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黑龙江省拜泉一中2010—2011学年度高一上学期期末考试数学试题

黑龙江省拜泉一中 2010—2011 学年度高一上学期期末考试数学试题 —
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) , 全卷 150 分,考试时间 120 分钟。 第 Ⅰ卷 选择题( 小题, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1. 下列关系中正确的个数为 ( ) ① 0∈{0},② Φ ? {0},③{0,1} ? {(0,1)},④{(a,b)}={(b,a)} A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列四个图形中,不是以 x 为自变量的函数的图象是 ( ) ..
y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C ( )

D

3. 函数 f ( x) = x3 + 3 x ? 1 在以下哪个区间内一定有零点 A. (?1, 0) B. (0,1) C. (1, 2)

D. (2,3)

) 4.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是 ( 2 A. y = - x +2x B. y = x3 C. y = 2-x+1 D. y = log2x 5.设 lg 2 = a , lg 3 = b ,则 lo g 5 1 2 等于 ( )

2a + b a + 2b B . C. 1+ a 1+ a 6.若 sin α cos α < 0 ,则角 α 的终边在
A . A.第二象限 B.第四象限

2a + b 1? a

D.

a + 2b 1? a
D.第三、四象限

( ) C.第二、四象限 )

7. 下列函数中是奇函数的是 (

A.y = sinx + 1

B. y = cos(x +

π
2

)

C. y = sin(x -

π
2

)

D. y = cosx – 1

8. 函数 y = A.

sin x ? sin x 的值域是
B. [ -2 , 2 ]

( C.

) [0,2] D.[ -2 , 0 ] )

{0}

9.函数 y = A sin(ωx + ? ) 在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为(

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(A) y = 2 sin( 2 x + (B) y = 2 sin( 2 x + (C) y = 2 sin(

π

2π ) 3 3 )

x π ? ) 2 3

(D) y = 2 sin( 2 x ? 10. 函数 y = 2sin ( A. [ 2kπ ?

π

π
3

3

)


? 2 x )的单调递增区间是( ,2kπ ?

5π 7π π ] (k ∈ Z) B. [ kπ ? , kπ ? ] (k ∈ Z) 12 12 12 12 7π π π 5π ,2kπ ? ] (k ∈ Z) D. [ kπ ? , kπ + ] (k ∈ Z) C . [ 2kπ ? 12 12 12 12

π

11.对于函数 f(x)=sin(2x+

π

6

),下列命题:

①函数图象关于直线 x=-

π
12

对称;

②函数图象关于点(

③函数图象可看作是把 y=sin2x 的图象向左平移个 ④函数图象可看作是把 y=sin(x+

π
6

5π ,0)对称; 12

单位而得到;

π
6

)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ( )

1 倍 2

(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

? a, ( a ≤ b) 如 1 ? 2 = 1 ,则函数 f ( x) = 2 x ? 2? x 的值域为 12. 定义运算 a ? b 为: a ? b = ? ?b, (a > b) ,
( ) A. R B. (0,+∞) 第 II 卷 C. (0,1]

D. [1,+∞)

(本大题共 小题, 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 填空题: ( 13.与 ? 2002 终边相同的最小正角是___
0

__________。
y 3 2

?2 x + 3 ? 14. 函数 y= ? x + 3 ?- x + 5 ?

( x ≤ 0), (0 < x ≤ 1), 的最大值是_______. ( x > 1)

15.已知 f (x)是定义在 [ ?2, 0 ) ∪ ( 0, 2] 上的奇函数,当 x > 0 (x)的图象如右图所示, 那么 f (x)的值域是

O

2

x

时, f

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16. 函数 y =

3 cos x + 1 的值域是 cos x + 2

解答题( 小题, 解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.) 17. (本题满分 10 分)

π 3π sin(α ? ) cos( + α ) tan(π ? α ) 2 2 已知 α 为第三象限角, f (α ) = . tan(?α ? π ) sin(?α ? π )
(1)化简 f

(α )
3π 1 ) = ,求 f (α ) 的值 2 5

(2)若 cos(α ?

18. (本题满分 12 分)

x π + ) 2 3 x π (1)求函数 y = 2 sin( + ) 的周期,最大值及取得最大值时相应的 x 的集合; 2 3 x π (2) 指出函数 y = 2 sin( + ) 的图象是由函数 y = sin x ( x ∈ R ) 的图象经过怎样的变化 2 3
已知函数 y = 2 sin( 而得到的。 19.(本小题满分 12 分) 已知角θ 的终边上有一点 P( ? 3 ,m) ,且 sin θ = 求 cosθ 与 tan θ 的值。 20. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,且当 x > 0 时,函数的解析式为 f ( x ) = (1)求 f ( ?1) 的值; (2)求当 x < 0 时,函数的解析式; (3)用定义证明 f ( x ) 在 ( 0,+∞ ) 上是减函数; 21.(本小题满分 12 分)

2 m, 4

2 ? 1. x

1 已 知 指 数 函 数 y = ( ) x , 当 x ∈ (0, + ∞) 时 , 有 y > 1 , 解 关 于 x 的 不 等 式 a

log a ( x ? 1) ≤ log a ( x 2 + x ? 6) 。
22. (本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数 (1)若 (2)求

f ( x) = 2 x 2 + ( x ? a ) | x ? a | .

f (0) ≥ 1 ,求 a 的取值范围; f ( x) 的最小值;
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(3)设函数 h( x) = 解集.

f (x), x ∈(a, +∞) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ≥ 1 的 ....

高一数学试卷答案 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) BCBCC CBDAB CC
第 4 页 共 7 页

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 158
0

14. 4 16. [ ? 2,

15. {x| -3≤x<-2}∪{x| 2<x≤3} 三、解答题 17.解: (本题满分 10 分)

4 ] 3

(1)

π 3π sin(α ? ) cos( + α ) tan(π ? α ) 2 2 f (α ) = tan(?α ? π ) sin(?α ? π )
(? cos α )(sin α )(? tan α ) (? tan α ) sin α = ? cos α =
(2)∵ cos(α ? ∴ ? sin α =

………5 分

3π 1 )= 2 5
从而 sin α = ?

又 α 为第三象限角 ∴ cos α = ? 1 ? sin α = ?
2

1 5

1 5

………7 分

2 6 5

………9 分

即 f (α ) 的值为 ?

2 6 5

………10 分

18.解: (本题满分 12 分)

2π = 4π ………2 分 1 2 x π x π π π 当 2 sin( + ) = 1 ,即 + = 2kπ + ,即 x = 4kπ + , k ∈ Z 时, y 取得最大值 2 3 2 3 2 3
(1) T = 2. ………5 分 ∴ y 取得最大值 2 时, x 的取值集合为 ? x | x = 4kπ +
π

? ?

π

? , k ∈ Z ? ………6 分 3 ?

(2) y = sin x ?? ? ? → y = sin x + ? (

左移 个单位 3

π
3

) 横坐标扩大到原来的 2倍→ ?? ? ? ? ? ?
………12 分

x π x π y = sin( + ) ?纵坐标扩大到原来的2倍→ y = 2 sin( + ) ? ? ? ? ?? 2 3 2 3
19. (本题满分 12 分)
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解:由已知有,

2 m m= ,得 m=0,或 m = ± 5 4 3 + m2

………3 分

(1)当 m=0 时, cosθ = ?1, tan θ = 0 ; (2)当 m =

………6 分

5 时, cos = ?

6 15 , tan θ = ? , 4 3 6 15 , tan θ = 。 4 3

………9 分

(3) 当 m = ? 5 时, cos = ? 20. (本小题满分 12 分)

………12 分

解答: (1).因为 f ( x ) 是偶函数,所以 f ( ?1) = f (1) = 2 ? 1 = 1 ; (2)设 x < 0, 则 ? x > 0 ,所以 f ( ? x ) =

………2 分

2 ? 1 ,又 f ( x ) 为偶函数,所以 ?x
………7 分

f ( x ) = f (? x ) =

2 ? 1. ?x

(3) 设 x1,x2 是(0,+∞)上的两个任意实数,且 x1 < x2, 则 ? x= x1- x2<0, ? y = f (x1)- f (x2) =

1 1 1 1 x2 ? x1 -2- ( -2) = = . x1 x2 x1 x2 x1 x2

因为 x2- x1 = - ? x >0,x1x2 >0 , 所以 ? y >0. 因此 f (x) =

1 -2 是(0,+∞)上的减函数. x

………12 分

21: (本题满分 12 分)

1 1 解:∵ y = ( ) x 在 x ∈ (0, + ∞) 时,有 y > 1 ,∴ > 1, 即 0 < a < 1 ………4 分 a a
? x ? 1 ≥ x2 + x ? 6 ? 于是由 log a ( x ? 1) ≤ log a ( x + x ? 6) ,得 ? 2 , ………8 分 ?x + x ? 6 > 0 ?
2

解得 2 < x ≤ 5 , ∴ 不等式的解集为 {x | 2 < x ≤ 5} 。 22. (本题满分 12 分) 解: (1)若

………12 分

f (0) ≥ 1 ,则 ?a | a |≥ 1 ? ?
2 2

?a < 0

2 ?a ≥ 1

? a ≤ ?1 ………2 分
2 ? f (a ), a ≥ 0 ?2a , a ≥ 0 ? ? 2 =? a = ? 2a ,a < 0 ? f ( 3 ), a < 0 ? ? ? 3

(2)当 x ≥ a 时, f ( x ) = 3 x ? 2ax + a , f ( x) min

当 x ≤ a 时, f ( x ) = x 2 + 2ax ? a 2 , f ( x ) min = ?

2 ? f (? a ), a ≥ 0 ??2a , a ≥ 0 ? =? 2 ?2a , a < 0 ? f (a ), a < 0 ?

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综上 f ( x) min

??2a 2 , a ≥ 0 ? = ? 2a 2 ,a < 0 ? ? 3

………7 分



3



x ∈ (a, +∞)





h( x ) ≥ 1



3 x 2 ? 2ax + a 2 ? 1 ≥ 0



? = 4a 2 ? 12(a 2 ? 1) = 12 ? 8a 2
当a ≤ ?

6 6 或a ≥ 时, ? ≤ 0, x ∈ ( a, +∞) ; 2 2

当?

? a ? 3 ? 2a 2 a + 3 ? 2a 2 6 6 )( x ? )≥0 <a< 时,△>0,得: ?( x ? ? 3 3 2 2 ? ?x > a

讨论得:当 a ∈ ( 当 a ∈ (?

2 6 , ) 时,解集为 (a, +∞) ; 2 2

6 2 a ? 3 ? 2a 2 a + 3 ? 2a 2 ,? ) 时,解集为 (a, ]∪[ , +∞) ; 2 2 3 3 2 2 a + 3 ? 2a 2 , ] 时,解集为 [ , +∞) . 2 2 3
………12 分

当 a ∈ [?

(其它解法请酌情给分)

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