. 又 f (x) ≥ x 恒成立,即 ax2 ? (b ?1)x ? c ≥0 恒成立, 2

? a >0,且 ? ? (1 ?1)2 ? 4a(1? 4a)≤ 0,? (8a ?1)2 ≤ 0,? a ? 1 ,b ? 1 , c ? 1 .? f (x) ? 1 x2 ? 1 x ? 1 .

2

822

8 22

(III)g(x) ? 1 x2 ? (1 ? m)x ? 1 > 1 在 x ? ?0,??? 恒成立,即 x2 ? 4(1 ? m)x ? 2>0 在 x ? ?0,??? 恒成立
8 22 24

①由 ? <0,解得1 ?

2 < m <1?

2 ;②{

? ≥0 ? 2(1 ? m) ≤0

,解出 m ≤1 ?

2

2

2

f (0) ? 2 >0

2

故 m 的取值范围为 ???? ? ?,1 ?

2 2

????



13.解:(Ⅰ) f / (x) ? ax2 ? (3a ? 2)x ? 6 ? (ax ? 2)(x ? 3),? a ? 1,? f / (x) ? (x ? 2)(x ? 3), x ?[0,3]

? x ? ?0,2?, f / (x) ≥ 0, f (x) 单调递增; x ? ?2,3?, f / (x) ≤ 0, f (x) 单调递减;

? f (x)max ?

f (2) ? 14 , 3

f (x)min 为

f

(0)

?

0



f

(3)

?

9 2

的最小者,?

f

( x) m in

?

f (0) ? 0.

(Ⅱ)令 h(x) ? f (x) ? g(x), 则 h(x) ? a x3 ? (a ?1)x2 ? 2x ? m,?h/ (x) ? ax2 ? (a ? 2)x ? 2 ? (ax ? 2)(x ?1) 32
因 f (x) ? g(x) 总有三个不同实根,即 y ? h(x) 的图象与 x 轴总有三个不同的交点,





a

<0

时,

2 a

<1,

h(x)

的极大值为

h(1)

?

1?

a 6

?

m,

h(x)

的极小值为 h( 2) a

?

6a ? 3a 2

4

?

m,

要使 y ? h(x) 的图象与 x 轴总有三个不同的交点,只需 h(1) >0 且 h( 2 ) <0 在 a <0 时恒成立,易有 a

m

≥(a 6

? 1)

|max,? m

≥ ? 1, 且 m

≤(?

6a ? 3a 2

4)

|min ,?

?

6a ? 3a 2

4

?

4 3

(1 a

?

3)2 4

?

3 4

> 0,?m

≤0,

??1≤ m ≤0.

②当 0< a <2 时, h/ (x) ? ax2 ? (a ? 2)x ? 2 ? (ax ? 2)( x ?1),

h(x) 的极大值为 h(1) ? 1? a ? m, h(x) 的极小值为 h( 2) ? 6a ? 4 ? m,

6

a 3a 2

由题意有 h(1) >0 且 h( 2 ) <0,此时 m ?? . a


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