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2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训:6-2一元二次不等式及其解法


05 限时规范特训
A级 基础达标 1.不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围 是( ) A.[-4,4] C.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.(-4,4) D.(-∞,-4)∪(4,+∞)

解析: 不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,只需 Δ=a2-16>0, ∴a<-4 或 a>4,故选 D. 答案:D x-1 2 . [2014· 厦门外国语学校联考 ] 不等式 log2 x ≥1 的解集为 ( ) A.(-∞,-1] C.[-1,0) B.[-1,+∞) D.(-∞,-1]∪(0,+∞)

x-1 x-1 x-1 解析: 不等式 log2 x ≥1 可转化为 log2 x ≥log22, 即 x ≥2, x-1 x-1-2x x+1 即 x -2≥0,所以 ≥ 0 ,即 x x ≤0,所以-1≤x<0,故选 C. 答案:C 4 3.不等式 ≤x-2 的解集是( x-2 A.(-∞,0]∪(2,4] C.[2,4) ) B.[0,2)∪[4,+∞) D.(-∞,2]∪(4,+∞)

解析: ①当 x-2>0, 即 x>2 时, 不等式可化为(x-2)2≥4, ∴x≥4; ②当 x-2<0,即 x<2 时,不等式可化为(x-2)2≤4,∴0≤x<2.

答案:B 4.[2014· 安徽名校模拟]已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+4 -2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为( A.(-∞,2)∪(3,+∞) C.(-∞,1)∪(3,+∞) ) B.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,3)

解析:把原不等式的左端看成关于 a 的一次函数,记 f(a)=(x- 2)a+x2-4x+4,则 f(a)>0 对于任意的 a∈[-1,1]恒成立,易知只需 f(-1)=x2-5x+6>0 ①,且 f(1)=x2-3x+2>0 ②即可,联立①② 解得 x<1 或 x>3.故选 C. 答案:C 5.[2014· 海南质检]已知二次函数 f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z), 且函数 f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式 f(x)>1 的解集为 ( ) A.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,0) B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(0,1)

解析:∵f(x)=ax2-(a+2)x+1,Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0, ∴函数 f(x)=ax2-(a+2)x+1 必有两个不同的零点. 因此 f(-2)f(-1)<0, ∴(6a+5)(2a+3)<0. 3 5 ∵-2<a<-6. 又 a∈Z, ∴a=-1, 不等式 f(x)>1 即为-x2-x>0, 解得-1<x<0. 故选 C. 答案:C 6.[2014· 济宁市高三模拟]已知 x∈(0,+∞)时,不等式 9x-m· 3x +m+1>0 恒成立,则 m 的取值范围是( )

A.2-2 2<m<2+2 2 C.m<2+2 2

B.m<2 D.m≥2+2 2

解析:令 t=3x(t>1),则由已知得函数 f(t)=t2-mt+m+1(t∈(1, +∞))的图象恒在 x 轴的上方, ≥0 ?Δ m 即 Δ=(-m) -4(m+1)<0 或? 2 ≤1 ?f?1?=1-m+m+1≥0
2

解得 m<2+2 2. 答案:C 1 1 7.若不等式 ax2+bx+2>0 的解集为-2<x<3,则不等式 2x2+bx +a<0 的解集是________. 1 1 解析:由题意,知-2和3是一元二次方程 ax2+bx+2=0 的两根 且 a<0, 1 1 b ? ?-2+3=-a 所以? 1 1 2 ? - ? 2×3=a
? ?a=-12 ,解得? . ? ?b=-2

则不等式 2x2+bx+a<0 即 2x2-2x-12<0, 其解集为{x|-2<x<3}. 答案:(-2,3)
?2x2+1?x≤0?, ? 8. [2014· 金陵模拟]已知函数 f(x)=? 则不等式 f(x) ? ?-2x?x>0?,

-x≤2 的解集是________. 1 解析: 当 x≤0,2x2+1-x≤2, ∴-2≤x≤0; 当 x>0, -2x-x≤2,

1 ∴x>0.综上所述 x∈[-2,+∞). 1 答案:[-2,+∞) 9.[2014· 天津四校联考]已知函数 f(x)=x2+ax-1 在区间[0,3]上 有最小值-2,则实数 a 的值为________. a 解析: 当-2≤0, 即 a≥0 时, 函数 f(x)在[0,3]上为增函数, 此时, f(x)min=f(0)=-1,不符合题意,舍去; a 当-2≥3, 即 a≤-6 时, 函数 f(x)在[0,3]上为减函数, 此时, f(x)min 10 =f(3)=-2,可得 a=- 3 ,这与 a≤-6 矛盾; a a 当 0<-2<3,即-6<a<0 时,f(x)min=f(-2)=-2,可解得 a=- 2,符合题意.综上 a 的值为-2. 答案:-2 10.已知关于 x 的不等式 kx2-2x+6k<0(k≠0). (1)若不等式的解集为{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值; 1 (2)若不等式的解集为{x|x∈R,x≠k},求 k 的值; (3)若不等式的解集为 R,求 k 的取值范围; (4)若不等式的解集为?,求 k 的取值范围. 解:(1)由不等式的解集为{x|x<-3 或 x>-2}可知 k<0,且-3 与 -2 是方程 kx2-2x+6k=0 的两根, 2 2 ∴(-3)+(-2)=k,解得 k=-5.
?k<0, ? 1 (2)由不等式的解集为{x|x∈R,x≠k}可知? 2 ?Δ=4-24k =0, ?

6 解得 k=- 6 .
? ?k<0, 6 (3)依题意知? 解得 k < - 2 6. ? ?Δ=4-24k <0, ? ?k>0, 6 (4)依题意知? 解得 k≥ 6 . 2 ?Δ=4-24k ≤0, ?

11.[2014· 济南模拟]设 a≠0,对于函数 f(x)=log3(ax2-x+a), (1)若函数 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为 R 等价于 ax2-x+a>0 对一切实数 x 都成
?a>0 1 立,即? ,解得 a>2. 2 ?Δ=1-4a <0

(2)f(x)的值域为 R 等价于 ax2-x+a 能取遍大于 0 的所有实数值, 即?
?a>0 ?Δ=1-4a ≥0
2

1 ,解得 0<a≤2.

12. [2014· 金华模拟]设二次函数 f(x)=ax2+bx+c, 函数 F(x)=f(x) -x 的两个零点为 m,n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n<a,比较 f(x)与 m 的大小. 解:(1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n), 当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0, 即 a(x+1)(x-2)>0. 当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1 或 x>2};当 a<0 时, 不等式 F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}. (2)f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an +1),

1 ∵a>0,且 0<x<m<n<a, ∴x-m<0,1-an+ax>0. ∴f(x)-m<0,即 f(x)<m. B级 知能提升 1.[2014· 金版原创]在 R 上定义运算“*”:x*y=x(1-y).若不等 式(x-y)*(x+y)<1 对一切实数 x 恒成立, 则实数 y 的取值范围是( 1 3 A.(-2,2) C.(-1,1) 3 1 B.(-2,2) D.(0,2) )

解析:由题意知,(x-y)*(x+y)=(x-y)· [1-(x+y)]<1 对一切实 数 x 恒成立,∴-x2+x+y2-y-1<0 对于 x∈R 恒成立,∴Δ=12- 1 3 4×(-1)×(y2-y-1)<0,∴4y2-4y-3<0,解得-2<y<2,故选 A. 答案:A 2. 已知函数 f(x)=kx+1, g(x)=x2-1, 若?x∈R, f(x)>0 或 g(x)>0, 则 k 的取值范围是________. 解析: 易知 g(x)的图象过点 A(-1,0)、 B(1,0)、 f(x)的图象过点(0,1), 当 f(x)的图象过 A、B 时的斜率为参考临界值,通过数形结合可得 k ∈(-1,1). 答案:(-1,1) 3. [2014· 湘潭模拟]对于满足 0≤a≤4 的实数 a, 使 x2+ax>4x+a -3 恒成立的 x 取值范围是________. 解析:原不等式等价于 x2+ax-4x-a+3>0,∴a(x-1)+x2-4x +3>0,令 f(a)=a(x-1)+x2-4x+3,则函数 f(a)=a(x-1)+x2-4x +3 表示直线,∴要使 f(a)=a(x-1)+x2-4x+3>0,则有 f(0)>0,

f(4)>0,即 x2-4x+3>0 且 x2-1>0,解得 x>3 或 x<-1,即不等式的 解集为(-∞,-1)∪(3,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞) 4.[2014· 浙江台州模拟]已知不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(1, t),记函数 f(x)=ax2+(a-b)x-c. (1)求证:函数 y=f(x)必有两个不同的零点; (2)若函数 y=f(x)的两个零点分别为 m,n,求|m-n|的取值范围; (3)是否存在这样的实数 a,b,c 及 t 使得函数 y=f(x)在[-2,1] 上的值域为[-6,12]?若存在,求出 t 的值及函数 y=f(x)的解析式; 若不存在,请说明理由. b c 解:(1)证明:由题意知 a+b+c=0,且-2a>1,a<0 且a>1, ∴ac>0, ∴对于函数 f(x)=ax2+(a-b)x-c 有 Δ=(a-b)2+4ac>0, ∴函数 y=f(x)必有两个不同零点. ?b-a?2+4ac ?-2a-c?2+4ac (2)|m - n| = (m + n) - 4mn = = = a2 a2
2 2

c c (a)2+8a+4, 由不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(1,t)可知, 方程 ax2+bx+c=0 的两个解分别为 1 和 t(t>1), c 由根与系数的关系知a=t, ∴|m-n|2=t2+8t+4,t∈(1,+∞). ∴|m-n|> 13,∴|m-n|的取值范围为( 13,+∞). (3)假设存在满足题意的实数 a,b,c 及 t, b c ∵f(x)=ax2+(a-b)x-c=a[x2+(1-a)x-a]

a+c c =a[x2+(1+ a )x-a] =a[x2+(2+t)x-t](t>1), t 3 ∴f(x)的对称轴为 x=-1-2<-2. ∴f(x)在[-2,1]上的最小值为 f(1)=3a=-6,则 a=-2. 要使函数 y=f(x)在[-2,1]上的值域为[-6,12], 只要 f(x)max=12 即可. t ①若-1-2≤-2,即 t≥2,f(x)max=f(-2)=12,则有 6t=12, ∴t=2. 此时,a=-2,b=6,c=-4,t=2,∴f(x)=-2x2-8x+4.
2 t t t +8t+4 ②若-1-2>-2,∴1<t<2,f(x)max=f(-1-2)= =12. 2

∴t=2 或 t=-10,舍去. 综上所述,当 a=-2,b=6,c=-4,t=2 时,函数 y=f(x)在[- 2,1]上的值域为[-6,12],此时函数的解析式为 f(x)=-2x2-8x+4.


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