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高考数学考前十天每天必看(7)


一、基本知识篇

(八)圆锥曲线方程
1.椭圆焦半径公式: P 0,y0) 设 (x 为椭圆 x 2
a
2

?

y b

2 2

上任一点, 焦点为 F1(-c,0),F2(c,0), ? 1(a>b>0)

则 PF 1 ? a ? ex 0 , PF 2 ? a ? ex 0 (e 为离心率) ; 2.双曲线焦半径公式:设 P(x0,y0)为双曲线 x
a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)上任一点,焦点为

F1(-c,0),F2(c,0),则:(1)当 P 点在右支上时, PF 1 ? a ? ex 0 , PF 2 ? ? a ? ex 0 ; (2)当 P 点在左支上时, PF 1 ? ? a ? ex 0 , PF 2 ? a ? ex 0 ; 为离心率) (e ; 另:双曲线 x
a
2 2 2 2 2 2

?

y b

? 1 (a>0,b>0)的渐近线方程为

x a

2 2

?

y b

? 0;

3.抛物线焦半径公式:设 P(x0,y0)为抛物线 y2=2px(p>0)上任意一点,F 为焦点,则
PF ? x 0 ? p 2

;y2=2px(p<0)上任意一点,F 为焦点,则 PF ? ? x 0 ?
b a
2 2 2 2

p 2



4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题; 5.共渐进线 y ? ?
x 的双曲线标准方程为
x a ? y b ? ? (?

为参数, ? ≠0) ;

6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式, 一般地, 若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB,A、 两点分别为 A(x1,1)、 2,y2), B y B(x 则弦长 AB ?
? 1? 1 k
2

1? k

2

? x 2 ? x1 ?

(1 ? k )[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ]
2 2

? y 2 ? y1 ?

(1 ?

1 k
2

) ? [( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ]
2

,这里体现了解析几何“设而不求”的解

题思想; 7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为 2 b ,焦准距为 p= b ,抛物线的通径为 2p,焦准距为
a
2

2

c

p; 双曲线 x
a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的焦点到渐进线的距离为

b;

8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax2+Bx2=1; 9.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为 AB,A(x1,y1) 、B(x2,y2),则有如下结论: (1)
2 2 AB =x1+x2+p;(2)y1y2=-p ,x1x2= p ;

4

10.过椭圆 x 2
a

2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)左焦点的焦点弦为

AB,则 AB ? 2 a ? e ( x 1 ? x 2 ) ,过右焦点

的弦 AB ? 2 a ? e ( x 1 ? x 2 ) ; 11.对于 y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为(
y0
2

2p
x a
2 2

,y0),以简化计算;

12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设 A(x1,y1)、B(x2,y2)为椭圆
?
2 2

y b

2 2

? 1 (a>b>0)上不同的两点,M(x0,y0)是

AB 的中点,则 KABKOM= ?
b a
2 2

b a

2 2

;对于双曲

线x
a

?

y b

2 2

,类似可得:KAB.KOM= ? 1 (a>0,b>0)

;对于 y2=2px(p≠0)抛物线有 KAB=

2p y1 ? y 2

13.求轨迹的常用方法: (1)直接法:直接通过建立 x、y 之间的关系,构成 F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法; (2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所 求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可; (3)代入法(相关点法或转移法) :若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1)的变化而变化,并 且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上,则可先用 x、y 的代数式表示 x1、y1,再将 x1、y1 带入已知 曲线得要求的轨迹方程; (4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写 出方程; (5)参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可 考虑将 x、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。 二、思想方法篇 (七)向量法 向量法是运用向量知识解决问题的一种方法,解题常用下列知识: (1)向量的几何表示,两个向量共线的充要条件; (2)平面向量基本定理及其理论; (3)利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题; (4)两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式。 三、回归课本篇:高二年级下册(1) 1、 确定一个平面的条件有:__________________________________________。 2、 “点 A 在平面? 内,平面内的直线 a 不过点 A”表示为________________________。 3、 异面直线所成的角的范围是__________; 直线与平面所成角的范围是_________________; 二面角的范围是______________;向量夹角的范围是________________。 4、 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等, 那么这点在平面内的射影在______; 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线, 设它和已知角两边的夹角为锐角且相等, 这条斜线在平面内的射影是______。(P23 例 4、P25 习题 6) 5、 四面体 ABCD 中,若 AB⊥CD,AC⊥BD,则 AD____BC;若 AB⊥AC,AC⊥AD,AD ⊥AB,则 A 在平面 BCD 上的射影是△BCD 的_____心;若 AB⊥AC,AC⊥AD,则 AD____AB;若 AB = AC = AD,则 A 在平面 BCD 上的射影是△BCD 的_____心;若四 面体 ABCD 是正四面体,则 AB_____CD。 6、 已知?∩? = CD,EA⊥? ,垂足为 A,EB⊥? ,垂足为 B,求证(1)CD⊥AB;(2)二面角 ? -CD-? + ∠AEB = ? 。 (P25 习题 4) (如果两异面直线与二面角的两个面分别垂直, 则异面直线所成的角与二面角相等(二面角为锐角或直角时)或互补(二面角为钝角时)) → → → 7、 对空间任一点 O 和不共线的三点 A、 C,试问满足向量关系式 OP = x OA + y OB + B、 → z OC (其中 x + y + z = 1)的四点 P、A、B、C 是否共面?(P30 例 2) 8、 a 在 b 上的射影是__________;b 在 a 上的射影是__________。 9、 已知 OA、OB、OC 两两所成的角都为 600,则 OA 与平面 BOC 所成角的余弦为_____。 10、已知两条异面直线所成的角为? ,在直线 a、b 上分别取 E、F,已知 A/E = m,AF = n, EF = l,求公垂线段 AA/的长 d。

11、已知球面上的三点 A、B、C,且 AB = 6cm,BC = 8cm,AC = 10cm,球的半径为 13cm。 求球心到平面 ABC 的距离。(P79 例 3) 12、如果直线 AB 与平面? 相交于点 B,且与? 内过点 B 的三条直线 BC、BD、BE 所成的 角相等,求证 AB⊥? 。(P80A 组 6) 13、一条线段夹在一个直二面角的两个面内,它和两个面所成的角都是 300,求这条线段与 这个二面角的棱所成的角。(P80A 组 7) 14、P、A、B、C 是球面 O 上的四个点,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA = PB= PC = 1,求球 的体积和表面积。(P81 B 组 7)

《回归课本篇》 (高二年级下册(1) )参考答案
1、不共线的三点、一直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线。 2、A ? ? ,A ? a,a ? ? 3、(0,

?
2

];[0,

?
2

];[0,?];[0,?]

4、这个角的平分线上;这个角的平分线 5、⊥;垂心;⊥;外心;⊥ → → → → 7、解:原式可变为 OP = (1-y-z) OA + y OB + z OC , → → → → → → OP - OA = y( OB - OA ) + z( OC - OA ), → → → AP = y AB + z AC , ∴ 点 P 与 A、B、C 共面。 a·b a·b 8、 ; |b| |a| 9、 3 3 l2-m2-n2±2mncos?

10、d =

11、12cm 13、解:?-l-? 是直二面角,作 AC⊥于 l 于 C,BD⊥l 于 D,则∠ABC = ∠BAD = 300, → → 1 → 1 设| AB | = a,则| AC | = a,| BD | = a, 2 2 → → → → AB = AC + CD + DB , → → → → → → → → | AB |2 = AB 2 = ( AC + CD + DB )2 = | AC |2 + | CD |2 + | DB |2, → 1 1 即 a2 = ( a)2 + | CD |2 + ( a)2 。 2 2 → 1 2 → ∴ | CD |2 = a ,| CD | = 2 2 a。 2

→ → → → → → → 又 AB 2 = AB · AC + AB · CD + AB · DB ,

→ → a 2 a 即 a2 = a· · cos600 + a· acos< AB , CD > + a· · cos600。 2 2 2 → → ∴ cos< AB , CD > = 14、 3 ? ; 3? 2 → → 2 ,∴ < AB , CD > = 450。 2

四、错题重做篇 (八)圆锥曲线部分
28.过圆外一点 P(5,-2)作圆 x2+y2-4x-4y=1 的切线,则切线方程为__________。 29. 已知圆方程为 x2+y2+8x+12=0,在此圆的所有切线中, 纵横截距相等的条数有____________ 30.双曲线实轴在 x 轴上,且与直线 y=2x 有且只有一个公共点 o(o,o),则双曲线的离心率 e=______________。 31.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________ 32.过双曲线 x2-
y
2

? 1 的右焦点作直线交双曲线于 A、B 两点,且 AB ? 4 ,则这样的直

2

线有___________条。 33.经过抛物线 y2 = 4x 的焦点弦的中点轨迹方程是( A.y2=x-1 B.y2=2(x-1) C.y2=x-
1 2

) D.y2=2x-1

【参考答案】
28. 3x+4y-7 = 0 或 x = 5 31. 0 < k < 1 32. 29. 4 3 30. 33. B
5


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