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一元二次不等式及其解法导学案


一元二次不等式及其解法导学案
一、学习目标
理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一元二次不等式的方 法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力;

总结归纳: 总结归纳:上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 ax + bx + c > 0 或 ax + bx + c < 0 ( a > 0)
2 2

的解集; 问题 3:完成下表格,并回答思考问题: :

? = b 2 ? 4ac

?>0 y = ax 2 + bx + c

?=0 y = ax 2 + bx + c

?<0 y = ax 2 + bx + c

二、本节重点
二次函数 熟练掌握一元二次不等式的解法

三、本节难点
理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系

y = ax 2 + bx + c
( a > 0 )的图象

【使用说明及学法指导】 使用说明及学法指导】
1.结合导学案,完成问题导学部分,并标记自己的疑难点;2.若预习完可对合作探究部分认真审题,做 不玩的正课时在做;3.找出自己的疑惑和需要谈论的问题准备上课谈论质疑. 一元二次方程
2 问题 1. 二次函数的图像和性质,如 y = x ? 2 x ? 3 的开口方向、顶点坐标、与 x 轴的交点坐标及对称 ax 2 + bx + c = 0

有两相异实根

有两相等实根

轴分别是什么?并作出它的草图. (1)开口方向: (2)顶点坐标: (3)与 x 轴的交点坐标: (4)对称轴为: 问题 2. 根据草图填空: 1. 当 x = 2. 当 x ∈ 或 时, y = 0 ,即 x ? 2 x ? 3 = 0 ;
2

(a > 0) 的根
ax 2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集


x1 , x 2 ( x1 < x 2 )

x1 = x 2 = ?

b 2a

无实根

; ;

.

ax 2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集

时,函数的图像位于 x 轴的下方,则 y
2

0 ,即 x 2 ? 2 x ? 3


0;

(填 ≥ 、 > 、 ≤ 或 < ). 所以不等式 x ? 2 x ? 3 < 0 的解集是 3. 当 x ∈ 时,函数的图像位于 x 轴的上方,则 y
2

0 ,即 x 2 ? 2 x ? 3

0;


(填 ≥ 、 > 、 ≤ 或 < ). 所以不等式 x ? 2 x ? 3 > 0 的解集是

1

小结 1:利用二次函数的图像解一元二次不等式的步骤是: : ① 将二次项系数化为“+” :A= ax + bx + c >0(或<0)(a>0)
2

.

② 计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ⅰ. ? >0 时,求根 x1 < x 2 , ?

?若A > 0,则x < x1或 > x 2; ?若A < 0,则x1 < x < x 2 .

练习:若 0 < t < 1 ,则不等式 ( x ? t )( x ? ) < 0 的解集为(

1 t



?若A > 0,则x ≠ x0的一切实数; ? ⅱ. ? =0 时,求根 x1 = x 2 = x0 , ?若A < 0,则x ∈ φ; ?若A ≤ 0,则x = x . 0 ?
ⅲ. ? <0 时,方程无解, ?

1 1 1 1 A. {x | < x < t} B. {x | x > 或x < t} C. {x | x > t或x < } D. {x | t < x < } t t t t
3:已知一元二次不等式 ax + bx + 6 > 0 的解集为 {x | ?2 < x < 3} ,求 a , b 的值.
2

?若A > 0,则x ∈ R; ?若A ≤ 0,则x ∈ φ .
. 4、解关于 x 的不等式: ax 2 ? ( a + 1) x + 1 < 0

③ 写出解集. 小结 2:二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系是: 例 1:解下列不等式: (1) x ? 3 x ? 4 ≥ 0
2

(2) 4 x ? 4 x + 1 > 0
2

(3) ? x + 2 x ? 3 > 0
2

解:

解:

解:

例 2:解下列不等式: (1) ( x + 1)( x ? a ) < 0 解: (2) x ? 5ax + 6a > 0 ( a ≠ 0)
2 2

解:

2


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