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1.2.1任意角的三角函数教案

1.2.1 任意角的三角函数

【教学目标】

(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在

各象限的符号);

(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法;

(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分

别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;

(4)掌握并能初步运用公式一;

(5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

【教学重难点】

重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号);三角函数线的正确理解.

【教学过程】

一、【创设情境】

提问:锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示?

y

借助右图直角三角形,复习回顾.

P(a,b)

引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。 r

数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

错误!未找

如图,设锐角? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那到引用源。

么它的终边在第一象限.在? 的终边上任取一点

O

M

y

P(a,b) ,它与原点的距离 r ? a2 ? b2 ? 0 .过 P 作 a的终边

x 轴的垂线,垂足为 M ,则线段 OM 的长度为 a ,线

P(x,y)

段 MP 的长度为 b .则 sin? ? MP ? b ; OP r

cos? ? OM ? a ; OP r

tan? ? MP ? b . OM a

思考:对于确定的角? ,这三个比值是否会随点

O

x

P 在? 的终边上的位置的改变而改变呢?

显然,我们可以将点取在使线段 OP 的长 r ?1的
特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:

sin? ? MP ? b ; cos? ? OM ? a ; tan? ? MP ? b .

OP

OP

OM a

思考:上述锐角? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以

后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究

这个问题――任意角的三角函数.

二、【探究新知】

1.探究:结合上述锐角 ? 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值

呢?

显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后就可以类似

锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称

以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x, y) ,那么:

(1) y 叫做? 的正弦(sine),记做 sin? ,即 sin? ? y ;

(2) x 叫做? 的余弦(cossine),记做 cos? ,即 cos? ? x ;

(3) y 叫做? 的正切(tangent),记做 tan? ,即 tan? ? y (x ? 0) .

x

x

注意:当α 是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在);当α 不是

锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交

点 P(x, y) ,从而就必然能够最终算出三角函数值.

3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角 函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我

们只需计算点到原点的距离 r ? x2 ? y2 ,那么 sin? ? y , cos? ? x ,

x2 ? y2

x2 ? y2

tan? ? y .所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 x
数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自 变量的函数.
4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再 将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:

三角函数

定义域

角度制

弧度制

第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

sin? cos?

tan?

5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin(? ? 2k? ) ? sin?
cos(? ? 2k? ) ? cos? (其中 k ? Z )
tan(? ? 2k? ) ? tan?
6.三角函数线
设任意角? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点

P (x, y) ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角? 的终边或其反向延长线交与点T .

y

yT

P

A

Mo

x

P A
oM x

(ⅡT) y
T

(Ⅰ)
y

M

A

o

x

MA

o

x

P

PT

(Ⅲ)

(Ⅳ)

由四个图看出:
当角? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin? ? y ? y ? y ? MP cos? ? x ? x ? x ?OOMM

r1

r1

tan? ? y ? MP ? AT ? AT x OM OA

我们就分别称有向线段 MP,OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。

我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT ,分别叫做角? 的正弦线、余
弦线、正切线,统称为三角函数线. 7.例题讲解
例 1.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求α 的三个函数制值。
解: P(2, ?3)?r ? 4 ? 9 ? 13

?sin? ? ?3 ? ? 3 13 13 13

cos? ? 2 ? 2 13 13 13

tan? ? ?3 ? ? 3 22

变式训练 1:已知角? 的终边过点 P0 (?3, ?4) ,求角? 的正弦、余弦和正切值.

解: sin? ? y ? ? 4 , cos? ? x ? ? 3 , tan? ? y ? 4 .

r5

r5

x3

例 2.求下列各角的三个三角函数值:

(1) 0 ;

(2)? ;

(3) 3? . 2

解:(1)sin0=0 cos0=1 tan0=0

(2) sin? ? 0, cos? ? ?1, tan? ? 0

(3) sin 3? ? ?1, cos 3? ? 0

2

2

变式训练

2:求

5? 3

的正弦、余弦和正切值.

例 3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的三个三角函数值.
解析:计算点到原点的距离时应该讨论 a 的正负.

变式训练 3:

求函数 y ?

c os x c os x

?

tan x tan x

的值域.

解析:分四个象限讨论. 答案:{2,-2,0}

例 4..利用三角函数线比较下列各组数的大小:

1. sin 2? 与 sin 4?

3

5

2.tan 2? 与 tan 4?

3

5

三、【学习小结】 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域; (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? (5)三角函数线的做法. 四、【作业布置】 作业:习题 1.2 A 组第 1,2 题. 五、【板书设计】

1.2.1 任意角的三角函数 (一)复习引入 (二) 概念形成 1.三角函数定义 2.三角函数线 (三)例题讲解
小结:


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