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慎用均值不等式求最值


慎用均值不等式求最值
我们在研究条件最值时, 有时会遇到选用不同方法得到不同的结果的现象, 本文列举实 例供大家分析研究,希望从中得到启示。 例 1 、已知实数 mnxy 满足 m
2

? n2 ? a, x2 ? y2 ? b( a ? b ) ,求

mx ? ny得最大值
m2 ? n 2 ? a ? (1)
解法一:

x ? y ? b? (2)
2 2

, (1)+(2) ,得 m

2

? n2 ? x 2 ? y 2 ? a ? b

? m2 ? x2 ? 2mx, n2 ? y 2 ? 2ny ? a ? b ? 2mx ? 2ny
因此 mx ?

ny ?

a?b a?b . mx ? ny 得最大值是 。 2 2
? m2 ? n 2 , b ? a 2 ? b2

? ? ? 解法二:构造向量 a ? (m, n), b ? ( x, y) ,则 a ?

? ? ? ? ? ? b a? ? mx ? ny ,因为 a ? ? a b b

,所以 mx

? ny

?

m2 ? n2 ? a2 ? b2

? ab 。当且仅当 my

? nx 取最大值。

分析:上述解法中使用了不同的方法结果不同,表面上看似乎都有道理,但(一)是错 误解法。因为 m
2

? x 2 ? 2mx 取等号的条件是 m ? x , n2 ? y 2 ? 2ny 取等号的条件是
a?b 取等号的条件是 n ? y = m ? x ,从而就 2

n ? y ,但是这样一来, mx ? ny ?
有a

? b 。因此,
例 2、若正数

a?b 不是它的最大值。 2
满足

x, y

x ? 2 y ? 1 ,求 1 ? 1
x

y

得最小值。

解法一:

1 ? x ? 2 y ? 2 2xy ,得 1
1 = xy

xy

?2

2,

1 1 ? ?2 x y
解法二:

2 ?4 xy

2 ,最小值是 4

2。

1 1 x ? 2y x ? 2y 2y x ? ? ? ? 3? ? ? 3? 2 2 x y x y x y
2y x ? ,即 x ? x y

当且仅当

2 ? 1, y ? 1 ?

2 时,取最小值 3 ? 2 2 。 2

分析:上述解法中都使用了均值不等式,但法(一)中,

x ? 2 y ? 2 2xy 取

等号的条件是

x ? 2y
1 = xy



1 1 ? ?2 x y

1 取等号的条件是 x ? y ,因此, xy

1 1 ? ?2 x y

2 ? 4 2 前后两个等号同时成立条件是 xy
是正数,因此只能是

x ? 2y



x ? y ,即 x ? y = 0,而 x, y
是它的最小值。

1 1 ? ? 4 2 ,4 2 不 x y

例 3、设 a, b, c ? R? , 且 a ? b ? c ? 1 ,求 解法一:

4a ?1 ? 4b ?1 ? 4c ?1 得最大值

4a ? 1 ? 1? a ? 1) ? (4

1 ? 4a ? 1 ? 2a ? 1 ,同理可得, 2

4b ? 1 ? 2b ? 1, 4c ? 1 ? 2c ? 1 ,
所以

4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1 ? 2(a ? b ? c) ? 3 =5,最大值是 5。

解法二:设

4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1 ? k ,平方,得

k 2 ? 4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1 ? 2 4c ?1 4a ?1 ? 2 4a ?1 4b ? 1 ? 2 4b ? 1 4c ?1 ? 7 ? 2 4c ? 1 4a ?1 ? 2 4a ?1 4b ?1 ? 2 4b ?1 4c ?1
? 7 ? (4c ? 1 ? 4a ? 1) ? (4a ? 1 ? 4b ? 1) ? (4b ? 1 ? 4c ? 1)
=21,所以, k
当且仅当 a

? 21

? b ? c 时,取最大值 21 。
1? a ? 1) ? (4 1 ? 4a ? 1 取等号的条件是 a ? 2

分析:上述解法(一)中,

1 2



4b ? 1 ? 2b ? 1, 4c ? 1 ? 2c ? 1 取 等 号 的 条 件 分 别 是

1 1 b ? 和c ? 2 2

,因此,

4a ? 1 ?
则有 a ? b ? c

4 ? 1? b

4 ? 1 ? 2 ( ? ? 等号成立条件是 a ? b ? c ? c a b c )? 3

1 , 2

?

3 。显然,5 不是它的最大值。 2

例 4、设 x ? 0, y

? 0, x ? y ? 1, 求证: ( x ? )( y ? ) ?

1 x

1 y

25 4

分析: x ? 0, y ? 0 , ( x ?

1 1 1 y x )( y ? ) ? xy ? ? ? ? 2 ? 2 ? 4 。很显然,已知条件 x y xy x y
也不是最小值,因为前后等号成立

x ? y ? 1不用的前提下求得最小值是不妥的,当然,4
的条件不能同时成立。

1 1 1 x y 1 x2 ? y 2 1 ( x ? y)2 ? 2 xy ( x ? )( y ? ) ? xy ? ? ? ? xy ? ? ? xy ? ? 正确的做法: x y xy y x xy xy xy xy
? xy ? 1 1 ? 2xy 2 ? ? xy ? ? 2 。 xy xy xy

x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1, 可得 0 ? xy ?
(0, 2] 上单调递减, xy ?

1 2 ,利用函数 f (t ) ? t ? 的单调性,即 f (t ) 在 4 t

2 1 2 25 ?2? ? ?2? . xy 4 1 4 4

等号成立的条件是 xy

1 1 ? 即x ? y ? . 4 2

通过以上例题看出:在多次运用均值不等时,只有各个不等式取等号的条件同时成立, 方可连续使用,从而得到最值。要想避免出现失误,一定要养成用完均值不等式马上检验等 号成立的条件,而且每个等号都要检验的习惯。但是,是否有的问题可以用,而有的问题就 一定不能用这种方法做下去呢?不是的。 诸如例 3 的问题,求 使用均值不等式,即

4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1 得最大值,各个部分可以单独
1? a ? 1) ? (4 1 ? 4a ? 1 ? 2a ? 1 ,同理可得, 2

4a ? 1 ?

4b ? 1 ? 2b ? 1, 4c ? 1 ? 2c ? 1 ,但是合在一起,就不行。不过,我们可以进行一些变式。
本题合在一起不行的根本原因是等号成立条件 a

?b?c?

1 , 不能满足 a ? b ? c ? 1 。 2

因此我们可以取一个使各方都满意的值, 如令 a 的处理:

1 ? b ? c ? . 比如第一个不等式可做如下 3

m

4a ? 1 ?

m? a ? 1) ? (4

m ? 4a ? 1 ,等号成立的条件是 2

m ? 4a ? 1 ,其中 m ? 4 ?

1 7 ? 1 ? . 因此, 3 3

4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1 =

3 7 ( (4a ? 1) ? 7 3

7 (4b ? 1) ? 3

7 (4c ? 1)) 3

?
?

7 7 7 ? 4a ? 1 ? ? 4b ? 1 ? ? 4c ? 1 3 3 3 3 ? 7 2
3 7 ? 4(a ? b ? c) ? 3 ? ? 7 2
还有一个典型的最值问题,求函数

3 ?7 ? 7

21 。

y?

x2 ? 5 x2 ? 4
1 x2 ? 4

的最小值。它常被作为利用不能使用

均值不等式的范例,而广为流传,其实均值不等式在这里还是可以运用的。

y?

( x 2 ? 4) 2 ? 1 x2 ? 4
2

?

x2 ? 4 ?

,显然不能直接运用均值不等式,因为

必须使 x

? 4 ? 1 成立。不过可以让 x 2 ? 4 ? 4 ,此时 x ? 0 ,方法是添项:
1 x ?4
2

x2 ? 4 ?
3

?

x2 ? 4 ?

4 x ?4
2

?

3 x ?4
2

? 4?

x ?4
2

(当且仅当 x=0 时,取等号)

? 4?

3 x2 ? 4

? 4?

3 5 ? 2 2
的最小值

所以,函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

5 . 2
whx196910200@163.com

作者:王怀学 男

38 岁 15 年教龄

邮编:222124 地址:赣榆县赣马中学 电话:0518-6387708


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