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浙江省温州市2015届高三第二次适应性测试(二模)数学(理)试题

数学(理科)试题

2015 年温州市高三第二次适应性测试 数学(理科)试题
2015.4
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 2 至 4 页。 满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式: V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 其中 S1、S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 球的体积公式: V ?

1 Sh 3 台体的体积公式: V ? 1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
锥体的体积公式: V ? 球的表面积公式: S ? 4? R 2

4 3 ?R 3

其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求。 1.下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是( A. y ? ? ▲ ) D. y ? 2 x )

2 x

B. y ? 2 x

C. y ? log 2 x ▲

2 2.命题“任意的 x ? R ,都有 x ? 0 成立”的否定是(

A.任意的 x ? R ,都有 x ? 0 成立
2

2 B.任意的 x ? R ,都有 x ? 0 成立

2 ? 0 成立 C.存在 x0 ? R ,使得 x0

2 ? 0 成立 D.存在 x0 ? R ,使得 x0

3.要得到函数 y ? 3sin 2 x ? cos 2 x 的图像,只需将函数 y ? 2sin 2 x 的图象( A.向左平移 C.向左平移





?
6

个单位 个单位

B.向右平移 D.向右平移

?
6

个单位 个单位

?
12


?
12

4.若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体 的体积是( )
3 B. (24? ? 20) cm 3 D. (24? ? 28) cm 3 A. (18? ? 20) cm 3 C. (18? ? 28) cm

(第 4 题图)

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 的最小值 5.若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? m ? 0 , 且 z ?y ?x ? y?0 ?

数学(理科)试题

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数学(理科)试题

等于 ?2 ,则实数 m 的值等于( A. ?1 6.已知 f ( x) ? ? A.3 个 B. 1



) C. ?2 D.

2
▲ )

?2 x

( x ? 0)

?| log 2 x | ( x ? 0)
B.4 个

,则方程 f [ f ( x)] ? 2 的根的个数是( C.5 个 D.6 个

7.在 VABC 中, BC ? 5 , G , O 分别为 VABC 的重心和外心,且 OG ? BC ? 5 ,则 VABC 的形状 是( ▲ ) B.钝角三角形 D.上述三种情况都有可能

uuu r uuu r

A.锐角三角形 C.直角三角形

8.如图所示, A, B, C 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的三个点, AB a 2 b2
) C.

经过原点 O , AC 经过右焦点 F ,若 BF ? AC 且 | BF |?| CF | ,则 该双曲线的离心率是( A. ▲

10 2

B. 10

3 2

D. 3

(第 8 题图)

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 4 分,共 36 分。 9.集合 A ? ?0,| x |?, B ? ?1,0, ?1? ,若 A ? B ,则 A I B ? ▲ ; AUB ? ▲ ; CB A ? ▲ .

10.设两直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m 与 l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8 ,若 l1 // l2 ,则 m ? 则m? ▲ .

▲ ;若 l1 ? l 2 ,

11 .已知 ABCDEF 为正六边形,若向量 AB ? ( 3, ? 1) ,则 DC ? DE ? (用坐标表示) . 12.设数列 {

uu u r



; EC ? FE ?



an } 是公差为 d 的等差数列,若 a3 ? 2, a9 ? 12 ,则 d ? n



; a12

?

▲ .

13.设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F , P 为抛物线上一点(在第一象限内) ,若以 PF 为直径的圆的圆 心在直线 x ? y ? 2 上,则此圆的半径为 ▲ . ▲ .
C1 D1 C E A1 B F A B1

14.若实数 x, y 满足 4x 2 ? 2x ? y 2 ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的范围是

15. 如图所示的一块长方体木料中, 已知 AB ? BC ? 4, AA 设E 1 ?1 ,

1 为底面 ABCD的中心, 且 AF ? ? AD, (0 ? ? ? ) , 则该长方体中 2
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D

(第 15 题图)

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经过点 A1 , E , F 的截面面积的最小值为





三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题 15 分)已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? 8 sin4 (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)求函数 y ? f (2 x ?

x . 2

?
3

) 在 x ? [?

? ?

, ] 上的值域. 6 4

17. (本小题 15 分)如图所示,在三棱锥 D ? ABC 中, AB ? BC ? CD ? 1, AC ? 3 ,平面 ACD ⊥ 平面 ABC , ?BCD ? 90 .
o

(I)求证: CD ? 平面 ABC ; (II)求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

(第 17 题图)

18. (本小题 15 分)如图所示,椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 AB : y ? x ? 1 相切于点 A . 2 2 a b

(I)求 a , b 满足的关系式,并用 a , b 表示点 A 的坐标; (II)设 F 是椭圆的右焦点,若 VAFB 是以 F 为直角顶点 的等腰直角三角形,求椭圆 C 的标准方程.

(第 18 题图) 数学(理科)试题 第 3 页(共 4 页)

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19. (本小题 15 分)已知函数 f ? x ? ? x2 ? ? a ? 4? x ? 3 ? a . (I)若 f ? x ? 在区间 ?0,1? 上不单调,求 a 的取值范围; (II)若对于任意的 a ? (0, 4) ,存在 x0 ? ?0,2? ,使得 f ? x0 ? ? t ,求 t 的取值范围.

20. (本小题 14 分)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?1 (I)设 bn

? 2an ? 3an?1 (n ? 2, n ? N? ) .

? an?1 ? an (n ? N? ) ,求证 ?bn ? 是等比数列;
1 1 1 1 7 ? ?? ? ? ? 成立. a1 a2 a2 n ?1 a2 n 4

(II) (i)求数列 ?an ? 的通项公式; (ii)求证:对于任意 n ? N? 都有

2015 年温州市高三第二次适应性测试
数学(理科)试题 第 4 页(共 4 页)

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数学(理科)试题参考答案

2015.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求.

1 2 3 4 5 6 7 8 题号 B D C D A C B A 答案 二、填空题:本大题共 7 小题,9-12 题:每小题 6 分,13-15 题:每小题 4 分,共 36 分.
9. ?0,1?? ; 1,0,?1?? ; ? 1? 12. 10. ? 7;?

13 3

11. 2

3; (2 3,?2)
12 5 5

1 ;20 9

13.1

14. [?2,0]

15.

三、解答题 16. (本小题 15 分) (I)解法 1:由已知得 f ( x) ? 2 cos2 x ? 1 ? 2(1 ? cos x)2 ? 4 cos x ? 3 ……………………………………………5 分 故函数 f ( x) 的最小正周期为 2? ; ……………………………………………………7 分 解法 2: f ( x) ? cos2x ? 2(1 ? cos x)2 ? cos2x ? 2 ? 4 cos x ? 2 cos2 x ? 4 cos x ? 3 ,……………………………………5 分 故函数 f ( x) 的最小正周期为 2? ; ……………………………………………………7 分

x x x x ? 2(1 ? 2 sin 2 ) 2 ? 1 ? 8 sin 4 ? 1 ? 8 sin 2 2 2 2 2 ? 4 cos x ? 3 ? 1 ? 4(1 ? cos x) ………………………………5 分 2 ? 故函数 f ( x) 的最小正周期为 ; ……………………………………………………7 分
解法 3: f ( x) ? 2 cos x ? 1 ? 8 sin
2 4

(II)由(I)得 f (2 x ? 设 t ? 2x ?

?
3

) ? 4 cos( 2 x ?

?
3

)?3

………………………………8 分

? ? ? 2? ? ?t ? ,当 x ? [ ? , ] 时 ? ………………………………10 分 3 3 6 6 4 ? 2? ,0] 上为增函数,在 [ 0, ] 上为减函数, ………………………12 分 又函数 y ? cos t 在 [ ? 6 3 2? 1 则当 t ? ? 时 cost 有最小值 ? ;当 t ? 0 时 cost 有最大值 1 , ……………………14 分 3 2 ? 故 y ? f (2 x ? ) 的值域为 [ ?5,1] ………………………………15 分 3 17. (本小题 15 分)解: (I)解法 1:过 B 做 BH ⊥ AC 于 H ………………………………2 分 Q 平面 ACD ⊥平面 ABC ,平面 ACD I 平面 ABC ? AC ? BH ⊥平面 ACD …………………………………………………………………………4 分
? BH ⊥ CD B HI B C ? B 又 Q CD ⊥ BC ? CD ? 平面 ABC ……7 分 (II)解法 1:过 C 做 CK ⊥ AB 交 AB 延长线于点 K ,连结 DK 由(I)可知 CD ? 平面 ABC ? CD ⊥ AB 又 Q CD I CK ? C
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? AB ⊥平面 DCK 过 C 做 CL ⊥ DK 于 L ? AB ⊥ CL 又 Q AB I CK ? K ? CL ⊥平面 ABD 连结 BL ,则 ?CBL 为直线 BC 与平面 ABD 所成的角……11 分

Q AB ? BC ? 1 , AC ? 3
? ?CAB ? 30o
Q CD ? 1
又 Q ?CKA ? 90

7 2 CL 21 ………………………………15 分 ? sin ?CBL ? ? BC 7 (I)解法 2:取 AC 中点 M ,连结 BM ,过 M 在平面 ACD 上 作 MN ? AC , Q 平面 ACD ⊥平面 ABC ? MN ? 平面 ABC , ?B M ? A C 又 Q AB ? BC 分别以 MB, MC , MN 为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系……3 ? DK ?


3 2 DC ? CK 21 ? CL ? ? DK 7
o

? CK ?

uuu r uuu r 3 1 3 3 , 0) ,设 D(0, y, z ) , BC ? (? , ,0) , CD ? (0, y ? , z) 2 2 2 2 uuu r uuu r 3 ……………………………6 分 ?0 得y? Q ?BCD ? 90o ? B C? C D 2 uuu r 3 ,1) ? CD ? (0,0,1) ? CD ? 平面 ABC ……7 分 又 Q CD ? 1 ,? D(0, 2 r 3 , 0) ,设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z) (II)解法 2: A(0, ? 2 uu u r uuu r 1 3 , 0) ,得: 由 AD ? (0, 3,1) , AB ? ( , 2 2 uuu r r ? AD ? n ? 3 y ? z ? 0 r ? 取 n ? (? 3,1, ? 3) ………………………………12 分 r r 1 ? uuu 3 y?0 ? AB ? n ? x ? ? 2 2 uuu r uuu r r 1 3 3 21 ,0) 又 Q BC ? (? , ……………15 分 ?sin ? ? | c oB sC n ,? | ? 2 2 7 7 ?1 解法 3: 过 B 在平面 ABC 中作 l ? AB , 过 B 作 m ? 平面 ABC , 如图, 分别以直线 AB, l , m 为 x, y , z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 有 :
则有 B( , 0, 0), C (0,

1 2

1 3 A(?1, 0, 0), B(0, 0, 0), C ( , , 0) ………………9 分 2 2 1 3 ,1) 由(I)可知 CD ? 平面 ABC ,? D( , 2 2
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数学(理科)试题

设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,由 AB ? (1, 0, 0), BD ? ( ,

r

uu u r

uuu r

uuu r r ? AB ? n ? x ? 0 r ? 取 n ? (0, 2, ? 3) …………………………………12 分 uuu r r ? 1 3 y?z ?0 ? BD ? n ? x ? ? 2 2 uuu r uuu r r 1 3 3 21 又 Q BC ? ( , ………………15 分 , 0) ?sin ? ? | c oB sC n ,? | ? 2 2 7 7 ?1 ? x2 y 2 ? ?1 ? ? a 2 b2 18. (本小题 15 分)解: (I)联立方程组 ? 消元得: 1 ? y ? x ?1 ? ? 2 1 ( a 2 ? b 2 ) x 2 ? a 2 x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 ①…………………………………………2 分 4 1 a2 Q 相切 ?V? a 4 ? 4( a 2 ? b 2 )(a 2 ? a 2b 2 ) ? 0 得: ? b 2 ? 1 ② …4 分 4 4 4 2 a a a2 2 2 ? 0 解得 xA ? ? y A ? ? ? 1 ? b2 将②代入①式得: x ? a x ? 4 2 4 2 a ? A(? , b 2 ) ………………………………………………………………………………7 分 2 |c?2| (II)解法 1: Q F 到直线 AB 的距离 d ? , Q V ABF 是等腰直角三角形 5
? a2 ? 2(c ? 2)2 2 2 ? c ? ? b ? …………………………………12 分 ?| AF ? | 2d ? ? ? ? 2 ? 5 ? 4 ? 4c 2 2 4 ? c 2 2 ,b ? 由②可得: a ? 代入上式得: 5 5
? 2c 2 ? 5c ? 2 ? ? 4 ? c 2 ? 2(c ? 2) 2 2 得 c ? 1 即 c ? 1 ……………………14 分 ? ? ?? ? ? 5 5 ? ? ? 5 ? 8 3 4 ? 4c 2 2 4 ? c 2 2 ? a2 ? b2 ? ,b ? 又Q a ? 5 5 5 5 2 2 5x 5 y ? ? 1 ……………………………………………………15 分 ? 椭圆的标准方程为: 8 3 b2 ?2b 2 1 a 2 ? 2c A F ? B F ? 2 解法 2: Q F (c, 0) ? k AF ? ? Q ? kBF ? ? a2 a ? 2c k AF 2b2 ? ?c 2 2 a ? 2c ( x ? c) …………………………………………………9 分 ? 直线 BF 的方程为 y ? 2b2
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2 2

1 3 ,1) ,得 2 2

2

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? a 2 ? 2c y ? ( x ? c) ? 2 a 2 ? 2c 1 a 2 ? 2c ? b 2 2b 2 ? a 2c ? 2c 2 ? 2 b ? ( x ? c ) ? x ? 1 ? x ? 由? 2b 2 2 2b 2 2b 2 1 ? y ? x ?1 ? ? 2 a2 a 2 ? 2c a 2 a 2 ? 2c yB ? ? B( , ) ………………………………12 分 解得: xB ? c 2c c 2c
2 a2 a2 2 4 2 ? a ? 2c ? ( ? ? c ) ? b ? ( ? c ) ? Q| AF |?| BF | ? ? ? 2 c ? 2c ? 2 2 (a 2 ? 2 c )2 ? b 4 4 a( ? c2 ? ) b 44 ? 解得 c ? 1 ………………………………14 分 4 4c 2 8 3 a2 ? a2 ? b2 ? ? b2 ? 1 又Q 5 5 4 2 2 5x 5 y ? ? 1 …………………………………………………15 分 ? 椭圆的标准方程为: 8 3 a 2 a 2 ? 2c ) …………………………………………………………12 分 解法 3:由方法二得 B( , c 2c 分别过 A, B 做 x 轴的垂线,垂足分别为 A?, B? ?? | |F? B| Q V ABF 是等腰直角三角形 ? | A A 2

又 Q | FB? |? xB ? c ?

a2 b2 ? c ? , | AA? |? yA ? b2 c c

b2 ? b 2 得 c ? 1 ………………………………14 分 c 8 3 a2 ? a2 ? b2 ? ? b2 ? 1 又Q 5 5 4 2 2 5x 5 y ? ? 1 …………15 分 ? 椭圆的标准方程为: 8 3 a?4 ? 1 ? 2 ? a ? 4 ……5 分 19. (本小题 15 分) (I)解: 0 ? ? 2 ?
(II)解法 1: (i)当 0 ?

4?a ? 4?a ? ? 1 时,即 2 ? a ? 4 时, f ? ? ? f ? x ? ? f ? 2? 2 ? 2 ?
2

2 ? 4 ? a ? ? a ? 4a ? 4 ? a ? 2 ? f ? 2? ? a ?1 ? a ?1 , f ? ? ? ? 4 4 ? 2 ?
2 ? 4 ? a ? ? a ? 8a ? 8 ? ? a ? 4 ? ? 8 f ? 2? ? f ? ? ? ?0 ? 4 4 ? 2 ? 2

所以 | f ? x ? |max ? a ?1 ……………………………………………9 分
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(ii)当 1 ?

4?a ? 2 时,即 0 ? a ? 2 时, 2
2

2 ? 4 ? a ? ? a ? 4a ? 4 ? a ? 2 ? f ?0? ? 3 ? a ? 3 ? a , f ? ? ?? 4 4 ? 2 ?

? 4?a ? 8?a f ? 0? ? f ? ? 0 , | f ? x ? |max ? 3 ? a , ……13 分 ?? 4 ? 2 ? ?a ? 1, 2 ? a ? 4 综上, | f ? x ? |max ? ? , ?3 ? a , 0 ? a ? 2
2

故 | f ? x ? |max ? 1 ,所以 t ? 1

……………………………………15 分
2

解法 2:解法 2: | f ? x ? |? ? x ? 1? ? ? a ? 2 ?? x ? 1?

? ? x ? 1? ? ? a ? 2 ?? x ? 1?
2

……………………………9 分

? 1? a ? 2
又 1? a ? 2

………………………………………………13 分

等号当且仅当 x ? 0 或 2 时成立,

?

?

min

? 1 ,所以 t ? 1

…………………15 分

解法 3: | f ? x ? |? ? ?? x ? 1? ? ? a ? 2 ? ? ? ? x ? 1? ? x ? 1 x ? a ? 3 ……9 分

Q x0 ?1 ? 1 , x0 ? a ? 3 ? max ? a ? 1 , 3 ? a ?

……………13 分

且上述两个不等式的等号均为 x ? 0 或 2 时取到,故

?a ? 1, 2 ? a ? 4 | f ? x ? |max ? ? ?3 ? a , 0 ? a ? 2

故 | f ? x ? |max ? 1,所以 t ? 1 ……15 分

20. (本小题 14 分)解: (I)由已知得 an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ), (n ? 2, n ? N ? ) , ……2 分 则 bn ?1 ? 3bn , 又 b1 ? 3 ,则 ?bn ?是以 3 为首项、3 为公比的等比数列
n n

………………3 分 ………………4 分

(II) (i)解法 1:由(I)得 bn ? 3 ,即 an ?1 ? an ? 3 ,则 an ? an ?1 ? 3n ?1, (n ? 2) , 相减得 an ?1 ? an ?1 ? 2 ? 3n ?1, (n ? 2) , 则 a3 ? a1 ? 2 ? 3 , a5 ? a3 ? 2 ? 3 , ?? , a2n ?1 ? a2n ?3 ? 2 ? 3
1 3

…………………5 分
2 n ?3



相加得 a2 n ?1 ? a1 ?

3(9

n ?1

? 1)

当 n ? 1 时上式也成立

4

,则 a2 n ?1 ?

3

2 n ?1

?1

4

, (n ? 2)

……………………7 分

由 a2n ? a2n ?1 ? 32n ?1 得 a2 n ?

32 n ? 1 , 4

………………………8 分 ………………………9 分 ………………………6 分

3n ? (?1) n 故 an ? 4 n n ?1 n n 解法 2:由 an ?1 ? an ? 3 得 (?1) an ?1 ? (?1) an ? ?(?3) ,
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则 (?1)n an ? (?1)n ?1 an ?1 ? ?(?3)n ?1 , ?? , (?1)2 a2 ? (?1)1 a1 ? ?(?3)1 , 相加得 an ?

3n ? (?1) n 4

………………………9 分 ………………………5 分

an ?1 1 an 1 ? ? ? , 3n ?1 3 3n 3 an 1 1 1 1 1 设 cn ? n ,则 cn ?1 ? cn ? ,可得 cn ?1 ? ? ? (cn ? ) , 3 3 3 4 3 4 1 1 1 1 n ?1 ? (? ) , 又 c1 ? ,故 cn ? ? 3 4 12 3
解法 3:由 an ?1 ? an ? 3n 得 则 an ?

………………………8 分

3n ? (?1) n 4
4 3
2 n ?1

………………………9 分

(ii)证法 1:易证

7 n?1 4 4 4 1 1 1 ? 1 ? 3 ? ?? ? 2 n ?1 则 ? ? ?? ? 3 ?1 a1 a3 a2 n ?1 3 ? 1 3 ? 1 1 1 7 1 7 ? 1 ? 1 ? ?? ? n?1 ? (1 ? n ) ? 6 7 6 7 7 4 1 ? 同理可得 2 n 3 ? 1 2 ? 7 n?1 4 4 4 1 1 1 ? 2 ? 4 ? ?? ? 2 n ? ? ?? ? 则 3 ?1 a2 a4 a2 n 3 ? 1 3 ? 1 1 1 1 7 1 7 ? (1 ? n ) ? ? ? ? ?? ? 1 n ?1 12 12 2 2?7 7 2?7 7 7 7 1 1 1 1 ? ? ? 故 ? ? ?? ? ? a1 a2 a2 n ?1 a2 n 6 12 4 ?1
证法 2:

?

1

………………………11 分

………………………13 分 ………………………14 分

1 a2 n ?1

?

1 4 4 4(32 n ?1 ? 32 n ) ? 2 n ?1 ? 2n ? 2 n ?1 a2 n 3 ? 1 3 ? 1 (3 ? 1)(32 n ? 1)

4 4 4(32 n ?1 ? 32 n ) ? 2 n ?1 ? 2 n ………………………11 分 2 n ?1 2n 3 3 3 ?3 1 4 4 4 4 1 1 1 1 ? 1 ? ? 3 ? 4 ? ?? ? 2 n ?1 ? 2 n ? ?? ? ? 故 ? 2 3 3 3 3 a1 a2 a2 n ?1 a2 n 3 2 1 ? ? (1 ? 2 n ? 2 ) ………………………13 分 2 9 3 3 2 31 62 63 7 ? ? ? ? ? ? ………………………14 分 2 9 18 36 36 4 4 4 4 1 1 1 ? 1 ? 3 ? ?? ? 2 n ?1 ? ?? ? 证法 3: ? 3 ?1 a1 a3 a2 n ?1 3 ? 1 3 ? 1

?

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4 4 4 ? 5 ? ?? ? 2 n ?1 3 3 3 3 1 1 7 ? 1 ? (1 ? 2 n ? 2 ) ? 6 3 6 4 4 ?1 5 ? 2n ? 2n 易证 2 n 3 ?1 3 ?1?1 3 4 4 4 1 1 1 ? 2 ? 4 ? ?? ? 2 n 则 ? ? ?? ? 3 ?1 a2 a4 a2 n 3 ? 1 3 ? 1 1 5 5 5 ? ? 4 ? 6 ? ?? ? 2 n 2 3 3 3 1 5 1 41 ? ? (1 ? 2 n ? 2 ) ? 2 72 3 72 7 41 125 126 7 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 故 ? ? ?? ? ? 72 4 a1 a2 a2 n ?1 a2 n 6 72 72 ?1?

………………………11 分

………………………13 分 ………………………14 分

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