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函数及其表示练习题及详细答案


函数及其表示
1.下列函数中是同一函数的是( A.y=1 与 y=x0 )

C.y=2lgx 与 y=lgx2 D.y=2x+1-2x 与 y=2x 答案 解析 D y=1 与 y=x0 定义域不同;

y=2lgx 与 y=lgx2 的定义域不同; y=2x+1-2x=2x(2-1)=2x. 2.下列表格中的 x 与 y 能构成函数的是( A. x y 非负数 1 非正数 -1 )

B. x y 奇数 1 0 0 偶数 -1

C. x y 有理数 1 无理数 -1

D. x y 自然数 1 整数 0 有理数 -1

答案 解析

C A 中 0 既是非负数又是非正数;B 中 0 又是偶数;D 中自然数也是整

数,也是有理数. 3. 已知 f: x→2sinx 是集合 A(A?[0,2π])到集合 B 的一个映射, 若 B={0,1,2}, 则 A 中的元素个数最多为( A.6 C.4 答案 解析 A π ∵A?[0,2π],由 2sinx=0,得 x=0,π,2π;由 2sinx=1,得 x=6, ) B.5 D.3

5π π ;由 2sinx=2,得 x= .故 A 中最多有 6 个元素.故选 A. 6 2 4.设 f、g 都是由 A 到 A 的映射,其对应法则如下表(从上到下): 表1 原象 象 表2 原象 象 则与 f[g(1)]相同的是( A.g[f(1)] C.g[f(3)] 答案 解析 A f[g(1)]=f(4)=1,g[f(1)]=g(3)=1.故选 A. ) B.lg32 1 D.5lg2 ) B.g[f(2)] D.g[f(4)] 映射 f 的对应法则 1 3 2 4 3 2 4 1

映射 g 的对应法则 1 4 2 3 3 1 4 2

5.已知 f(x5)=lgx,则 f(2)等于( A.lg2 1 C.lg32 答案 D

?-x,x≤0, 6.设函数 f(x)=? 2 若 f(a)=4,则实数 a=( ?x ,x>0. A.-4 或-2 C.-2 或 4 答案 解析 B B.-4 或 2 D.-2 或 2

)

当 a>0 时,有 a2=4,∴a=2;当 a≤0 时,有-a=4,∴a=-4,

因此 a=-4 或 a=2. b 7.a,b 为实数,集合 M={a,1},N={a,0},f 是 M 到 N 的映射,f(x)=x, 则 a+b 的值为( A.-1 C.1 答案 解析 C 由 f(x)=x,知 f(1)=a=1. ) B.0 D.± 1

b ∴f(a)=f(b)=0,∴b=0. ∴a+b=1+0=1.
2 ?sin?πx ?,-1<x<0, 8.函数 f(x)=? x-1 若 f(a)=1,则 a 的所有可能值组成的 ?e ,x≥0.

集合为( A.{1}

) 2 B.{1,- 2 } 2 D.{1, 2 }

2 C.{- 2 } 答案 解析 B

?-1<x<0, 2 由? 得 x=- 2 . 2 ?sinπx =1,

?x≥0, 由? x-1 得 x=1.故选 B. ?e =1, 9.设函数 f(x)=2x+1,且有 φ(1)=3,φ(x)=f[φ(x-1)](x≥2),其中 x∈N*, 则函数 φ(x)的解析式为( )

A.φ(x)=2x-1(x∈N*) B.φ(x)=2x+1-1(x∈N*) C.φ(x)=2x+1(x∈N*) D.φ(x)=2x-1-1(x∈N*) 答案 解析 B φ(2)=f[φ(1)]=f(3)=7,

经检验只有 φ(x)=2x+1-1 适合,故选 B. ?a?a≤b?, 10.定义运算 a@b=? 则函数 f(x)=1@2x 的图像是( ?b?a>b?, )

答案 解析

A
x ?1 ?x≥0?, ?1 ?1≤2 ?, f(x)=1@2 =? x =? x x ?2 ?1>2 ? ?2 ?x<0?, x

结合图像,选 A.
2 ?x -35,x≥3, 11.已知 x∈N ,f(x)=? 其值域设为 D.给出下列数值:- ?f?x+2?,x<3, *

26, -1,9,14,27,65, 则其中属于集合 D 的元素是________(写出所有可能的数值). 答案 解析 -26,14,65 注意函数的定义域是 N*,由分段函数解析式可知,所有自变量的函

数值最终都是转化为大于等于 3 的对应自变量函数值计算的 f(3)=9-35=-26, f(4)=16-35=-19, f(5)=25-35=-10, f(6)=36-35=1, f(7)=49-35=14, f(8)=64 - 35=29 , f(9) =81- 35 = 46 ,f(10) =100 - 35 =65. 故正确答案应填- 26,14,65. 12.函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的部分数值如下表: x f(x) -3 -80 -2 -24 -1 0 0 4 1 0 2 0 3 16 4 60 5 144

则函数 y=lgf(x)的定义域为__________. 答案 (-1,1)∪(2,+∞)

解析

结合三次函数的图像和已知表可知 f(x)>0 的解集为(-1,1)∪(2,+

∞),即为 y=lgf(x)的定义域. 13. (2013· 安徽)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x). 若当 0≤x≤1 时, f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0 时,f(x)=________. 答案 解析 - x?x+1? 2

当-1≤x≤0 时,有 0≤x+1≤1,所以 f(1+x)=(1+x)[1-(1+x)]=

x?x+1? 1 -x(1+x),又 f(x+1)=2f(x),所以 f(x)=2f(1+x)=- 2 . 14.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过 程中,室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完 1 毕后,y 与 t 的函数关系式 y=(16)t-a(a 为常数),如图所示,根据图中提供的信 息,回答下列问题:

(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的 函数关系式为__________________________. (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可 进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教 室. 10t,0≤t≤0.1, ? ? (1)y=? 1 t-0.1 ? ? ,t>0.1 ? ? 16

答案 解析

(2)0.6

(1)设 y=kt,由图像知 y=kt 过点(0.1,1),则

1=k×0.1,k=10,∴y=10t(0≤t≤0.1). ?1? ?1? 由 y=?16?t-a 过点(0.1,1),得 1=?16?0.1-a,解得 ? ? ? ? ?1? a=0.1,∴y=?16?t-0.1(t>0.1), ? ?

1 ? 1?- (2)由?16?t 0.1≤0.25=4,得 t≥0.6. ? ? 故至少需经过 0.6 小时学生才能回到教室. 15.一个圆柱形容器的底面直径为 d cm,高度为 h cm,现以 S cm3/s 的速度 向容器内注入某种溶液,求容器内溶液高度 y(cm)与注入时间 t(s)的函数关系式 及定义域. 答案 解析 4S πhd2 y=πd2· t,t∈[0, 4S ] 4S 依题意,容器内溶液每秒升高πd2 cm.

4S 于是 y=πd2· t. 4S πhd2 又注满容器所需时间 h÷ (πd2)= 4S (秒), πhd2 故函数的定义域是 t∈[0, 4S ]. 16.如图所示,△AOB 是边长为 2 的正三角形,设直线 x=t 截这个三角形 所得到的位于此直线左方的图形的面积为 y,求函数 y=f(t)的解析式.

解析

1 3 当 t∈[0,1]时,y=2t· t· tan60° = 2 t2 ;

3 2 1 3 当 t∈(1,2]时,y= 4 · 2 -2(2-t)2tan60° = 3- 2 (2-t)2, 32 ? ? 2 t , t∈[0,1], ∴y=f(t)=? 3 2 ? 3 - ? 2 ?2-t? , t∈?1,2].

(1)求常数 c 的值;

2 (2)解不等式 f(x)> 8 +1. 答案 解析 1 (1)2 (2)?x|
? ? ? ? ? 2 5? ? < x < 4 8? ?

9 9 1 (1)∵0<c<1,∴c2<c.由 f(c2)=8,即 c3+1=8,∴c=2.

1 1 x + 1 , 0< x < ? ?2 2, (2)由(1)得 f(x)=? 1 4x ? ?2 +1,2≤x<1.


2 1 2 1 由 f(x)> 8 +1,得当 0<x<2时,解得 4 <x<2. 1 1 5 当2≤x<1 时,解得2≤x<8.
? ? ? 2 2 5? ∴f(x)> 8 +1 的解集为?x| <x< ?. 4 8 ? ? ? ?


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