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2.4.2双曲线抛物线的参数方程


[读教材· 填要点] 1.双曲线的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线a2-b2=1 的参数方程是 ?x=asecφ ? π 3π ? φ∈[0,2π)且 φ≠2,φ≠ 2 ?y=btan φ ? 规定参数 φ 的取值范围为 y2 x2 (2)中心在原点, 焦点在 y 轴上的双曲线a2-b2=1 的参数方程是 ?x=btan φ ? ? ?y=asecφ ? .

2.抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2=2px 的参数方程为

?x=2pt2 ? ? ?y=2pt ?

,t∈ R .

(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的 斜率的倒数 .

[小问题·大思维]
1.在双曲线的参数方程中,φ的几何意义是什么? 提示:参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角),而不是OM的旋转角.

2.如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置?

提示:如果 x 对应的参数形式是 asecφ,则焦点在 x 轴上; 如果 y 对应的参数形式是 asecφ,则焦点在 y 轴上. 2p ? ?x=tan 2α, 3. 若抛物线的参数方程表示为? 则参数 α 的几何意 ?y= 2p . ? tan α
义是什么?

提示:参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M,以射线 OM 为终边的角.

[研一题] [例 1] 距离为 2. 在双曲线 x2-y2=1 上求一点 P, P 到直线 y=x 的 使

[精讲详析]

本题考查双曲线的参数方程的应用,解答本题

需要先求出双曲线的参数方程, 设出 P 点的坐标, 建立方程求解. 设 P 的坐标为(secφ, φ), P 到直线 x-y=0 的距离为 2 tan 由 |secφ-tan φ| 得 = 2 2 1 sin φ 得|cos φ-cos φ|=2,|1-sin φ|=2|cos φ|

平方得 1-2sin φ+sin 2φ=4(1-sin 2φ), 即 5sin 2φ-2sin φ-3=0. 3 解得 sin φ=1 或 sin φ=-5. sin φ=1 时,cos φ=0(舍去). 3 4 sin φ=-5时,cos φ=± . 5 5 3 5 3 ∴P 的坐标为(4,-4)或(-4,4).

[悟一法] 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的,因而曲 线的参数方程具有消元的作用,利用它可以简化某些问题的求解 过程,特别是涉及到最值、定值等问题的计算时,用参数方程可 将代数问题转化为三角问题,然后利用三角知识处理.

[通一类] 1.求证:等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶 点.

证明:设双曲线为 x2-y2=a2,取顶点 A(a,0), 弦 B′B∥Ox,B(asecα,atan α),则 B′(-asecα,atan α). atan α atan α ∵kB′A= ,kBA= , -asecα-a asecα-a ∴kB′A·BA=-1. k ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.

[研一题] [例 2] 连结原点 O 和抛物线 2y=x2 上的动点 M,延长 OM

到 P 点,使|OM|=|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明它是何曲线.

[精讲详析]

本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用. 解

答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出 M、P 的坐标,然 后借助中点坐标公式求解.

设 M(x、y)为抛物线上的动点,P(x0,y0)在抛物线的延长 线上, M 为线段 OP 且
?x=2t, ? 的中点, 抛物线的参数方程为? ?y=2t2, ?

?x0=4t, ? 由中点坐标公式得? ?y0=4t2, ?

1 2 变形为 y0=4x0,即 x2=4y. 表示的为抛物线.

[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时,常根据需 要引入一个中间变量即参数(将 x,y 表示成关于参数的函数),然 后消去参数得普通方程.这种方法是参数法,而涉及曲线上的点 的坐标时,可根据曲线的参数方程表示点的坐标.

[通一类] 2.已知抛物线
?x=2t2 ? C:? ?y=2t ?

(t 为参数),设 O 为坐标原点,点 M

在抛物线 C 上,且点 M 的纵坐标为 2,求点 M 到抛物线焦点 的距离.

?x=2t2 ? 解:由? ?y=2t ?

,得 y2=2x,即抛物线的标准方程为 y2=2x.

又∵M 点的纵坐标为 2,∴M 点的横坐标也为 2. 即 M(2,2). 1 又∵抛物线的准线方程为 x=-2. 1 1 5 ∴由抛物线的定义知|MF|=2-(-2)=2+2=2. 5 即点 M 到抛物线焦点的距离为2.

[研一题] [ 例 3]
?x=4secθ, ? ? ?y=3tan θ ?

如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线 (θ 为参数)的右顶点和右焦点,求该椭圆上的点到双

曲线渐近线的最大距离.

[精讲详析]

本题考查椭圆及双曲线的参数方程, 解答本题需

要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程,然后根据已知条 件求出椭圆的参数方程求解即可. x2 y2 ∵16- 9 =1,∴右焦点(5,0),右顶点(4,0).

x2 y2 设椭圆a2+b2=1,∴a=5,c=4,b=3. x2 y2 ∴方程为25+ 9 =1. 设椭圆上一点 P(5cos θ,3sin θ), 双曲线一渐近线为 3x-4y=0, |3×5cos θ-12sin θ| ∴点 P 到直线的距离 d= 5 3| 41sin ?θ-φ?| 5 = (tan φ=4). 5 3 41 ∴dmax= 5 .

[悟一法] 对于同一个方程,确定的参数不同, 所表示的曲线就不同, 当题目条件中出现多个字母时,一定要注明什么是参数,什么是 常量,这一点尤其重要.
[通一类]
?x= 5cos ? 3.(2011· 广东高考)已知两曲线参数方程分别为? ?y=sin θ ?

θ

5 ? ?x= t2 4 (0≤θ≤π)和? (t∈R), 它们的交点坐标为___________. ?y=t ?

?x= 5cos ? 解析:由? ?y=sin θ ?

θ

x2 2 (0≤θ≤π)得 5 +y =1(y≥0),

52 ? ?x= t 5 2 4 ? 由 (t∈R)得 x=4y . ?y=t ?
2 ?x +y2=1, ?5 联立方程可得? ?x=5y2 4 ?

则 5y4+16y2-16=0,

4 5 2 2 解得 y =5或 y =-4(舍去),则 x=4y =1.
2

2 5 又 y≥0,所以其交点坐标为(1, 5 ).

2 5 答案:(1, 5 )

本课时的考点是双曲线或抛物线的参数方程与普通方程的互 化.2012 年天津高考以抛物线的参数方程为载体考查抛物线定义 的应用,属低档题. [考题印证]
?x=2pt2, ? (2012· 天津高考)已知抛物线的参数方程为? ?y=2pt, ?

(t 为参

数),其中 p>0,焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 M 作 l 的垂 线, 垂足为 E.若|EF|=|MF|, M 的横坐标是 3, p=________. 点 则

[命题立意]

本题考查抛物线的参数方程与普通方程的互化

及抛物线定义的应用.

[解析]

由题意知,抛物线的普通方程为 y2=2px(p>0),焦点

p p F(2,0),准线 x=-2,设准线与 x 轴的交点为 A.由抛物线定义可 得|EM|=|MF|,所以△MEF 是正三角形,在 Rt△EFA 中,|EF| p =2|FA|,即 3+2=2p,得 p=2.
[答案] 2

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